Страница 158 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.130 а) Масса 4 одинаковых дынь равна 3 кг. Какова масса каждой дыни?

б) Высота 5 одинаковых книжных полок, поставленных одна на другую, равна 2 м. Чему равна высота каждой полки?

а) Чтобы найти массу одной дыни, необходимо общую массу всех дынь разделить на их количество. Дано, что масса 4 дынь равна 3 кг. Следовательно, масса одной дыни будет равна:
$3 \div 4 = \frac{3}{4}$ кг.
Переведем дробь в десятичный вид:
$\frac{3}{4} = 0,75$ кг.
Ответ: 0,75 кг.

б) Чтобы найти высоту одной книжной полки, необходимо общую высоту стопки полок разделить на их количество. Дано, что высота 5 полок равна 2 м. Следовательно, высота одной полки будет равна:
$2 \div 5 = \frac{2}{5}$ м.
Переведем дробь в десятичный вид:
$\frac{2}{5} = 0,4$ м.
Ответ: 0,4 м.

7.131 a) За неделю израсходовали 5 кг картофеля, каждый день поровну.
Сколько килограммов картофеля расходовали каждый день?

б) Из 3 м ткани сшили 5 одинаковых салфеток. Сколько метров ткани пошло на одну салфетку?

а)

В неделе 7 дней. По условию, за это время израсходовали 5 кг картофеля, причем каждый день расходовали одинаковое количество. Чтобы найти, сколько килограммов картофеля уходило в день, нужно общее количество картофеля разделить на количество дней в неделе.

$5 \div 7 = \frac{5}{7}$ (кг)

Ответ: каждый день расходовали $\frac{5}{7}$ кг картофеля.

б)

Из 3 метров ткани было сшито 5 одинаковых салфеток. Чтобы определить, сколько метров ткани пошло на изготовление одной салфетки, необходимо общую длину ткани разделить на количество салфеток.

$3 \div 5 = \frac{3}{5}$ (м)

Ответ: на одну салфетку пошло $\frac{3}{5}$ м ткани.

7.132 а) Конфеты, масса которых 2 кг, разложили поровну в 10 пакетов. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?

б) Из 20 м ткани сшили 16 одинаковых полотенец. Сколько метров ткани пошло на одно полотенце?

а) Чтобы найти, сколько килограммов конфет в каждом пакете, необходимо общую массу конфет разделить на количество пакетов, в которые их разложили.
$2 \div 10 = \frac{2}{10} = 0,2$ (кг)
Ответ: 0,2 кг конфет в каждом пакете.

б) Чтобы определить, сколько метров ткани пошло на пошив одного полотенца, нужно общую длину ткани разделить на количество сшитых полотенец.
$20 \div 16 = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1,25$ (м)
Ответ: 1,25 м ткани пошло на одно полотенце.

7.133 a) Таня прошла 2 км за 30 мин. Сколько километров в минуту проходила Таня?

б) Поезд проехал 24 км за 15 мин. Сколько километров проезжал поезд за минуту?

а) Чтобы найти, сколько километров в минуту проходила Таня, необходимо разделить пройденное расстояние на время, за которое это расстояние было пройдено. Эта величина является скоростью движения.

Расстояние $S = 2$ км.
Время $t = 30$ мин.

Скорость $v$ вычисляется по формуле: $v = \frac{S}{t}$.

Подставим значения в формулу:
$v = \frac{2 \text{ км}}{30 \text{ мин}} = \frac{1}{15}$ км/мин.

Ответ: $\frac{1}{15}$ км/мин.

б) Аналогично, чтобы найти, сколько километров в минуту проезжал поезд, нужно разделить пройденное им расстояние на время в пути.

Расстояние $S = 24$ км.
Время $t = 15$ мин.

Используем ту же формулу для нахождения скорости: $v = \frac{S}{t}$.

Подставим значения:
$v = \frac{24 \text{ км}}{15 \text{ мин}}$.

Сократим полученную дробь на 3:
$v = \frac{24 \div 3}{15 \div 3} = \frac{8}{5}$ км/мин.

Переведем неправильную дробь в десятичную:
$\frac{8}{5} = 1,6$ км/мин.

Ответ: 1,6 км/мин.

7.134 Каким натуральным числам равны дроби

$\frac{4}{4}$, $\frac{10}{5}$, $\frac{18}{3}$, $\frac{7}{1}$, $\frac{3}{1}$, $\frac{24}{6}$, $\frac{10}{10}$, $\frac{20}{4}$?

Чтобы определить, какому натуральному числу равна дробь, необходимо разделить ее числитель на знаменатель. Натуральные числа — это числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Дробь равна натуральному числу, если ее числитель делится на знаменатель без остатка.

Разделим числитель 4 на знаменатель 4. $4 \div 4 = 1$. Число 1 является натуральным.
Ответ: 1

Разделим числитель 10 на знаменатель 5. $10 \div 5 = 2$. Число 2 является натуральным.
Ответ: 2

Разделим числитель 18 на знаменатель 3. $18 \div 3 = 6$. Число 6 является натуральным.
Ответ: 6

Разделим числитель 7 на знаменатель 1. $7 \div 1 = 7$. Число 7 является натуральным.
Ответ: 7

Разделим числитель 3 на знаменатель 1. $3 \div 1 = 3$. Число 3 является натуральным.
Ответ: 3

Разделим числитель 24 на знаменатель 6. $24 \div 6 = 4$. Число 4 является натуральным.
Ответ: 4

Разделим числитель 10 на знаменатель 10. $10 \div 10 = 1$. Число 1 является натуральным.
Ответ: 1

Разделим числитель 20 на знаменатель 4. $20 \div 4 = 5$. Число 5 является натуральным.
Ответ: 5

7.135 Сократите дроби и укажите, какие из них представляют натуральные числа:

а) $ \frac{25}{100} $, $ \frac{100}{25} $, $ \frac{24}{30} $, $ \frac{30}{24} $, $ \frac{36}{12} $, $ \frac{36}{4} $.

б) $ \frac{2}{8} $, $ \frac{8}{2} $, $ \frac{10}{8} $, $ \frac{42}{7} $, $ \frac{51}{17} $, $ \frac{100}{50} $.

а)

Сокращаем каждую дробь, находя наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, и делим их на него. Затем определяем, является ли результат натуральным числом (целым положительным числом).

$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$. Это не натуральное число.

$\frac{100}{25} = \frac{100 \div 25}{25 \div 25} = \frac{4}{1} = 4$. Это натуральное число.

$\frac{24}{30} = \frac{24 \div 6}{30 \div 6} = \frac{4}{5}$. Это не натуральное число.

$\frac{30}{24} = \frac{30 \div 6}{24 \div 6} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$. Это не натуральное число.

$\frac{36}{12} = \frac{36 \div 12}{12 \div 12} = \frac{3}{1} = 3$. Это натуральное число.

$\frac{36}{4} = \frac{36 \div 4}{4 \div 4} = \frac{9}{1} = 9$. Это натуральное число.

Ответ: $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$; $\frac{100}{25} = 4$; $\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$; $\frac{30}{24} = \frac{5}{4}$; $\frac{36}{12} = 3$; $\frac{36}{4} = 9$. Натуральные числа: $4, 3, 9$.

б)

Аналогично сокращаем дроби и проверяем результат.

$\frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4}$. Это не натуральное число.

$\frac{8}{2} = \frac{8 \div 2}{2 \div 2} = \frac{4}{1} = 4$. Это натуральное число.

$\frac{10}{8} = \frac{10 \div 2}{8 \div 2} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$. Это не натуральное число.

$\frac{42}{7} = \frac{42 \div 7}{7 \div 7} = \frac{6}{1} = 6$. Это натуральное число.

$\frac{51}{17} = \frac{51 \div 17}{17 \div 17} = \frac{3}{1} = 3$. Это натуральное число.

$\frac{100}{50} = \frac{100 \div 50}{50 \div 50} = \frac{2}{1} = 2$. Это натуральное число.

Ответ: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$; $\frac{8}{2} = 4$; $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$; $\frac{42}{7} = 6$; $\frac{51}{17} = 3$; $\frac{100}{50} = 2$. Натуральные числа: $4, 6, 3, 2$.

7.136 Дополните запись:

а) $3 = \frac{}{1}$;

б) $8 = \frac{}{1}$;

в) $2 = \frac{}{2}$;

г) $4 = \frac{}{2}$;

д) $16 = \frac{}{3}$;

е) $15 = \frac{}{4}$;

ж) $10 = \frac{}{5}$;

з) $12 = \frac{}{2}$;

и) $7 = \frac{}{6}$;

к) $100 = \frac{}{5}$;

л) $20 = \frac{}{3}$;

м) $9 = \frac{}{4}$.

Чтобы представить целое число в виде дроби с заданным знаменателем, необходимо умножить это число на знаменатель. Полученное произведение будет числителем искомой дроби.

а) Чтобы представить число 3 в виде дроби со знаменателем 1, нужно найти такой числитель, чтобы при делении его на 1 получилось 3. Для этого умножим целое число на знаменатель: $3 \cdot 1 = 3$. Таким образом, $3 = \frac{3}{1}$.
Ответ: $3 = \frac{3}{1}$.

б) Чтобы представить число 8 в виде дроби со знаменателем 1, умножим 8 на 1: $8 \cdot 1 = 8$.
Ответ: $8 = \frac{8}{1}$.

в) Чтобы представить число 2 в виде дроби со знаменателем 2, умножим 2 на 2: $2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $2 = \frac{4}{2}$.

г) Чтобы представить число 4 в виде дроби со знаменателем 2, умножим 4 на 2: $4 \cdot 2 = 8$.
Ответ: $4 = \frac{8}{2}$.

д) Чтобы представить число 16 в виде дроби со знаменателем 3, умножим 16 на 3: $16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: $16 = \frac{48}{3}$.

е) Чтобы представить число 15 в виде дроби со знаменателем 4, умножим 15 на 4: $15 \cdot 4 = 60$.
Ответ: $15 = \frac{60}{4}$.

ж) Чтобы представить число 10 в виде дроби со знаменателем 5, умножим 10 на 5: $10 \cdot 5 = 50$.
Ответ: $10 = \frac{50}{5}$.

з) Чтобы представить число 12 в виде дроби со знаменателем 2, умножим 12 на 2: $12 \cdot 2 = 24$.
Ответ: $12 = \frac{24}{2}$.

и) Чтобы представить число 7 в виде дроби со знаменателем 6, умножим 7 на 6: $7 \cdot 6 = 42$.
Ответ: $7 = \frac{42}{6}$.

к) Чтобы представить число 100 в виде дроби со знаменателем 5, умножим 100 на 5: $100 \cdot 5 = 500$.
Ответ: $100 = \frac{500}{5}$.

л) Чтобы представить число 20 в виде дроби со знаменателем 3, умножим 20 на 3: $20 \cdot 3 = 60$.
Ответ: $20 = \frac{60}{3}$.

м) Чтобы представить число 9 в виде дроби со знаменателем 4, умножим 9 на 4: $9 \cdot 4 = 36$.
Ответ: $9 = \frac{36}{4}$.

7.137 a) Представьте каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5 в виде дроби со знаменателем 10.

б) Представьте число 12 в виде дроби со знаменателем 1, 2, 3, 4, 5.

а) Чтобы представить любое целое число в виде дроби с определенным знаменателем, необходимо умножить это число на требуемый знаменатель, а результат записать в числитель новой дроби. Иными словами, любое число $N$ можно представить в виде дроби со знаменателем $D$ по формуле: $N = \frac{N \cdot D}{D}$.

Применим это правило для чисел 1, 2, 3, 4, 5 и знаменателя 10:

• $1 = \frac{1 \cdot 10}{10} = \frac{10}{10}$
• $2 = \frac{2 \cdot 10}{10} = \frac{20}{10}$
• $3 = \frac{3 \cdot 10}{10} = \frac{30}{10}$
• $4 = \frac{4 \cdot 10}{10} = \frac{40}{10}$
• $5 = \frac{5 \cdot 10}{10} = \frac{50}{10}$

Ответ: $1 = \frac{10}{10}$; $2 = \frac{20}{10}$; $3 = \frac{30}{10}$; $4 = \frac{40}{10}$; $5 = \frac{50}{10}$.

б) Используем тот же принцип, чтобы представить число 12 в виде дроби со знаменателями 1, 2, 3, 4, 5.

• Для знаменателя 1: $12 = \frac{12 \cdot 1}{1} = \frac{12}{1}$
• Для знаменателя 2: $12 = \frac{12 \cdot 2}{2} = \frac{24}{2}$
• Для знаменателя 3: $12 = \frac{12 \cdot 3}{3} = \frac{36}{3}$
• Для знаменателя 4: $12 = \frac{12 \cdot 4}{4} = \frac{48}{4}$
• Для знаменателя 5: $12 = \frac{12 \cdot 5}{5} = \frac{60}{5}$

Ответ: $12 = \frac{12}{1}$; $12 = \frac{24}{2}$; $12 = \frac{36}{3}$; $12 = \frac{48}{4}$; $12 = \frac{60}{5}$.

7.138 Представьте в виде дроби несколькими способами числа 3, 1, 8, 15.

Любое целое число можно представить в виде дроби бесконечным количеством способов. Для этого нужно записать это число в числитель, а в знаменатель поставить 1. Например, целое число $n$ можно записать как дробь $\frac{n}{1}$.

Чтобы получить другие, равные этому числу дроби, нужно, согласно основному свойству дроби, умножить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

3

Представим число 3 в виде дроби несколькими способами:

1. Самый простой способ: $3 = \frac{3}{1}$.

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{1}$ на 2: $3 = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{6}{2}$.

3. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{1}$ на 5: $3 = \frac{3 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{15}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{1}, \frac{6}{2}, \frac{15}{5}$.

1

Число 1 можно представить в виде любой дроби, у которой числитель и знаменатель равны друг другу и не равны нулю.

1. $1 = \frac{1}{1}$.

2. $1 = \frac{7}{7}$.

3. $1 = \frac{100}{100}$.

Ответ: $\frac{1}{1}, \frac{7}{7}, \frac{100}{100}$.

8

Представим число 8 в виде дроби несколькими способами:

1. Самый простой способ: $8 = \frac{8}{1}$.

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{8}{1}$ на 3: $8 = \frac{8 \cdot 3}{1 \cdot 3} = \frac{24}{3}$.

3. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{8}{1}$ на 10: $8 = \frac{8 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{80}{10}$.

Ответ: $\frac{8}{1}, \frac{24}{3}, \frac{80}{10}$.

15

Представим число 15 в виде дроби несколькими способами:

1. Самый простой способ: $15 = \frac{15}{1}$.

2. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{15}{1}$ на 2: $15 = \frac{15 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{30}{2}$.

3. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{15}{1}$ на 4: $15 = \frac{15 \cdot 4}{1 \cdot 4} = \frac{60}{4}$.

Ответ: $\frac{15}{1}, \frac{30}{2}, \frac{60}{4}$.

7.139 Запишите все неправильные дроби с числителем 6. Какие из них представляют натуральные числа?

Запишите все неправильные дроби с числителем 6.
Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По условию, числитель равен 6. Знаменатель должен быть натуральным числом (целым положительным числом), которое меньше или равно числителю.
Пусть знаменатель равен $d$. Тогда для неправильной дроби $\frac{6}{d}$ должно выполняться условие $d \le 6$.
Возможные натуральные значения для знаменателя $d$: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Таким образом, все неправильные дроби с числителем 6: $\frac{6}{1}, \frac{6}{2}, \frac{6}{3}, \frac{6}{4}, \frac{6}{5}, \frac{6}{6}$.
Ответ: $\frac{6}{1}, \frac{6}{2}, \frac{6}{3}, \frac{6}{4}, \frac{6}{5}, \frac{6}{6}$.

Какие из них представляют натуральные числа?
Дробь представляет натуральное число, если ее числитель делится на знаменатель без остатка. Проверим каждую из найденных дробей:
$\frac{6}{1} = 6$ (6 — натуральное число)
$\frac{6}{2} = 3$ (3 — натуральное число)
$\frac{6}{3} = 2$ (2 — натуральное число)
$\frac{6}{4} = 1,5$ (не является натуральным числом)
$\frac{6}{5} = 1,2$ (не является натуральным числом)
$\frac{6}{6} = 1$ (1 — натуральное число)
Значит, натуральные числа представляют те дроби, знаменатели которых являются делителями числа 6. Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.
Ответ: $\frac{6}{1}, \frac{6}{2}, \frac{6}{3}, \frac{6}{6}$.

7.140 Сравните значения выражений:

а) $\frac{4}{6}$ и $\frac{11}{15}$;

б) $\frac{112}{64}$ и $\frac{9}{4}$;

в) $\frac{72}{144}$ и $\frac{36}{108}$;

г) $\frac{81}{45}$ и $\frac{56}{48}$.

а) Чтобы сравнить значения выражений $4 : 6$ и $11 : 15$, представим их в виде обыкновенных дробей: $4 : 6 = \frac{4}{6}$ и $11 : 15 = \frac{11}{15}$.
Сначала сократим первую дробь: $\frac{4}{6} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{3}$.
Теперь нужно сравнить дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{11}{15}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 15 равен 15.
Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 15: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$.
Теперь сравним дроби $\frac{10}{15}$ и $\frac{11}{15}$. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй ($10 < 11$), то и сама дробь меньше: $\frac{10}{15} < \frac{11}{15}$.
Следовательно, $4 : 6 < 11 : 15$.
Ответ: $4 : 6 < 11 : 15$.

б) Сравним $112 : 64$ и $9 : 4$. Представим эти отношения в виде дробей: $\frac{112}{64}$ и $\frac{9}{4}$.
Упростим первую дробь. Наибольший общий делитель чисел 112 и 64 равен 16.
$\frac{112}{64} = \frac{112 \div 16}{64 \div 16} = \frac{7}{4}$.
Теперь сравним дроби $\frac{7}{4}$ и $\frac{9}{4}$. Поскольку у них одинаковые знаменатели, сравниваем числители.
Так как $7 < 9$, то $\frac{7}{4} < \frac{9}{4}$.
Следовательно, $112 : 64 < 9 : 4$.
Ответ: $112 : 64 < 9 : 4$.

в) Сравним $72 : 144$ и $36 : 108$. Запишем их как дроби: $\frac{72}{144}$ и $\frac{36}{108}$.
Упростим каждую дробь.
$\frac{72}{144} = \frac{72 \div 72}{144 \div 72} = \frac{1}{2}$.
$\frac{36}{108} = \frac{36 \div 36}{108 \div 36} = \frac{1}{3}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$.
Так как $3 > 2$, то $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$.
Следовательно, $72 : 144 > 36 : 108$.
Ответ: $72 : 144 > 36 : 108$.

г) Сравним $81 : 45$ и $56 : 48$. Представим их в виде дробей: $\frac{81}{45}$ и $\frac{56}{48}$.
Упростим обе дроби.
Первая дробь: $\frac{81}{45} = \frac{81 \div 9}{45 \div 9} = \frac{9}{5}$.
Вторая дробь: $\frac{56}{48} = \frac{56 \div 8}{48 \div 8} = \frac{7}{6}$.
Теперь сравним дроби $\frac{9}{5}$ и $\frac{7}{6}$. Приведем их к общему знаменателю, который равен $5 \times 6 = 30$.
$\frac{9}{5} = \frac{9 \times 6}{5 \times 6} = \frac{54}{30}$.
$\frac{7}{6} = \frac{7 \times 5}{6 \times 5} = \frac{35}{30}$.
Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: так как $54 > 35$, то $\frac{54}{30} > \frac{35}{30}$.
Следовательно, $81 : 45 > 56 : 48$.
Ответ: $81 : 45 > 56 : 48$.