Номер 8.94, страница 180 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.4. Умножение дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.94, страница 180.

8.94 Какое из данных выражений имеет наименьшее значение: $1 - \frac{1}{100}$, $1 - \left(\frac{1}{100}\right)^2$, $\left(1 - \frac{1}{100}\right)^2$?

Для того чтобы определить, какое из данных выражений имеет наименьшее значение, мы вычислим или сравним значения каждого из них.

Рассмотрим три выражения:

1. $1 - \frac{1}{100}$

2. $1 - (\frac{1}{100})^2$

3. $(1 - \frac{1}{100})^2$

Способ 1: Прямое вычисление

Вычислим значение каждого выражения.

1. $1 - \frac{1}{100}$

Выполним вычитание, приведя 1 к знаменателю 100:

$1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} = 0,99$

2. $1 - (\frac{1}{100})^2$

Сначала возведем дробь в квадрат, а затем выполним вычитание:

$1 - (\frac{1}{100})^2 = 1 - \frac{1^2}{100^2} = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{10000}{10000} - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000} = 0,9999$

3. $(1 - \frac{1}{100})^2$

Сначала выполним вычитание в скобках, а затем возведем результат в квадрат:

$(1 - \frac{1}{100})^2 = (\frac{99}{100})^2 = \frac{99^2}{100^2} = \frac{9801}{10000} = 0,9801$

Теперь сравним полученные значения: $0,99$; $0,9999$; $0,9801$.

Расположив их в порядке возрастания, получаем:

$0,9801 < 0,99 < 0,9999$

Наименьшим значением является $0,9801$, которое соответствует выражению $(1 - \frac{1}{100})^2$.

Способ 2: Сравнение без точных вычислений

Обозначим $a = \frac{1}{100}$. Поскольку $0 < \frac{1}{100} < 1$, то $0 < a < 1$.

Нам нужно сравнить три выражения:

1. $1 - a$

2. $1 - a^2$

3. $(1 - a)^2$

Сравним первое и второе выражения: $1 - a$ и $1 - a^2$.

Так как $0 < a < 1$, то $a^2 < a$. Умножив обе части неравенства на -1, мы меняем знак неравенства: $-a^2 > -a$. Прибавим 1 к обеим частям: $1 - a^2 > 1 - a$. Значит, второе выражение больше первого.

Сравним первое и третье выражения: $1 - a$ и $(1 - a)^2$.

Обозначим $b = 1 - a$. Поскольку $a = \frac{1}{100}$, то $b = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$. Мы видим, что $0 < b < 1$. Для любого числа $b$ в интервале $(0, 1)$ справедливо неравенство $b^2 < b$.

Следовательно, $(1-a)^2 < 1-a$. Значит, третье выражение меньше первого.

Объединив результаты сравнений, получаем: $(1 - a)^2 < 1 - a < 1 - a^2$.

Таким образом, наименьшее значение имеет выражение $(1 - a)^2$, то есть $(1 - \frac{1}{100})^2$.

Ответ: Наименьшее значение имеет выражение $(1 - \frac{1}{100})^2$.