Номер 8.85, страница 179 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 8. Действия с дробями. 8.4. Умножение дробей. Упражнения - номер 8.85, страница 179.

Условие.

8.85 Исследуем

1) Сравните число $a$ и произведение $a \cdot \frac{3}{4}$, если $a = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на правильную дробь — увеличивается или уменьшается?

2) Сравните число $b$ и произведение $b \cdot \frac{4}{3}$, если $b = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь — увеличивается или уменьшается?

3) Какой смысл имеет слово «умножение» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим об умножении на дробное число?

Найдите значение выражения (8.86–8.87).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Сравните число a и произведение a ⋅ 3/4, если a = 4, 15, 1/3, 3/2. Как изменяется число при умножении его на правильную дробь — увеличивается или уменьшается?

Проведем сравнение для каждого значения $a$. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например $\frac{3}{4} < 1$.

• Если $a = 4$, то произведение $a \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$. Сравниваем $4$ и $3$. Очевидно, $4 > 3$, следовательно, $a > a \cdot \frac{3}{4}$.
• Если $a = 15$, то произведение $a \cdot \frac{3}{4} = 15 \cdot \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}$. Сравниваем $15$ и $11\frac{1}{4}$. Очевидно, $15 > 11\frac{1}{4}$, следовательно, $a > a \cdot \frac{3}{4}$.
• Если $a = \frac{1}{3}$, то произведение $a \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Сравним $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведя к общему знаменателю 12, получим $\frac{4}{12}$ и $\frac{3}{12}$. Так как $\frac{4}{12} > \frac{3}{12}$, то $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$, следовательно, $a > a \cdot \frac{3}{4}$.
• Если $a = \frac{3}{2}$, то произведение $a \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$. Сравним $\frac{3}{2}$ и $\frac{9}{8}$. Приведя к общему знаменателю 8, получим $\frac{12}{8}$ и $\frac{9}{8}$. Так как $\frac{12}{8} > \frac{9}{8}$, то $\frac{3}{2} > \frac{9}{8}$, следовательно, $a > a \cdot \frac{3}{4}$.

Во всех рассмотренных случаях произведение оказывалось меньше исходного числа. Это общая закономерность: при умножении положительного числа на правильную дробь (то есть на число, меньшее 1), результат всегда будет меньше исходного числа.

Ответ: При умножении числа на правильную дробь оно уменьшается.

2) Сравните число b и произведение b ⋅ 4/3, если b = 4, 15, 1/3, 3/2. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь — увеличивается или уменьшается?

Проведем сравнение для каждого значения $b$. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, например $\frac{4}{3} > 1$.

• Если $b = 4$, то произведение $b \cdot \frac{4}{3} = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$. Сравниваем $4$ и $5\frac{1}{3}$. Очевидно, $4 < 5\frac{1}{3}$, следовательно, $b < b \cdot \frac{4}{3}$.
• Если $b = 15$, то произведение $b \cdot \frac{4}{3} = 15 \cdot \frac{4}{3} = \frac{15 \cdot 4}{3} = 5 \cdot 4 = 20$. Сравниваем $15$ и $20$. Очевидно, $15 < 20$, следовательно, $b < b \cdot \frac{4}{3}$.
• Если $b = \frac{1}{3}$, то произведение $b \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{9}$. Сравним $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{9}$. Приведя к общему знаменателю 9, получим $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$. Так как $\frac{3}{9} < \frac{4}{9}$, то $\frac{1}{3} < \frac{4}{9}$, следовательно, $b < b \cdot \frac{4}{3}$.
• Если $b = \frac{3}{2}$, то произведение $b \cdot \frac{4}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2$. Сравниваем $\frac{3}{2}$ (что равно $1.5$) и $2$. Очевидно, $1.5 < 2$, следовательно, $b < b \cdot \frac{4}{3}$.

Во всех рассмотренных случаях произведение оказывалось больше исходного числа. Это также общая закономерность: при умножении положительного числа на неправильную дробь, большую 1, результат всегда будет больше исходного числа.

Ответ: При умножении числа на неправильную дробь (большую 1) оно увеличивается.

3) Какой смысл имеет слово «умножение» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим об умножении на дробное число?

В русском языке слово «умножение» этимологически связано со словом «много» и в бытовом смысле означает увеличение количества, приумножение чего-либо. Например, когда мы говорим «умножить богатство», мы имеем в виду его увеличить.

Этот бытовой смысл слова «умножение» полностью сохраняется, когда мы умножаем на целое число, большее единицы. Например, $7 \cdot 3 = 21$, и 21 действительно больше 7.

Однако при умножении на дробное число этот смысл может теряться. Как мы видели в пункте 1, при умножении на правильную дробь (число от 0 до 1) результат получается меньше исходного числа ($10 \cdot \frac{1}{2} = 5$). В этом случае происходит не увеличение, а уменьшение. Таким образом, математическая операция «умножение» имеет более широкий смысл, чем просто «увеличение». Она описывает масштабирование: умножение на число больше 1 увеличивает объект, а умножение на число меньше 1 — уменьшает.

Ответ: Бытовой смысл слова «умножение» как увеличение не сохраняется при умножении на правильную дробь. В этом случае результат умножения меньше исходного числа, то есть происходит уменьшение.