Номер 8.7, страница 165 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.1. Сложение и вычитание дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.7, страница 165.

8.7 Ищем закономерность

1) Вычислите значение каждого из выражений:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$, $\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$.

2) Продолжите цепочку разностей, записав ещё три выражения. Вычислите значение каждого из них.

3) Какая разность стоит в этой цепочке на 10-м месте? Чему равно её значение?

1) Вычислим значение каждого из предложенных выражений:

Для разности $\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$ приведем дроби к общему знаменателю 4:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Для разности $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$ приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

Для разности $\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$ приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$

Ответ: Значения выражений равны $\frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}$.

2) Для того чтобы продолжить цепочку, найдем в ней закономерность. Каждое выражение представляет собой разность двух дробей вида $\frac{1}{n} - \frac{1}{2n}$.

В первом выражении $n=2$: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$.
Во втором выражении $n=3$: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6}$.
В третьем выражении $n=4$: $\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$.

Число $n$ в знаменателе последовательно увеличивается на 1. Следовательно, следующие три выражения будут для $n=5, 6, 7$:

Четвертое выражение ($n=5$): $\frac{1}{5} - \frac{1}{10}$
Пятое выражение ($n=6$): $\frac{1}{6} - \frac{1}{12}$
Шестое выражение ($n=7$): $\frac{1}{7} - \frac{1}{14}$

Вычислим значения этих выражений. Заметим, что $\frac{1}{n} - \frac{1}{2n} = \frac{2}{2n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n}$.

$\frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{1}{14}$

Ответ: Следующие три выражения: $\frac{1}{5} - \frac{1}{10}$, $\frac{1}{6} - \frac{1}{12}$, $\frac{1}{7} - \frac{1}{14}$. Их значения равны $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{14}$ соответственно.

3) Чтобы найти разность, стоящую на 10-м месте, определим соответствующее значение $n$. Первое выражение соответствует $n=2$, второе — $n=3$, и так далее. Значит, $k$-е выражение в цепочке соответствует $n=k+1$.

Для 10-го места $k=10$, следовательно, $n = 10+1 = 11$.

Искомая разность будет иметь вид $\frac{1}{11} - \frac{1}{2 \cdot 11}$, то есть $\frac{1}{11} - \frac{1}{22}$.

Вычислим её значение, используя общую формулу $\frac{1}{2n}$:
$\frac{1}{11} - \frac{1}{22} = \frac{1}{2 \cdot 11} = \frac{1}{22}$.

Ответ: На 10-м месте стоит разность $\frac{1}{11} - \frac{1}{22}$, её значение равно $\frac{1}{22}$.