Страница 157 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Представьте число 6 в виде дроби разными способами. Укажите несократимую дробь, с помощью которой записывается число 6.

Любое целое число можно представить в виде дроби. Для этого достаточно записать это число в числитель, а в знаменатель поставить 1. Это и будет несократимым представлением числа в виде дроби, так как числитель и знаменатель (равный 1) не имеют общих делителей, кроме единицы.

Для числа 6 несократимой дробью будет $\frac{6}{1}$.

Чтобы получить другие дроби, равные 6, можно умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{6}{1}$ на одно и то же натуральное число (кроме 1).

Приведем несколько примеров:
1. Умножим числитель и знаменатель на 2: $6 = \frac{6 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{12}{2}$
2. Умножим числитель и знаменатель на 3: $6 = \frac{6 \cdot 3}{1 \cdot 3} = \frac{18}{3}$
3. Умножим числитель и знаменатель на 5: $6 = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{30}{5}$
4. Умножим числитель и знаменатель на 10: $6 = \frac{6 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{60}{10}$

Таким образом, число 6 можно представить бесконечным количеством способов в виде дроби.

Несократимая дробь – это дробь, которую нельзя сократить, то есть её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Среди всех дробей, равных 6, такой является только дробь $\frac{6}{1}$.

Ответ: Число 6 можно представить в виде дробей $\frac{12}{2}$, $\frac{18}{3}$, $\frac{30}{5}$ и т.д. Несократимая дробь, с помощью которой записывается число 6, это $\frac{6}{1}$.

Всегда ли можно разделить одно натуральное число на другое? Найдите частное:

а) $7 : 8$

б) $10 : 15$

в) $25 : 10$

Нет, не всегда можно разделить одно натуральное число на другое так, чтобы в результате получилось также натуральное число. Деление нацело возможно только в том случае, если делимое является кратным делителю. Например, число 7 невозможно разделить нацело на 8, так как 7 меньше 8 и не является кратным 8. Результатом такого деления будет дробное (рациональное) число.

а) Частное от деления 7 на 8 можно представить в виде дроби $\frac{7}{8}$. Чтобы перевести эту дробь в десятичную, необходимо разделить числитель на знаменатель: $7 : 8 = 0.875$. Ответ: $0.875$

б) Частное от деления 10 на 15 представим в виде дроби $\frac{10}{15}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5: $\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$. В виде десятичной дроби это число является бесконечной периодической дробью $0.(6)$. Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Чтобы найти частное от деления 25 на 10, можно представить его в виде дроби $\frac{25}{10}$ или просто разделить 25 на 10, что равносильно переносу запятой на один знак влево. $\frac{25}{10} = 2.5$. Ответ: $2.5$

7.127 Выполните деление:

а) $2 : 5$;

б) $3 : 8$;

в) $5 : 9$;

г) $7 : 4$;

д) $4 : 3$;

е) $1 : 6$;

ж) $19 : 10$;

з) $10 : 11$.

а) 2 : 5

Чтобы выполнить деление, можно представить это отношение в виде обыкновенной дроби и затем перевести ее в десятичную.

$2 : 5 = \frac{2}{5}$

Чтобы превратить дробь в десятичную, можно домножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д. В данном случае домножим на 2:

$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4

б) 3 : 8

Представим деление в виде дроби и выполним деление числителя на знаменатель столбиком.

$3 : 8 = \frac{3}{8}$

$3 \div 8 = 0,375$

Ответ: 0,375

в) 5 : 9

Представим деление в виде дроби.

$5 : 9 = \frac{5}{9}$

При делении 5 на 9 столбиком мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь. Цифра 5 в дробной части будет повторяться бесконечно.

$5 \div 9 = 0,555... = 0,(5)$

Ответ: 0,(5)

г) 7 : 4

Представим деление в виде неправильной дроби.

$7 : 4 = \frac{7}{4}$

Можно выделить целую часть: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$. Затем перевести дробную часть в десятичную дробь: $\frac{3}{4} = 0,75$. В итоге получаем $1,75$.

Или можно сразу разделить 7 на 4 столбиком:

$7 \div 4 = 1,75$

Ответ: 1,75

д) 4 : 3

Представим деление в виде неправильной дроби.

$4 : 3 = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

При делении 4 на 3 столбиком мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь. Цифра 3 в дробной части будет повторяться.

$4 \div 3 = 1,333... = 1,(3)$

Ответ: 1,(3)

е) 1 : 6

Представим деление в виде дроби.

$1 : 6 = \frac{1}{6}$

При делении 1 на 6 столбиком мы получаем смешанную бесконечную периодическую десятичную дробь.

$1 \div 6 = 0,1666... = 0,1(6)$

Ответ: 0,1(6)

ж) 19 : 10

Деление на 10 означает перенос запятой на один знак влево. У числа 19 запятая стоит после 9 (19,0).

$19 : 10 = 1,9$

Также можно представить в виде дроби: $19 : 10 = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10} = 1,9$

Ответ: 1,9

з) 10 : 11

Представим деление в виде дроби.

$10 : 11 = \frac{10}{11}$

При делении 10 на 11 столбиком мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом из двух цифр.

$10 \div 11 = 0,909090... = 0,(90)$

Ответ: 0,(90)

7.128 Выполните деление и сократите полученную дробь:

а) $\frac{4}{8}$

б) $\frac{3}{9}$

в) $\frac{12}{10}$

г) $\frac{8}{6}$

д) $\frac{25}{20}$

е) $\frac{10}{15}$

ж) $\frac{5}{25}$

з) $\frac{4}{16}$

а) Чтобы выполнить деление 4 : 8, представим его в виде обыкновенной дроби. Делимое (4) становится числителем, а делитель (8) — знаменателем: $4 : 8 = \frac{4}{8}$. Чтобы сократить дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. НОД(4, 8) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Представим деление 3 : 9 в виде дроби $\frac{3}{9}$. Наибольший общий делитель для 3 и 9 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3: $\frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) Представим деление 12 : 10 в виде дроби $\frac{12}{10}$. Наибольший общий делитель для 12 и 10 равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2: $\frac{12 \div 2}{10 \div 2} = \frac{6}{5}$.
Ответ: $\frac{6}{5}$.

г) Представим деление 8 : 6 в виде дроби $\frac{8}{6}$. Наибольший общий делитель для 8 и 6 равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2: $\frac{8 \div 2}{6 \div 2} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

д) Представим деление 25 : 20 в виде дроби $\frac{25}{20}$. Наибольший общий делитель для 25 и 20 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5: $\frac{25 \div 5}{20 \div 5} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$.

е) Представим деление 10 : 15 в виде дроби $\frac{10}{15}$. Наибольший общий делитель для 10 и 15 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5: $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

ж) Представим деление 5 : 25 в виде дроби $\frac{5}{25}$. Наибольший общий делитель для 5 и 25 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5: $\frac{5 \div 5}{25 \div 5} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

з) Представим деление 4 : 16 в виде дроби $\frac{4}{16}$. Наибольший общий делитель для 4 и 16 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $\frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

7.129 а) Ребята разделили 3 яблока поровну на 6 человек. Сколько досталось каждому?

б) Ребята разделили 4 булочки поровну на 12 человек. Сколько досталось каждому?

а) Чтобы найти, сколько яблок досталось каждому человеку, нужно общее количество яблок разделить на количество человек. В данном случае, мы делим 3 яблока на 6 человек. Это можно записать в виде дроби.

$3 \div 6 = \frac{3}{6}$

Полученную дробь можно сократить, разделив и числитель, и знаменатель на их общий делитель, равный 3.

$\frac{3}{6} = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$

Таким образом, каждому человеку досталось по половине яблока.

Ответ: $\frac{1}{2}$ яблока.

б) Чтобы найти, какая часть булочки досталась каждому человеку, нужно общее количество булочек разделить на количество человек. В данном случае, мы делим 4 булочки на 12 человек.

$4 \div 12 = \frac{4}{12}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, равный 4.

$\frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$

Следовательно, каждому человеку досталась одна третья часть булочки.

Ответ: $\frac{1}{3}$ булочки.