Страница 184 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ Выполните деление (8.101–8.104).

8.101 а) $ \frac{2}{3} : \frac{5}{7} $;

б) $ \frac{1}{4} : \frac{1}{2} $;

в) $ \frac{2}{5} : \frac{2}{3} $;

г) $ \frac{3}{4} : \frac{1}{2} $;

д) $ \frac{5}{6} : \frac{7}{12} $.

а) Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Для примера $\frac{2}{3} : \frac{5}{7}$ мы умножаем $\frac{2}{3}$ на обратную дробь к $\frac{5}{7}$, то есть на $\frac{7}{5}$: $\frac{2}{3} : \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15}$. Ответ: $\frac{14}{15}$

б) Выполним деление дроби $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$. Для этого заменим деление на умножение на обратную дробь $\frac{2}{1}$: $\frac{1}{4} : \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 1} = \frac{2}{4}$. Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Для выполнения деления $\frac{2}{5} : \frac{2}{3}$ заменим операцию деления на умножение на обратную дробь. Обратной к $\frac{2}{3}$ является дробь $\frac{3}{2}$. Выполним вычисление, сократив общие множители (в данном случае 2) в числителе и знаменателе: $\frac{2}{5} : \frac{2}{3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{5}$. Ответ: $\frac{3}{5}$

г) Разделим дробь $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{2}$. Умножим делимое $\frac{3}{4}$ на дробь, обратную делителю, то есть на $\frac{2}{1}$: $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 1} = \frac{6}{4}$. Дробь $\frac{6}{4}$ является сократимой. Сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Этот результат также можно записать в виде смешанного числа $1\frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{3}{2}$

д) Чтобы разделить $\frac{5}{6}$ на $\frac{7}{12}$, умножим $\frac{5}{6}$ на обратную дробь $\frac{12}{7}$. Перед умножением удобно сократить 12 в числителе и 6 в знаменателе на их общий делитель 6: $\frac{5}{6} : \frac{7}{12} = \frac{5}{6} \cdot \frac{12}{7} = \frac{5 \cdot 12}{6 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 2}{7} = \frac{10}{7}$. Этот результат также можно записать в виде смешанного числа $1\frac{3}{7}$. Ответ: $\frac{10}{7}$

8.102 a) $2 : \frac{1}{7}$;

б) $4 : \frac{2}{3}$;

в) $3 : \frac{3}{5}$;

г) $1 : \frac{2}{7}$;

д) $1 : \frac{1}{4}$.

а) Чтобы разделить целое число на дробь, необходимо умножить это число на дробь, обратную делителю. Делитель в данном примере равен $ \frac{1}{7} $. Обратная ему дробь — это $ \frac{7}{1} $, или просто 7. Выполним умножение: $ 2 : \frac{1}{7} = 2 \times \frac{7}{1} = 14 $.
Ответ: 14

б) Чтобы разделить 4 на $ \frac{2}{3} $, нужно умножить 4 на дробь, обратную $ \frac{2}{3} $, то есть на $ \frac{3}{2} $. Выполним вычисление: $ 4 : \frac{2}{3} = 4 \times \frac{3}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 $.
Ответ: 6

в) Чтобы разделить 3 на $ \frac{3}{5} $, умножим 3 на дробь, обратную $ \frac{3}{5} $, то есть на $ \frac{5}{3} $. В результате получим: $ 3 : \frac{3}{5} = 3 \times \frac{5}{3} = \frac{3 \times 5}{3} = 5 $.
Ответ: 5

г) Чтобы разделить 1 на $ \frac{2}{7} $, нужно умножить 1 на дробь, обратную $ \frac{2}{7} $, то есть на $ \frac{7}{2} $. Результат: $ 1 : \frac{2}{7} = 1 \times \frac{7}{2} = \frac{7}{2} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 3\frac{1}{2} $

д) Чтобы разделить 1 на $ \frac{1}{4} $, умножим 1 на дробь, обратную $ \frac{1}{4} $, то есть на $ \frac{4}{1} $ или 4. Вычисление: $ 1 : \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4 $.
Ответ: 4

8.103 а) $ \frac{4}{9} : 2; $

б) $ \frac{5}{7} : 3; $

в) $ \frac{10}{21} : 5; $

г) $ \frac{9}{10} : 15; $

д) $ \frac{3}{7} : 21. $

а) Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить без изменений. После этого, если возможно, следует сократить полученную дробь.

$ \frac{4}{9} : 2 = \frac{4}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18} $

Теперь сократим дробь $ \frac{4}{18} $. Наибольший общий делитель для чисел 4 и 18 равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{4 \div 2}{18 \div 2} = \frac{2}{9} $

Ответ: $ \frac{2}{9} $.

б) Применим то же правило: умножим знаменатель на натуральное число.

$ \frac{5}{7} : 3 = \frac{5}{7 \cdot 3} = \frac{5}{21} $

Дробь $ \frac{5}{21} $ является несократимой, так как числитель 5 и знаменатель 21 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $ \frac{5}{21} $.

в) Умножаем знаменатель дроби на натуральное число.

$ \frac{10}{21} : 5 = \frac{10}{21 \cdot 5} $

Прежде чем выполнять умножение в знаменателе, можно выполнить сокращение. Числитель 10 и множитель 5 в знаменателе делятся на 5.

$ \frac{10 \div 5}{21 \cdot (5 \div 5)} = \frac{2}{21 \cdot 1} = \frac{2}{21} $

Ответ: $ \frac{2}{21} $.

г) Умножаем знаменатель дроби на натуральное число.

$ \frac{9}{10} : 15 = \frac{9}{10 \cdot 15} $

Сократим числитель 9 и множитель 15 в знаменателе. Их наибольший общий делитель равен 3.

$ \frac{9 \div 3}{10 \cdot (15 \div 3)} = \frac{3}{10 \cdot 5} = \frac{3}{50} $

Ответ: $ \frac{3}{50} $.

д) Умножаем знаменатель дроби на натуральное число.

$ \frac{3}{7} : 21 = \frac{3}{7 \cdot 21} $

Сократим числитель 3 и множитель 21 в знаменателе на 3.

$ \frac{3 \div 3}{7 \cdot (21 \div 3)} = \frac{1}{7 \cdot 7} = \frac{1}{49} $

Ответ: $ \frac{1}{49} $.

8.104 а) $\frac{1}{4} : 3\frac{1}{2};$

б) $3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{3};$

в) $10\frac{1}{2} : 3\frac{1}{2};$

г) $5\frac{1}{2} : 3\frac{2}{3};$

д) $1\frac{5}{7} : 3\frac{3}{4},$

е) $5\frac{3}{4} : 7\frac{2}{3}.$

а)

Чтобы разделить дробь на смешанное число, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $\frac{1}{4} : 3\frac{1}{2} = \frac{1}{4} : \frac{7}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 7} = \frac{2}{28}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2: $\frac{2}{28} = \frac{2:2}{28:2} = \frac{1}{14}$.

Ответ: $\frac{1}{14}$.

б)

Представим оба смешанных числа в виде неправильных дробей: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{3} = \frac{7}{2} : \frac{7}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 7}$.

Сократим дробь на 7 и получим результат: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

в)

Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$
$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Теперь разделим полученные дроби: $10\frac{1}{2} : 3\frac{1}{2} = \frac{21}{2} : \frac{7}{2} = \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 7}$.

Сократим дробь на 2 и на 7: $\frac{21}{7} = 3$.

Ответ: $3$.

г)

Представим смешанные числа в виде неправильных дробей: $5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$
$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

Выполним деление: $5\frac{1}{2} : 3\frac{2}{3} = \frac{11}{2} : \frac{11}{3} = \frac{11}{2} \cdot \frac{3}{11} = \frac{11 \cdot 3}{2 \cdot 11}$.

Сократим дробь на 11: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

д)

Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$
$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $1\frac{5}{7} : 3\frac{3}{4} = \frac{12}{7} : \frac{15}{4} = \frac{12}{7} \cdot \frac{4}{15} = \frac{12 \cdot 4}{7 \cdot 15}$.

Сократим числитель и знаменатель. 12 и 15 делятся на 3 ($12 = 4 \cdot 3$, $15 = 5 \cdot 3$): $\frac{(4 \cdot 3) \cdot 4}{7 \cdot (5 \cdot 3)} = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 5} = \frac{16}{35}$.

Ответ: $\frac{16}{35}$.

е)

Представим смешанные числа в виде неправильных дробей: $5\frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}$
$7\frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{23}{3}$

Выполним деление: $5\frac{3}{4} : 7\frac{2}{3} = \frac{23}{4} : \frac{23}{3} = \frac{23}{4} \cdot \frac{3}{23} = \frac{23 \cdot 3}{4 \cdot 23}$.

Сократим дробь на 23: $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

8.105 a) Отрезок длиной $3\frac{3}{4}$ дм разделили на 5 равных частей. Чему равна длина одной части?

б) Ленту длиной 14 м разрезали на 4 равные части. Чему равна длина одной такой части?

а) Чтобы найти длину одной части, необходимо общую длину отрезка разделить на количество равных частей. Длина отрезка составляет $3\frac{3}{4}$ дм, и его разделили на 5 частей.

1. Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:

$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}$ дм.

2. Теперь разделим полученную длину на 5. Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число:

$\frac{15}{4} \div 5 = \frac{15}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$ дм.

3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$ дм.

Таким образом, длина одной части равна $\frac{3}{4}$ дм.

Ответ: $\frac{3}{4}$ дм.

б) Чтобы найти длину одной части ленты, нужно её общую длину разделить на количество равных частей. Длина ленты составляет 14 м, и ее разрезали на 4 части.

1. Выполним деление общей длины на количество частей:

$14 \div 4 = \frac{14}{4}$ м.

2. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{14}{4} = \frac{7}{2}$ м.

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$ м.

Эту же величину можно выразить в виде десятичной дроби: $3\frac{1}{2} = 3,5$ м.

Таким образом, длина одной части ленты равна $3\frac{1}{2}$ м.

Ответ: $3\frac{1}{2}$ м (или 3,5 м).

8.106 Сколько порций получится, если трёхкилограммовый пирог разрезать на порции:

а) по $\frac{1}{5}$ кг;

б) по $\frac{1}{4}$ кг;

в) по $\frac{1}{8}$ кг?

Для того чтобы определить, сколько порций получится, необходимо общую массу пирога разделить на массу одной порции.

а)
Общая масса пирога — 3 кг. Масса одной порции — $\frac{1}{5}$ кг.
Чтобы найти количество порций, разделим общую массу на массу одной порции:
$3 \div \frac{1}{5} = 3 \times 5 = 15$ (порций).
Ответ: 15 порций.

б)
Общая масса пирога — 3 кг. Масса одной порции — $\frac{1}{4}$ кг.
Разделим общую массу на массу одной порции:
$3 \div \frac{1}{4} = 3 \times 4 = 12$ (порций).
Ответ: 12 порций.

в)
Общая масса пирога — 3 кг. Масса одной порции — $\frac{1}{8}$ кг.
Разделим общую массу на массу одной порции:
$3 \div \frac{1}{8} = 3 \times 8 = 24$ (порции).
Ответ: 24 порции.

8.107 a) Проволоку длиной $7\frac{1}{2}$ м разделили на куски по 50 см. Сколько получилось кусков?

б) В мешке $5\frac{1}{2}$ кг семян травы. Все семена надо разложить в пакеты, по 250 г в каждый. Сколько потребуется пакетов?

а)

Чтобы найти, сколько кусков проволоки получилось, необходимо общую длину проволоки разделить на длину одного куска. Для этого сначала нужно перевести все значения в одну единицу измерения. Удобнее всего перевести метры в сантиметры.
Общая длина проволоки: $7\frac{1}{2}$ м.
Мы знаем, что в 1 метре 100 сантиметров.
Сначала представим смешанное число $7\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби: $7\frac{1}{2} = 7.5$.
Теперь переведем метры в сантиметры:
$7.5 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 750 \text{ см}$.
Длина одного куска составляет 50 см.
Разделим общую длину проволоки на длину одного куска:
$750 \text{ см} \div 50 \text{ см} = 15$.
Ответ: 15 кусков.

б)

Чтобы найти, сколько потребуется пакетов, необходимо общую массу семян разделить на массу семян в одном пакете. Для этого приведем все значения к одной единице измерения. Удобнее перевести килограммы в граммы.
Общая масса семян: $5\frac{1}{2}$ кг.
Мы знаем, что в 1 килограмме 1000 граммов.
Представим смешанное число $5\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби: $5\frac{1}{2} = 5.5$.
Теперь переведем килограммы в граммы:
$5.5 \text{ кг} \times 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} = 5500 \text{ г}$.
В каждый пакет нужно положить по 250 г семян.
Разделим общую массу семян на массу одного пакета:
$5500 \text{ г} \div 250 \text{ г} = 22$.
Ответ: 22 пакета.

8.108 а) В чайнике $2\frac{1}{5}$ л воды. В каждую чашку хотят налить $\frac{1}{4}$ л воды. Сколько полных чашек получится?

б) Для перевязки одной посылки требуется $2\frac{1}{2}$ м верёвки. Сколько таких посылок можно перевязать, используя клубок, в котором 17 м верёвки?

а) Чтобы узнать, сколько полных чашек получится, необходимо общий объем воды в чайнике разделить на объем воды, который вмещает одна чашка.

1. Переведем смешанное число, выражающее объем воды в чайнике, в неправильную дробь:

$2\frac{1}{5} = \frac{2 \times 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$ л

2. Теперь разделим общий объем воды на объем одной чашки. Для этого нужно разделить $\frac{11}{5}$ на $\frac{1}{4}$:

$\frac{11}{5} \div \frac{1}{4} = \frac{11}{5} \times \frac{4}{1} = \frac{44}{5}$

3. Чтобы найти количество полных чашек, выделим целую часть из полученной неправильной дроби:

$\frac{44}{5} = 8\frac{4}{5}$

Таким образом, получится 8 полных чашек, и еще останется вода, которой хватит на $\frac{4}{5}$ чашки.

Ответ: 8 полных чашек.

б) Чтобы найти, сколько посылок можно перевязать, нужно общую длину веревки разделить на длину, необходимую для одной посылки.

1. Переведем смешанное число, выражающее длину веревки для одной посылки, в неправильную дробь:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ м

2. Разделим общую длину веревки (17 м) на длину для одной посылки ($\frac{5}{2}$ м):

$17 \div \frac{5}{2} = 17 \times \frac{2}{5} = \frac{34}{5}$

3. Чтобы определить, сколько целых посылок можно перевязать, выделим целую часть из дроби:

$\frac{34}{5} = 6\frac{4}{5}$

Следовательно, можно перевязать 6 посылок, и еще останется кусок веревки.

Ответ: 6 посылок.

8.109 a) Мама сварила 2 кг варенья и хочет разложить его в банки, каждая из которых вмещает $ \frac{3}{10} $ кг варенья. Сколько таких банок потребуется?

б) В одну бутылку помещается $ \frac{3}{5} $ кг подсолнечного масла. Сколько понадобится бутылок, чтобы разлить 8 кг масла?

а)

Чтобы определить, сколько банок потребуется, нужно общий вес варенья разделить на вместимость одной банки.

Общий вес варенья: 2 кг.

Вместимость одной банки: $ \frac{3}{10} $ кг.

Найдем количество банок:

$ 2 \div \frac{3}{10} = 2 \times \frac{10}{3} = \frac{20}{3} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} $

Это означает, что 6 банок будут заполнены полностью, а для оставшегося варенья потребуется еще одна банка. Таким образом, всего нужно 7 банок.

Ответ: 7 банок.

б)

Чтобы определить, сколько бутылок понадобится, нужно общий вес масла разделить на вместимость одной бутылки.

Общий вес масла: 8 кг.

Вместимость одной бутылки: $ \frac{3}{5} $ кг.

Найдем количество бутылок:

$ 8 \div \frac{3}{5} = 8 \times \frac{5}{3} = \frac{40}{3} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3} $

Это означает, что 13 бутылок будут заполнены полностью, а для оставшегося масла потребуется еще одна бутылка. Таким образом, всего нужно 14 бутылок.

Ответ: 14 бутылок.

8.110 а) За $\frac{2}{3}$ ч автомобиль прошёл $40\frac{1}{2}$ км. Найдите скорость автомобиля.

б) Скорость велосипедиста $10\frac{1}{2}$ км/ч. За какое время он проедет 7 км?

в) За $2\frac{2}{3}$ ч велосипедист проехал 24 км. За какое время он проедет 30 км?

а)

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. Формула скорости: $v = s \div t$.
В данном случае расстояние $s = 40\frac{1}{2}$ км, а время $t = \frac{2}{3}$ ч.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$40\frac{1}{2} = \frac{40 \times 2 + 1}{2} = \frac{81}{2}$ км.
Теперь выполним деление, чтобы найти скорость:
$v = \frac{81}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{81}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{81 \times 3}{2 \times 2} = \frac{243}{4}$ км/ч.
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$\frac{243}{4} = 60\frac{3}{4}$ км/ч.

Ответ: $60\frac{3}{4}$ км/ч.

б)

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. Формула времени: $t = s \div v$.
В данном случае расстояние $s = 7$ км, а скорость $v = 10\frac{1}{2}$ км/ч.
Преобразуем скорость в неправильную дробь:
$10\frac{1}{2} = \frac{10 \times 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$ км/ч.
Теперь найдём время:
$t = 7 \div \frac{21}{2} = 7 \times \frac{2}{21} = \frac{14}{21}$ ч.
Сократим полученную дробь на 7:
$\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$ ч.

Ответ: $\frac{2}{3}$ ч.

в)

Эта задача решается в два действия. Сначала найдём скорость велосипедиста, а затем, зная скорость, найдём время, за которое он проедет 30 км.
1. Находим скорость велосипедиста ($v = s \div t$).
Дано: расстояние $s_1 = 24$ км, время $t_1 = 2\frac{2}{3}$ ч.
Преобразуем время в неправильную дробь:
$t_1 = 2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ ч.
Вычисляем скорость:
$v = 24 \div \frac{8}{3} = 24 \times \frac{3}{8} = \frac{72}{8} = 9$ км/ч.
2. Теперь находим время, за которое велосипедист проедет 30 км ($t = s \div v$).
Дано: расстояние $s_2 = 30$ км, скорость $v = 9$ км/ч.
Вычисляем время:
$t_2 = 30 \div 9 = \frac{30}{9}$ ч.
Сокращаем дробь и представляем в виде смешанного числа:
$\frac{30}{9} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ ч.

Ответ: $3\frac{1}{3}$ ч.