Номер 8.93, страница 180 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.4. Умножение дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.93, страница 180.

8.93 РАССУЖДАЕМ Вычислите значение выражения (постарайтесь найти рациональное решение):

a) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17}$;

б) $3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{3} + 3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{3}$.

а) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17}$

Чтобы найти рациональное решение, сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби. Общая формула для преобразования дробей вида $1\frac{1}{n}$ выглядит так: $1\frac{1}{n} = \frac{n \cdot 1 + 1}{n} = \frac{n+1}{n}$.

Применим эту формулу к каждому множителю:

$1\frac{1}{12} = \frac{13}{12}$

$1\frac{1}{13} = \frac{14}{13}$

$1\frac{1}{14} = \frac{15}{14}$

$1\frac{1}{15} = \frac{16}{15}$

$1\frac{1}{16} = \frac{17}{16}$

$1\frac{1}{17} = \frac{18}{17}$

Теперь перемножим полученные неправильные дроби:

$\frac{13}{12} \cdot \frac{14}{13} \cdot \frac{15}{14} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{18}{17}$

Мы видим, что числитель каждой дроби (кроме последней) и знаменатель следующей дроби являются одинаковыми числами, поэтому их можно сократить:

$\frac{\cancel{13}}{12} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{13}} \cdot \frac{\cancel{15}}{\cancel{14}} \cdot \frac{\cancel{16}}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{17}}{\cancel{16}} \cdot \frac{18}{\cancel{17}}$

После сокращения в числителе остается только 18, а в знаменателе — 12. Получаем дробь:

$\frac{18}{12}$

Сократим эту дробь на 6 и преобразуем в смешанное число:

$\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

б) $3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{3} + 3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{3}$

Для рационального решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

В данном выражении общий множитель $a = 3\frac{2}{7}$. Вынесем его за скобки:

$3\frac{2}{7} \cdot (1\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3})$

Сначала выполним действие в скобках. Сложим смешанные числа:

$1\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3} = (1+1) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 2 + \frac{1+2}{3} = 2 + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3$

Теперь исходное выражение сводится к умножению:

$3\frac{2}{7} \cdot 3$

Чтобы выполнить умножение, преобразуем смешанное число $3\frac{2}{7}$ в неправильную дробь:

$3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{21 + 2}{7} = \frac{23}{7}$

Теперь умножим полученную дробь на 3:

$\frac{23}{7} \cdot 3 = \frac{23 \cdot 3}{7} = \frac{69}{7}$

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{69}{7}$:

$69 \div 7 = 9$ (остаток $6$)

Следовательно, $\frac{69}{7} = 9\frac{6}{7}$.

Ответ: $9\frac{6}{7}$