Номер 8.94, страница 180 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 8. Действия с дробями. 8.4. Умножение дробей. Упражнения - номер 8.94, страница 180.

Условие.

8.94 Какое из данных выражений имеет наименьшее значение: $1 - \frac{1}{100}$, $1 - \left(\frac{1}{100}\right)^2$, $\left(1 - \frac{1}{100}\right)^2$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы определить, какое из данных выражений имеет наименьшее значение, мы вычислим или сравним значения каждого из них.

Рассмотрим три выражения:

1. $1 - \frac{1}{100}$

2. $1 - (\frac{1}{100})^2$

3. $(1 - \frac{1}{100})^2$

Способ 1: Прямое вычисление

Вычислим значение каждого выражения.

1. $1 - \frac{1}{100}$

Выполним вычитание, приведя 1 к знаменателю 100:

$1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} = 0,99$

2. $1 - (\frac{1}{100})^2$

Сначала возведем дробь в квадрат, а затем выполним вычитание:

$1 - (\frac{1}{100})^2 = 1 - \frac{1^2}{100^2} = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{10000}{10000} - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000} = 0,9999$

3. $(1 - \frac{1}{100})^2$

Сначала выполним вычитание в скобках, а затем возведем результат в квадрат:

$(1 - \frac{1}{100})^2 = (\frac{99}{100})^2 = \frac{99^2}{100^2} = \frac{9801}{10000} = 0,9801$

Теперь сравним полученные значения: $0,99$; $0,9999$; $0,9801$.

Расположив их в порядке возрастания, получаем:

$0,9801 < 0,99 < 0,9999$

Наименьшим значением является $0,9801$, которое соответствует выражению $(1 - \frac{1}{100})^2$.

Способ 2: Сравнение без точных вычислений

Обозначим $a = \frac{1}{100}$. Поскольку $0 < \frac{1}{100} < 1$, то $0 < a < 1$.

Нам нужно сравнить три выражения:

1. $1 - a$

2. $1 - a^2$

3. $(1 - a)^2$

Сравним первое и второе выражения: $1 - a$ и $1 - a^2$.

Так как $0 < a < 1$, то $a^2 < a$. Умножив обе части неравенства на -1, мы меняем знак неравенства: $-a^2 > -a$. Прибавим 1 к обеим частям: $1 - a^2 > 1 - a$. Значит, второе выражение больше первого.

Сравним первое и третье выражения: $1 - a$ и $(1 - a)^2$.

Обозначим $b = 1 - a$. Поскольку $a = \frac{1}{100}$, то $b = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$. Мы видим, что $0 < b < 1$. Для любого числа $b$ в интервале $(0, 1)$ справедливо неравенство $b^2 < b$.

Следовательно, $(1-a)^2 < 1-a$. Значит, третье выражение меньше первого.

Объединив результаты сравнений, получаем: $(1 - a)^2 < 1 - a < 1 - a^2$.

Таким образом, наименьшее значение имеет выражение $(1 - a)^2$, то есть $(1 - \frac{1}{100})^2$.

Ответ: Наименьшее значение имеет выражение $(1 - \frac{1}{100})^2$.