Страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.7 Ищем закономерность

1) Вычислите значение каждого из выражений:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$, $\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$.

2) Продолжите цепочку разностей, записав ещё три выражения. Вычислите значение каждого из них.

3) Какая разность стоит в этой цепочке на 10-м месте? Чему равно её значение?

1) Вычислим значение каждого из предложенных выражений:

Для разности $\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$ приведем дроби к общему знаменателю 4:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Для разности $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$ приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

Для разности $\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$ приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$

Ответ: Значения выражений равны $\frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}$.

2) Для того чтобы продолжить цепочку, найдем в ней закономерность. Каждое выражение представляет собой разность двух дробей вида $\frac{1}{n} - \frac{1}{2n}$.

В первом выражении $n=2$: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$.
Во втором выражении $n=3$: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6}$.
В третьем выражении $n=4$: $\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$.

Число $n$ в знаменателе последовательно увеличивается на 1. Следовательно, следующие три выражения будут для $n=5, 6, 7$:

Четвертое выражение ($n=5$): $\frac{1}{5} - \frac{1}{10}$
Пятое выражение ($n=6$): $\frac{1}{6} - \frac{1}{12}$
Шестое выражение ($n=7$): $\frac{1}{7} - \frac{1}{14}$

Вычислим значения этих выражений. Заметим, что $\frac{1}{n} - \frac{1}{2n} = \frac{2}{2n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n}$.

$\frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{1}{14}$

Ответ: Следующие три выражения: $\frac{1}{5} - \frac{1}{10}$, $\frac{1}{6} - \frac{1}{12}$, $\frac{1}{7} - \frac{1}{14}$. Их значения равны $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{14}$ соответственно.

3) Чтобы найти разность, стоящую на 10-м месте, определим соответствующее значение $n$. Первое выражение соответствует $n=2$, второе — $n=3$, и так далее. Значит, $k$-е выражение в цепочке соответствует $n=k+1$.

Для 10-го места $k=10$, следовательно, $n = 10+1 = 11$.

Искомая разность будет иметь вид $\frac{1}{11} - \frac{1}{2 \cdot 11}$, то есть $\frac{1}{11} - \frac{1}{22}$.

Вычислим её значение, используя общую формулу $\frac{1}{2n}$:
$\frac{1}{11} - \frac{1}{22} = \frac{1}{2 \cdot 11} = \frac{1}{22}$.

Ответ: На 10-м месте стоит разность $\frac{1}{11} - \frac{1}{22}$, её значение равно $\frac{1}{22}$.

РАССУЖДАЕМ (8.8–8.9)

8.8 Какое из чисел больше и на сколько:

а) $ \frac{19}{45} $ или $ \frac{7}{15} $;

б) $ \frac{7}{10} $ или $ \frac{7}{15} $?

а)

Чтобы сравнить дроби $\frac{19}{45}$ и $\frac{7}{15}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 45 и 15 — это 45, так как 45 делится на 15 без остатка ($45 = 15 \cdot 3$).

Первая дробь $\frac{19}{45}$ уже имеет нужный знаменатель.

Вторую дробь $\frac{7}{15}$ приведем к знаменателю 45. для этого умножим ее числитель и знаменатель на 3:
$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{21}{45}$.

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{19}{45}$ и $\frac{21}{45}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Так как $21 > 19$, то и дробь $\frac{21}{45}$ больше, чем $\frac{19}{45}$. Следовательно, $\frac{7}{15} > \frac{19}{45}$.

Чтобы найти, на сколько одна дробь больше другой, нужно из большей дроби вычесть меньшую:
$\frac{21}{45} - \frac{19}{45} = \frac{21 - 19}{45} = \frac{2}{45}$.

Ответ: число $\frac{7}{15}$ больше числа $\frac{19}{45}$ на $\frac{2}{45}$.

б)

Сравним дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{7}{15}$.

Способ 1: У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $10 < 15$, то $\frac{7}{10} > \frac{7}{15}$.

Способ 2: Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 10 и 15 равно 30.

Приведем каждую дробь к знаменателю 30:
Для первой дроби дополнительный множитель равен $30 \div 10 = 3$:
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$.
Для второй дроби дополнительный множитель равен $30 \div 15 = 2$:
$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{14}{30}$.

Теперь сравним дроби $\frac{21}{30}$ и $\frac{14}{30}$. Так как $21 > 14$, то $\frac{21}{30} > \frac{14}{30}$, а значит $\frac{7}{10} > \frac{7}{15}$.

Найдем, на сколько $\frac{7}{10}$ больше, чем $\frac{7}{15}$, выполнив вычитание:
$\frac{7}{10} - \frac{7}{15} = \frac{21}{30} - \frac{14}{30} = \frac{21 - 14}{30} = \frac{7}{30}$.

Ответ: число $\frac{7}{10}$ больше числа $\frac{7}{15}$ на $\frac{7}{30}$.

8.9 Не выполняя сложения, сравните:

а) $\frac{2}{3} + \frac{1}{5}$ и $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

б) $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$ и $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$

а) Сравним две суммы: $\frac{2}{3} + \frac{1}{5}$ и $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$.

Обе суммы имеют одинаковое первое слагаемое $\frac{2}{3}$. Это значит, что результат сравнения зависит только от вторых слагаемых: $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$.

Нам нужно сравнить дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Это дроби с одинаковыми числителями. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $5 < 6$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$.

Поскольку к общему слагаемому $\frac{2}{3}$ в первом выражении прибавляется большее число, чем во втором, то первая сумма будет больше.

Таким образом, $\frac{2}{3} + \frac{1}{5} > \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{2}{3} + \frac{1}{5} > \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$.

б) Сравним две суммы: $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$ и $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$.

Обе суммы содержат одинаковую часть, а именно $\frac{1}{5} + \frac{1}{6}$. Чтобы сравнить исходные суммы, достаточно сравнить оставшиеся слагаемые: $\frac{1}{4}$ в первой сумме и $\frac{1}{7}$ во второй.

Сравниваем дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{7}$. Это дроби с одинаковыми числителями. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $4 < 7$, то $\frac{1}{4} > \frac{1}{7}$.

Поскольку к общей части ($\frac{1}{5} + \frac{1}{6}$) в первом выражении прибавляется большее число, чем во втором, то первая сумма будет больше.

Таким образом, $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$.

8.10 Найдите значение выражения:

а) $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{2}{5}$;

б) $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{8}$;

в) $\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{6}$;

г) $\frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}$.

а) $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{2}{5}$

Для выполнения сложения и вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 2, 4 и 5 является 20.

Приведем каждую дробь к знаменателю 20:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$

Теперь подставим полученные дроби в исходное выражение и выполним действия:

$\frac{10}{20} - \frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{10 - 5 + 8}{20} = \frac{5 + 8}{20} = \frac{13}{20}$

Ответ: $\frac{13}{20}$

б) $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 4, 2 и 8 является 8.

Приведем дроби к знаменателю 8:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$

Дробь $\frac{7}{8}$ уже имеет нужный знаменатель.

Выполним действия:

$\frac{6}{8} - \frac{4}{8} + \frac{7}{8} = \frac{6 - 4 + 7}{8} = \frac{2 + 7}{8} = \frac{9}{8}$

Так как числитель больше знаменателя, выделим целую часть:

$\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$

Ответ: $1\frac{1}{8}$

в) $\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{6}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 3, 9 и 6. Этим числом будет 18.

Приведем дроби к знаменателю 18:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18}$

$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{2}{18}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$

Теперь выполним действия с дробями:

$\frac{6}{18} - \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{6 - 2 + 3}{18} = \frac{4 + 3}{18} = \frac{7}{18}$

Ответ: $\frac{7}{18}$

г) $\frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 6, 3 и 4 является 12.

Приведем дроби к знаменателю 12:

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

Выполним действия с полученными дробями:

$\frac{10}{12} - \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{10 - 8 + 3}{12} = \frac{2 + 3}{12} = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$

8.11 Найдите неизвестное число:

а) $\frac{1}{2} + x = \frac{5}{6};$

б) $a + \frac{1}{4} = \frac{3}{4};$

в) $y - \frac{1}{5} = \frac{3}{10};$

г) $\frac{5}{6} - c = \frac{1}{3}.$

а) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $\frac{5}{6}$ вычесть известное слагаемое $\frac{1}{2}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:
$x = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Чтобы найти неизвестное слагаемое $a$, нужно из суммы $\frac{3}{4}$ вычесть известное слагаемое $\frac{1}{4}$. Так как знаменатели у дробей одинаковые, просто вычитаем числители:
$a = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4}$.
Сократим полученную дробь на 2:
$a = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $y$, нужно к разности $\frac{3}{10}$ прибавить вычитаемое $\frac{1}{5}$. Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$y = \frac{3}{10} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3+2}{10} = \frac{5}{10}$.
Сократим полученную дробь на 5:
$y = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Чтобы найти неизвестное вычитаемое $c$, нужно из уменьшаемого $\frac{5}{6}$ вычесть разность $\frac{1}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$c = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6}$.
Сократим полученную дробь на 3:
$c = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

8.12 Урок длится $\frac{2}{3}$ ч, перемена $= \frac{1}{6}$ ч. Какую часть часа длятся урок с переменой?

Чтобы найти, какую часть часа длятся урок с переменой, необходимо сложить их длительности. Длительность урока составляет $ \frac{2}{3} $ часа, а длительность перемены — $ \frac{1}{6} $ часа.

Для сложения дробей $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{1}{6} $ приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 6 — это 6.

Приведем дробь $ \frac{2}{3} $ к знаменателю 6, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $

Теперь выполним сложение дробей:

$ \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6} $

Таким образом, урок с переменой длится $ \frac{5}{6} $ часа.

Ответ: $ \frac{5}{6} $.

8.13 В одной коробке $\frac{1}{4}$ кг конфет, а в другой — на $\frac{1}{5}$ кг больше. Сколько конфет в двух коробках? Выразите ответ в граммах.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий:

1. Найти массу конфет во второй коробке

Известно, что в первой коробке $\frac{1}{4}$ кг конфет, а во второй — на $\frac{1}{5}$ кг больше. Чтобы найти массу конфет во второй коробке, нужно сложить массу конфет в первой коробке с величиной, на которую она больше. Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$ кг.

Следовательно, во второй коробке находится $\frac{9}{20}$ кг конфет.

2. Найти общую массу конфет в двух коробках

Теперь сложим массу конфет в первой и второй коробках:

$\frac{1}{4} + \frac{9}{20}$

Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 20: $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$.

$\frac{5}{20} + \frac{9}{20} = \frac{14}{20}$ кг.

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{14}{20} = \frac{7}{10}$ кг.

3. Выразить ответ в граммах

В одном килограмме 1000 граммов ($1$ кг $= 1000$ г). Чтобы перевести общую массу конфет из килограммов в граммы, нужно умножить полученное значение на 1000.

$\frac{7}{10} \times 1000 = 7 \times \frac{1000}{10} = 7 \times 100 = 700$ г.

Ответ: 700 г.

8.14 До остановки автобус ехал $\frac{2}{5}$ ч, а на оставшийся путь он затратил на $\frac{3}{20}$ ч меньше. Сколько времени занял весь маршрут, если на остановке автобус стоял $\frac{1}{12}$ ч? Ответ выразите в часах и минутах.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий. Сначала найдем, сколько времени автобус ехал после остановки, затем сложим все три временных промежутка (езда до остановки, остановка, езда после остановки) и переведем результат в часы и минуты.

1. Найдем время, которое автобус затратил на оставшийся путь. Известно, что это на $ \frac{3}{20} $ часа меньше, чем время до остановки ($ \frac{2}{5} $ часа).
Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю 20:
$ \frac{2}{5} - \frac{3}{20} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3}{20} = \frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20} $ часа.
Сократим полученную дробь:
$ \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $ часа — столько времени автобус ехал после остановки.

2. Теперь найдем общее время, которое занял весь маршрут. Для этого сложим время в пути до остановки, время стоянки и время в пути после остановки.
$ \frac{2}{5} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4} $ часа.
Чтобы сложить эти дроби, найдем для них общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для чисел 5, 12 и 4 — это 60.
$ \frac{2}{5} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 12}{5 \cdot 12} + \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{24}{60} + \frac{5}{60} + \frac{15}{60} = \frac{24 + 5 + 15}{60} = \frac{44}{60} $ часа.

3. Выразим полученный результат в часах и минутах. Поскольку в одном часе 60 минут, то $ \frac{44}{60} $ часа равны 44 минутам.
$ \frac{44}{60} \text{ часа} = 44 \text{ минуты} $.

Так как 44 минуты меньше одного часа, итоговое время составляет 0 часов 44 минуты.

Ответ: 0 часов 44 минуты.

8.15 а) Рабочий может выполнить весь заказ за 3 ч, а ученик – за 7 ч. Какую часть заказа выполнит рабочий за 1 ч? Какую часть заказа выполнит ученик за 1 ч? Какую часть заказа они выполнят, работая вместе, за 1 ч?

б) Швея может выполнить заказ за 3 дня, а её ученица – за 6 дней. Какую часть заказа они могут выполнить за один день, работая вместе?

а) Для того чтобы найти, какую часть заказа выполняет каждый за 1 час, нужно разделить всю работу (которую мы принимаем за 1) на время выполнения.
Производительность рабочего составляет 1 заказ за 3 часа, следовательно, за 1 час он выполнит: $1 \div 3 = 1/3$ часть заказа.
Производительность ученика составляет 1 заказ за 7 часов, следовательно, за 1 час он выполнит: $1 \div 7 = 1/7$ часть заказа.
Чтобы найти, какую часть заказа они выполнят вместе за 1 час, нужно сложить их производительности (части заказа, выполняемые за 1 час):
$1/3 + 1/7$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 21:
$7/21 + 3/21 = 10/21$
Таким образом, работая вместе, за 1 час они выполнят $10/21$ часть заказа.
Ответ: за 1 час рабочий выполнит $1/3$ часть заказа, ученик — $1/7$ часть, а вместе они выполнят $10/21$ часть заказа.

б) Аналогично предыдущей задаче, найдем производительность каждой из них за один день.
Производительность швеи: $1/3$ заказа в день.
Производительность её ученицы: $1/6$ заказа в день.
Чтобы найти, какую часть заказа они выполнят за один день, работая вместе, сложим их производительности:
$1/3 + 1/6$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 6:
$2/6 + 1/6 = 3/6$
Сократим полученную дробь:
$3/6 = 1/2$
Следовательно, работая вместе, за один день они могут выполнить $1/2$ часть заказа.
Ответ: за один день, работая вместе, они могут выполнить $1/2$ часть заказа.