Страница 180 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Выполните действия (8.89–8.90).

8.89 а) $ \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{12} $

б) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} $

в) $ \frac{4}{7} \cdot \frac{35}{36} \cdot \frac{3}{5} $

г) $ \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{27} \cdot \frac{15}{16} $

а) Чтобы умножить дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Запишем произведение в виде одной дроби: $ \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{12} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 5}{5 \cdot 2 \cdot 12} $.
Перед вычислением произведения, сократим общие множители в числителе и знаменателе. Мы видим, что число 5 есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому их можно сократить. Также можно сократить 3 и 12, так как 12 делится на 3 ($12 = 3 \cdot 4$): $ \frac{\cancel{3} \cdot 1 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot 2 \cdot \cancel{12}^4} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} $.
Ответ: $ \frac{1}{8} $.

б) Запишем произведение всех дробей в виде одной дроби: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 9} $.
Сократим одинаковые множители (2, 3 и 4) в числителе и знаменателе: $ \frac{1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot 9} = \frac{1}{9} $.
Ответ: $ \frac{1}{9} $.

в) Запишем произведение в виде одной дроби: $ \frac{4}{7} \cdot \frac{35}{36} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 35 \cdot 3}{7 \cdot 36 \cdot 5} $.
Для удобства сокращения разложим числа на множители: $35 = 5 \cdot 7$ и $36 = 4 \cdot 9$. $ \frac{4 \cdot (5 \cdot 7) \cdot 3}{7 \cdot (4 \cdot 9) \cdot 5} = \frac{\cancel{4} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot 3}{\cancel{7} \cdot \cancel{4} \cdot 9 \cdot \cancel{5}} = \frac{3}{9} $.
Сократим полученную дробь на 3: $ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

г) Запишем произведение в виде одной дроби: $ \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{27} \cdot \frac{15}{16} = \frac{4 \cdot 10 \cdot 15}{5 \cdot 27 \cdot 16} $.
Выполним сокращение дроби по частям.
Сократим 4 и 16 на 4: $ \frac{\cancel{4}^1 \cdot 10 \cdot 15}{5 \cdot 27 \cdot \cancel{16}^4} = \frac{10 \cdot 15}{5 \cdot 27 \cdot 4} $.
Сократим 10 и 5 на 5: $ \frac{\cancel{10}^2 \cdot 15}{\cancel{5}^1 \cdot 27 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 15}{27 \cdot 4} $.
Сократим 15 и 27 на 3: $ \frac{2 \cdot \cancel{15}^5}{\cancel{27}^9 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 4} $.
Сократим 2 и 4 на 2: $ \frac{\cancel{2}^1 \cdot 5}{9 \cdot \cancel{4}^2} = \frac{5}{9 \cdot 2} = \frac{5}{18} $.
Ответ: $ \frac{5}{18} $.

8.90 a) $(\frac{2}{9})^2$;

б) $(\frac{2}{3})^3$;

в) $(\frac{1}{4})^3$;

г) $(\frac{4}{3})^2$;

д) $(\frac{1}{5})^3$;

е) $(\frac{3}{7})^2$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. В данном случае возводим дробь во вторую степень (в квадрат):

$\left(\frac{2}{9}\right)^2 = \frac{2^2}{9^2} = \frac{4}{81}$

Ответ: $\frac{4}{81}$

б) Аналогично предыдущему пункту, возводим числитель и знаменатель дроби в третью степень (в куб):

$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$

в) Возводим числитель и знаменатель дроби в третью степень:

$\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$

Ответ: $\frac{1}{64}$

г) Возводим числитель и знаменатель дроби во вторую степень:

$\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

Ответ: $\frac{16}{9}$

д) Возводим числитель и знаменатель дроби в третью степень:

$\left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$

Ответ: $\frac{1}{125}$

е) Возводим числитель и знаменатель дроби во вторую степень:

$\left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$

Ответ: $\frac{9}{49}$

8.91 Каждый из рисунков (рис. 8.5, а, б) задаёт некоторую задачу. Выясните, что известно, и найдите неизвестные величины.

а) BC = $3\frac{1}{2}$ м

CD = $2\frac{1}{5}$ м

P = ?, S = ?

б) LM = $6\frac{1}{2}$ м

P = 20 м, S = ?

Рис. 8.5

а)

В данной задаче изображен прямоугольник ABCD. Известны длины его смежных сторон: $BC = 3\frac{1}{2}$ м и $CD = 2\frac{1}{5}$ м. Требуется найти периметр (P) и площадь (S) этого прямоугольника.

1. Вычисление периметра (P).

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон.

Сначала найдем сумму длин сторон:

$a+b = 3\frac{1}{2} + 2\frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$3\frac{1}{2} + 2\frac{1}{5} = 3\frac{5}{10} + 2\frac{2}{10} = (3+2) + (\frac{5}{10} + \frac{2}{10}) = 5\frac{7}{10}$ м.

Теперь умножим эту сумму на 2, чтобы найти периметр:

$P = 2 \times 5\frac{7}{10} = 2 \times \frac{5 \times 10 + 7}{10} = 2 \times \frac{57}{10} = \frac{114}{10} = 11\frac{4}{10} = 11\frac{2}{5}$ м.

2. Вычисление площади (S).

Площадь прямоугольника находится по формуле $S = a \times b$.

Для умножения смешанных чисел, переведем их в неправильные дроби:

$a = 3\frac{1}{2} = \frac{3 \times 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

$b = 2\frac{1}{5} = \frac{2 \times 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$S = \frac{7}{2} \times \frac{11}{5} = \frac{7 \times 11}{2 \times 5} = \frac{77}{10} = 7\frac{7}{10}$ м².

Ответ: $P = 11\frac{2}{5}$ м, $S = 7\frac{7}{10}$ м².

б)

В данной задаче изображен прямоугольник KLMN. Известна длина одной его стороны $LM = 6\frac{1}{2}$ м и его периметр $P = 20$ м. Требуется найти его площадь (S).

1. Нахождение неизвестной стороны.

Обозначим известную сторону как $a = 6\frac{1}{2}$ м, а неизвестную – как $b$.

Периметр прямоугольника равен $P = 2(a+b)$. Отсюда сумма длин смежных сторон равна половине периметра:

$a+b = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10$ м.

Теперь мы можем найти длину неизвестной стороны $b$:

$b = 10 - a = 10 - 6\frac{1}{2} = 9\frac{2}{2} - 6\frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$ м.

2. Вычисление площади (S).

Теперь, когда известны обе стороны ($a = 6\frac{1}{2}$ м и $b = 3\frac{1}{2}$ м), найдем площадь по формуле $S = a \times b$.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$a = 6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$

$b = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Перемножим дроби:

$S = \frac{13}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{13 \times 7}{2 \times 2} = \frac{91}{4} = 22\frac{3}{4}$ м².

Ответ: $S = 22\frac{3}{4}$ м².

8.92 а) Одна швея может выполнить работу за 4 ч, другая — за 5 ч. Какую часть работы они выполнят, работая вместе, за 2 ч; за $ \frac{3}{4} $ ч?

б) Рабочий может выполнить заказ за 4 ч, а его ученик — за 8 ч. Успеют ли они выполнить весь заказ за $ 2 \frac{2}{3} $ ч, если будут работать вместе?

а)

Чтобы найти, какую часть работы выполнят две швеи, работая вместе, нужно сначала определить их совместную производительность (скорость работы).

1. Производительность первой швеи — это часть работы, которую она выполняет за 1 час. Если всю работу она выполняет за 4 часа, то ее производительность равна $P_1 = \frac{1}{4}$ работы в час.

2. Аналогично, производительность второй швеи, которая выполняет всю работу за 5 часов, равна $P_2 = \frac{1}{5}$ работы в час.

3. При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность $P_{общ}$ равна:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$P_{общ} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$ работы в час.

4. Теперь найдем, какую часть работы они выполнят за указанное время. Объем выполненной работы $A$ равен произведению производительности $P$ на время $t$ ($A = P \cdot t$).

За 2 часа они выполнят:

$A_1 = P_{общ} \cdot 2 = \frac{9}{20} \cdot 2 = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ часть работы.

За $\frac{3}{4}$ часа они выполнят:

$A_2 = P_{общ} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 4} = \frac{27}{80}$ часть работы.

Ответ: за 2 часа швеи выполнят $\frac{9}{10}$ работы, а за $\frac{3}{4}$ часа — $\frac{27}{80}$ работы.

б)

Чтобы определить, успеют ли рабочий и ученик выполнить заказ, нужно рассчитать, какую часть заказа они смогут сделать за отведенное время, работая вместе.

1. Найдем производительность рабочего и ученика.

Производительность рабочего: $P_{р} = \frac{1}{4}$ заказа в час.

Производительность ученика: $P_{у} = \frac{1}{8}$ заказа в час.

2. Найдем их совместную производительность $P_{общ}$, сложив их индивидуальные производительности:

$P_{общ} = P_{р} + P_{у} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$P_{общ} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ заказа в час.

3. Теперь проверим, какую часть работы они выполнят за $2\frac{2}{3}$ часа. Сначала переведем время в неправильную дробь:

$t = 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ часа.

4. Вычислим объем выполненной работы $A$ за это время:

$A = P_{общ} \cdot t = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3} = 1$

Так как выполненная работа равна 1, это означает, что они выполнят весь заказ ровно за $2\frac{2}{3}$ часа.

Ответ: да, успеют.

8.93 РАССУЖДАЕМ Вычислите значение выражения (постарайтесь найти рациональное решение):

a) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17}$;

б) $3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{3} + 3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{3}$.

а) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17}$

Чтобы найти рациональное решение, сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби. Общая формула для преобразования дробей вида $1\frac{1}{n}$ выглядит так: $1\frac{1}{n} = \frac{n \cdot 1 + 1}{n} = \frac{n+1}{n}$.

Применим эту формулу к каждому множителю:

$1\frac{1}{12} = \frac{13}{12}$

$1\frac{1}{13} = \frac{14}{13}$

$1\frac{1}{14} = \frac{15}{14}$

$1\frac{1}{15} = \frac{16}{15}$

$1\frac{1}{16} = \frac{17}{16}$

$1\frac{1}{17} = \frac{18}{17}$

Теперь перемножим полученные неправильные дроби:

$\frac{13}{12} \cdot \frac{14}{13} \cdot \frac{15}{14} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{18}{17}$

Мы видим, что числитель каждой дроби (кроме последней) и знаменатель следующей дроби являются одинаковыми числами, поэтому их можно сократить:

$\frac{\cancel{13}}{12} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{13}} \cdot \frac{\cancel{15}}{\cancel{14}} \cdot \frac{\cancel{16}}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{17}}{\cancel{16}} \cdot \frac{18}{\cancel{17}}$

После сокращения в числителе остается только 18, а в знаменателе — 12. Получаем дробь:

$\frac{18}{12}$

Сократим эту дробь на 6 и преобразуем в смешанное число:

$\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

б) $3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{1}{3} + 3\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{3}$

Для рационального решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

В данном выражении общий множитель $a = 3\frac{2}{7}$. Вынесем его за скобки:

$3\frac{2}{7} \cdot (1\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3})$

Сначала выполним действие в скобках. Сложим смешанные числа:

$1\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3} = (1+1) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 2 + \frac{1+2}{3} = 2 + \frac{3}{3} = 2 + 1 = 3$

Теперь исходное выражение сводится к умножению:

$3\frac{2}{7} \cdot 3$

Чтобы выполнить умножение, преобразуем смешанное число $3\frac{2}{7}$ в неправильную дробь:

$3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{21 + 2}{7} = \frac{23}{7}$

Теперь умножим полученную дробь на 3:

$\frac{23}{7} \cdot 3 = \frac{23 \cdot 3}{7} = \frac{69}{7}$

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{69}{7}$:

$69 \div 7 = 9$ (остаток $6$)

Следовательно, $\frac{69}{7} = 9\frac{6}{7}$.

Ответ: $9\frac{6}{7}$

8.94 Какое из данных выражений имеет наименьшее значение: $1 - \frac{1}{100}$, $1 - \left(\frac{1}{100}\right)^2$, $\left(1 - \frac{1}{100}\right)^2$?

Для того чтобы определить, какое из данных выражений имеет наименьшее значение, мы вычислим или сравним значения каждого из них.

Рассмотрим три выражения:

1. $1 - \frac{1}{100}$

2. $1 - (\frac{1}{100})^2$

3. $(1 - \frac{1}{100})^2$

Способ 1: Прямое вычисление

Вычислим значение каждого выражения.

1. $1 - \frac{1}{100}$

Выполним вычитание, приведя 1 к знаменателю 100:

$1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} = 0,99$

2. $1 - (\frac{1}{100})^2$

Сначала возведем дробь в квадрат, а затем выполним вычитание:

$1 - (\frac{1}{100})^2 = 1 - \frac{1^2}{100^2} = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{10000}{10000} - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000} = 0,9999$

3. $(1 - \frac{1}{100})^2$

Сначала выполним вычитание в скобках, а затем возведем результат в квадрат:

$(1 - \frac{1}{100})^2 = (\frac{99}{100})^2 = \frac{99^2}{100^2} = \frac{9801}{10000} = 0,9801$

Теперь сравним полученные значения: $0,99$; $0,9999$; $0,9801$.

Расположив их в порядке возрастания, получаем:

$0,9801 < 0,99 < 0,9999$

Наименьшим значением является $0,9801$, которое соответствует выражению $(1 - \frac{1}{100})^2$.

Способ 2: Сравнение без точных вычислений

Обозначим $a = \frac{1}{100}$. Поскольку $0 < \frac{1}{100} < 1$, то $0 < a < 1$.

Нам нужно сравнить три выражения:

1. $1 - a$

2. $1 - a^2$

3. $(1 - a)^2$

Сравним первое и второе выражения: $1 - a$ и $1 - a^2$.

Так как $0 < a < 1$, то $a^2 < a$. Умножив обе части неравенства на -1, мы меняем знак неравенства: $-a^2 > -a$. Прибавим 1 к обеим частям: $1 - a^2 > 1 - a$. Значит, второе выражение больше первого.

Сравним первое и третье выражения: $1 - a$ и $(1 - a)^2$.

Обозначим $b = 1 - a$. Поскольку $a = \frac{1}{100}$, то $b = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$. Мы видим, что $0 < b < 1$. Для любого числа $b$ в интервале $(0, 1)$ справедливо неравенство $b^2 < b$.

Следовательно, $(1-a)^2 < 1-a$. Значит, третье выражение меньше первого.

Объединив результаты сравнений, получаем: $(1 - a)^2 < 1 - a < 1 - a^2$.

Таким образом, наименьшее значение имеет выражение $(1 - a)^2$, то есть $(1 - \frac{1}{100})^2$.

Ответ: Наименьшее значение имеет выражение $(1 - \frac{1}{100})^2$.

8.95 Все стулья, находящиеся в актовом зале, можно расставить одинаковыми рядами — по 14 стульев в ряду или по 16 стульев в ряду. Какое минимальное количество стульев должно находиться в зале?

Пусть $N$ — искомое минимальное количество стульев в зале.

Согласно условию задачи, все стулья можно расставить одинаковыми рядами по 14 стульев в каждом. Это значит, что общее количество стульев $N$ должно быть кратно 14, то есть делиться на 14 без остатка.

Также все стулья можно расставить рядами по 16 стульев в каждом. Это значит, что общее количество стульев $N$ должно быть кратно 16.

Таким образом, число $N$ должно быть общим кратным для чисел 14 и 16. Поскольку нам нужно найти минимальное количество стульев, мы должны найти наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Чтобы найти НОК(14, 16), разложим оба числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Теперь, чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. В нашем случае это $2^4$ и $7^1$.

НОК(14, 16) = $2^4 \cdot 7^1 = 16 \cdot 7 = 112$.

Следовательно, минимальное количество стульев, которое должно находиться в зале, равно 112. В этом случае их можно будет расставить либо в 8 рядов по 14 стульев ($14 \cdot 8 = 112$), либо в 7 рядов по 16 стульев ($16 \cdot 7 = 112$).

Ответ: 112.