Номер 8.85, страница 179 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.4. Умножение дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.85, страница 179.

8.85 Исследуем

1) Сравните число $a$ и произведение $a \cdot \frac{3}{4}$, если $a = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на правильную дробь — увеличивается или уменьшается?

2) Сравните число $b$ и произведение $b \cdot \frac{4}{3}$, если $b = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь — увеличивается или уменьшается?

3) Какой смысл имеет слово «умножение» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим об умножении на дробное число?

Найдите значение выражения (8.86–8.87).

1) Сравните число a и произведение a ⋅ 3/4, если a = 4, 15, 1/3, 3/2. Как изменяется число при умножении его на правильную дробь — увеличивается или уменьшается?

Проведем сравнение для каждого значения $a$. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, например $\frac{3}{4} < 1$.

• Если $a = 4$, то произведение $a \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$. Сравниваем $4$ и $3$. Очевидно, $4 > 3$, следовательно, $a > a \cdot \frac{3}{4}$.
• Если $a = 15$, то произведение $a \cdot \frac{3}{4} = 15 \cdot \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}$. Сравниваем $15$ и $11\frac{1}{4}$. Очевидно, $15 > 11\frac{1}{4}$, следовательно, $a > a \cdot \frac{3}{4}$.
• Если $a = \frac{1}{3}$, то произведение $a \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Сравним $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведя к общему знаменателю 12, получим $\frac{4}{12}$ и $\frac{3}{12}$. Так как $\frac{4}{12} > \frac{3}{12}$, то $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$, следовательно, $a > a \cdot \frac{3}{4}$.
• Если $a = \frac{3}{2}$, то произведение $a \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$. Сравним $\frac{3}{2}$ и $\frac{9}{8}$. Приведя к общему знаменателю 8, получим $\frac{12}{8}$ и $\frac{9}{8}$. Так как $\frac{12}{8} > \frac{9}{8}$, то $\frac{3}{2} > \frac{9}{8}$, следовательно, $a > a \cdot \frac{3}{4}$.

Во всех рассмотренных случаях произведение оказывалось меньше исходного числа. Это общая закономерность: при умножении положительного числа на правильную дробь (то есть на число, меньшее 1), результат всегда будет меньше исходного числа.

Ответ: При умножении числа на правильную дробь оно уменьшается.

2) Сравните число b и произведение b ⋅ 4/3, если b = 4, 15, 1/3, 3/2. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь — увеличивается или уменьшается?

Проведем сравнение для каждого значения $b$. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, например $\frac{4}{3} > 1$.

• Если $b = 4$, то произведение $b \cdot \frac{4}{3} = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$. Сравниваем $4$ и $5\frac{1}{3}$. Очевидно, $4 < 5\frac{1}{3}$, следовательно, $b < b \cdot \frac{4}{3}$.
• Если $b = 15$, то произведение $b \cdot \frac{4}{3} = 15 \cdot \frac{4}{3} = \frac{15 \cdot 4}{3} = 5 \cdot 4 = 20$. Сравниваем $15$ и $20$. Очевидно, $15 < 20$, следовательно, $b < b \cdot \frac{4}{3}$.
• Если $b = \frac{1}{3}$, то произведение $b \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{9}$. Сравним $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{9}$. Приведя к общему знаменателю 9, получим $\frac{3}{9}$ и $\frac{4}{9}$. Так как $\frac{3}{9} < \frac{4}{9}$, то $\frac{1}{3} < \frac{4}{9}$, следовательно, $b < b \cdot \frac{4}{3}$.
• Если $b = \frac{3}{2}$, то произведение $b \cdot \frac{4}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2$. Сравниваем $\frac{3}{2}$ (что равно $1.5$) и $2$. Очевидно, $1.5 < 2$, следовательно, $b < b \cdot \frac{4}{3}$.

Во всех рассмотренных случаях произведение оказывалось больше исходного числа. Это также общая закономерность: при умножении положительного числа на неправильную дробь, большую 1, результат всегда будет больше исходного числа.

Ответ: При умножении числа на неправильную дробь (большую 1) оно увеличивается.

3) Какой смысл имеет слово «умножение» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим об умножении на дробное число?

В русском языке слово «умножение» этимологически связано со словом «много» и в бытовом смысле означает увеличение количества, приумножение чего-либо. Например, когда мы говорим «умножить богатство», мы имеем в виду его увеличить.

Этот бытовой смысл слова «умножение» полностью сохраняется, когда мы умножаем на целое число, большее единицы. Например, $7 \cdot 3 = 21$, и 21 действительно больше 7.

Однако при умножении на дробное число этот смысл может теряться. Как мы видели в пункте 1, при умножении на правильную дробь (число от 0 до 1) результат получается меньше исходного числа ($10 \cdot \frac{1}{2} = 5$). В этом случае происходит не увеличение, а уменьшение. Таким образом, математическая операция «умножение» имеет более широкий смысл, чем просто «увеличение». Она описывает масштабирование: умножение на число больше 1 увеличивает объект, а умножение на число меньше 1 — уменьшает.

Ответ: Бытовой смысл слова «умножение» как увеличение не сохраняется при умножении на правильную дробь. В этом случае результат умножения меньше исходного числа, то есть происходит уменьшение.