Страница 151 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Покажите разные способы сравнения дробей $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{5} $

Способ 1: Приведение к общему знаменателю

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их можно привести к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 4 и 5.
$НОК(4, 5) = 20$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 20, домножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.
Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $20 \div 4 = 5$:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.
Для дроби $\frac{2}{5}$ дополнительный множитель равен $20 \div 5 = 4$:
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{15}{20}$ и $\frac{8}{20}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Так как $15 > 8$, то $\frac{15}{20} > \frac{8}{20}$. Следовательно, и исходная дробь $\frac{3}{4}$ больше, чем $\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{4} > \frac{2}{5}$.

Способ 2: Преобразование в десятичные дроби

Можно преобразовать обыкновенные дроби в десятичные, выполнив деление числителя на знаменатель, а затем сравнить полученные десятичные числа.

Преобразуем дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную:
$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$.

Преобразуем дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную:
$\frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0,4$.

Теперь сравним десятичные дроби $0,75$ и $0,4$.
$0,75 > 0,4$.

Ответ: $\frac{3}{4} > \frac{2}{5}$.

Способ 3: Перекрестное умножение

Чтобы сравнить две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, можно сравнить произведения числителя первой дроби на знаменатель второй ($a \cdot d$) и знаменателя первой дроби на числитель второй ($b \cdot c$).

Сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{5}$.
Найдем первое произведение: $3 \cdot 5 = 15$.
Найдем второе произведение: $4 \cdot 2 = 8$.

Сравним полученные произведения: $15 > 8$.
Поскольку произведение числителя первой дроби на знаменатель второй больше, то и первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{3}{4} > \frac{2}{5}$.

Способ 4: Приведение к общему числителю

Дроби также можно сравнивать, приводя их к общему числителю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) числителей 3 и 2.
$НОК(3, 2) = 6$.

Приведем каждую дробь к числителю 6.
Для дроби $\frac{3}{4}$: умножим числитель и знаменатель на 2.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Для дроби $\frac{2}{5}$: умножим числитель и знаменатель на 3.
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$.

Теперь сравним дроби $\frac{6}{8}$ и $\frac{6}{15}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Так как $8 < 15$, то $\frac{6}{8} > \frac{6}{15}$.

Ответ: $\frac{3}{4} > \frac{2}{5}$.

Покажите с помощью координатной прямой, что $\frac{3}{4}$ ближе к 1, чем $\frac{2}{3}$. Какой доли «не хватает» до 1 дроби $\frac{3}{4}$; дроби $\frac{2}{3}$?

Чтобы показать с помощью координатной прямой, какая из дробей — $\frac{3}{4}$ или $\frac{2}{3}$ — ближе к 1, нужно найти и сравнить расстояния от точек, соответствующих этим дробям, до точки 1. Это расстояние также является той «недостающей» долей до единицы.

Какой доли «не хватает» до 1 дроби $\frac{3}{4}$
Найдем расстояние от $\frac{3}{4}$ до 1, вычтя дробь из единицы:
$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Ответ: дроби $\frac{3}{4}$ до 1 не хватает $\frac{1}{4}$.

Какой доли «не хватает» до 1 дроби $\frac{2}{3}$
Аналогично найдем расстояние от $\frac{2}{3}$ до 1:
$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Ответ: дроби $\frac{2}{3}$ до 1 не хватает $\frac{1}{3}$.

Теперь, чтобы показать, какая дробь ближе к 1, сравним найденные расстояния (недостающие доли): $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$. Для сравнения приведем их к общему знаменателю, который равен 12:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$

Сравниваем числители: $3 < 4$, следовательно, $\frac{3}{12} < \frac{4}{12}$, а значит и $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.

Поскольку расстояние от $\frac{3}{4}$ до 1 (равное $\frac{1}{4}$) меньше, чем расстояние от $\frac{2}{3}$ до 1 (равное $\frac{1}{3}$), это доказывает, что на координатной прямой дробь $\frac{3}{4}$ расположена ближе к 1, чем дробь $\frac{2}{3}$.

7.101 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (7.101–7.102)

Сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями и сравните дроби:

а) $&frac{6}{7}$ и $&frac{3}{7}$;

б) $&frac{2}{3}$ и $&frac{4}{3}$;

в) $&frac{5}{8}$ и $&frac{9}{8}$;

г) $&frac{10}{27}$ и $&frac{8}{27}$;

д) $&frac{14}{9}$ и $&frac{4}{9}$;

е) $&frac{7}{4}$ и $&frac{6}{4}$.

Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.

а) Сравним дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{3}{7}$. Знаменатели дробей одинаковы (7). Сравниваем числители: $6 > 3$. Следовательно, $\frac{6}{7} > \frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7} > \frac{3}{7}$.

б) Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{3}$. Знаменатели дробей одинаковы (3). Сравниваем числители: $2 < 4$. Следовательно, $\frac{2}{3} < \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3} < \frac{4}{3}$.

в) Сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{9}{8}$. Знаменатели дробей одинаковы (8). Сравниваем числители: $5 < 9$. Следовательно, $\frac{5}{8} < \frac{9}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{8} < \frac{9}{8}$.

г) Сравним дроби $\frac{10}{27}$ и $\frac{8}{27}$. Знаменатели дробей одинаковы (27). Сравниваем числители: $10 > 8$. Следовательно, $\frac{10}{27} > \frac{8}{27}$.
Ответ: $\frac{10}{27} > \frac{8}{27}$.

д) Сравним дроби $\frac{14}{9}$ и $\frac{4}{9}$. Знаменатели дробей одинаковы (9). Сравниваем числители: $14 > 4$. Следовательно, $\frac{14}{9} > \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{14}{9} > \frac{4}{9}$.

е) Сравним дроби $\frac{7}{4}$ и $\frac{6}{4}$. Знаменатели дробей одинаковы (4). Сравниваем числители: $7 > 6$. Следовательно, $\frac{7}{4} > \frac{6}{4}$.
Ответ: $\frac{7}{4} > \frac{6}{4}$.