Страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Объясните, что значит привести дроби к общему знаменателю. На примере дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{5}$ покажите, как привести дроби к общему знаменателю.

Что значит привести дроби к общему знаменателю

Привести дроби к общему знаменателю — это преобразовать их, не меняя их величины, так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Эта операция является необходимой для выполнения сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также для их сравнения.

Преобразование основано на основном свойстве дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю:
1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей. Это число будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).
2. Для каждой дроби вычислить дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Ответ: Привести дроби к общему знаменателю — это найти для них равные им дроби с одинаковыми знаменателями.

Как привести дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{5}$ к общему знаменателю

Приведём дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{5}$ к общему знаменателю, следуя алгоритму.

1. Нахождение общего знаменателя.
Знаменатели дробей — 8 и 5. Найдём их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку 8 и 5 — взаимно простые числа (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению:
$НОК(8, 5) = 8 \times 5 = 40$.
Наименьший общий знаменатель равен 40.

2. Нахождение дополнительных множителей.
Для дроби $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель: $40 \div 8 = 5$.
Для дроби $\frac{2}{5}$ дополнительный множитель: $40 \div 5 = 8$.

3. Преобразование дробей.
Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{15}{40}$
$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} = \frac{16}{40}$

В итоге, дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{5}$ приведены к общему знаменателю 40 и имеют вид $\frac{15}{40}$ и $\frac{16}{40}$.

Ответ: $\frac{15}{40}$ и $\frac{16}{40}$.

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $ \frac{7}{16} $ и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{4}{9} $.

В каждом случае расскажите, как найти наименьший общий знаменатель дробей.

а) $\frac{7}{16}$ и $\frac{3}{4}$

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

В данном случае знаменатели — 16 и 4. Для нахождения их НОК нужно проверить, делится ли больший знаменатель на меньший. Так как 16 делится на 4 без остатка ($16 \div 4 = 4$), то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них, то есть 16.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 16.

Дробь $\frac{7}{16}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для дроби $\frac{3}{4}$ найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $16 \div 4 = 4$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 4:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 4}{4 \times 4} = \frac{12}{16}$

Таким образом, дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю, — это $\frac{7}{16}$ и $\frac{12}{16}$.

Ответ: $\frac{7}{16}$ и $\frac{12}{16}$.

б) $\frac{5}{12}$ и $\frac{4}{9}$

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей, то есть НОК(12, 9).

Чтобы найти НОК, можно разложить знаменатели на простые множители:

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$

$9 = 3 \times 3 = 3^2$

Теперь возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их. Это множители $2^2$ и $3^2$.

НОЗ = НОК(12, 9) = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 36.

Для дроби $\frac{5}{12}$ дополнительный множитель равен $36 \div 12 = 3$.

$\frac{5}{12} = \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{15}{36}$

Для дроби $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель равен $36 \div 9 = 4$.

$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 4}{9 \times 4} = \frac{16}{36}$

Таким образом, дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю, — это $\frac{15}{36}$ и $\frac{16}{36}$.

Ответ: $\frac{15}{36}$ и $\frac{16}{36}$.

7.90 Найдите несколько чисел, кратных двум данным числам:

а) 3 и 7;

б) 4 и 5;

в) 6 и 12;

г) 4 и 6.

а) 3 и 7

Чтобы найти числа, кратные одновременно двум данным числам, нужно найти их общие кратные. Все общие кратные двух чисел являются кратными их наименьшему общему кратному (НОК).
Найдем НОК для чисел 3 и 7. Поскольку 3 и 7 — простые числа, они являются взаимно простыми. Их НОК равно их произведению.
НОК(3, 7) = $3 \times 7 = 21$.
Теперь найдем несколько чисел, кратных 21. Для этого умножим 21 на натуральные числа (1, 2, 3 и т.д.).
$21 \times 1 = 21$
$21 \times 2 = 42$
$21 \times 3 = 63$
Таким образом, числа 21, 42 и 63 кратны и 3, и 7.
Ответ: 21, 42, 63.

б) 4 и 5

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 4 и 5. Эти числа не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому они являются взаимно простыми. Их НОК равно их произведению.
НОК(4, 5) = $4 \times 5 = 20$.
Любое число, кратное 20, будет кратно как 4, так и 5. Найдем несколько таких чисел:
$20 \times 1 = 20$
$20 \times 2 = 40$
$20 \times 3 = 60$
Ответ: 20, 40, 60.

в) 6 и 12

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 6 и 12. Так как число 12 делится на 6 без остатка ($12 : 6 = 2$), то НОК этих двух чисел равно большему из них.
НОК(6, 12) = 12.
Следовательно, все числа, кратные 12, будут также кратны и 6. Найдем несколько таких чисел:
$12 \times 1 = 12$
$12 \times 2 = 24$
$12 \times 3 = 36$
Ответ: 12, 24, 36.

г) 4 и 6

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 4 и 6. Для этого можно разложить оба числа на простые множители.
Разложение числа 4: $4 = 2 \times 2 = 2^2$.
Разложение числа 6: $6 = 2 \times 3$.
Для нахождения НОК берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножаем их: $2^2$ и $3^1$.
НОК(4, 6) = $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.
Все общие кратные чисел 4 и 6 будут кратны 12. Найдем несколько из них:
$12 \times 1 = 12$
$12 \times 2 = 24$
$12 \times 3 = 36$
Ответ: 12, 24, 36.

7.91. Найдите несколько общих знаменателей дробей:

а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$; в) $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{3}$; д) $\frac{4}{7}$ и $\frac{9}{14}$; ж) $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{8}$;

б) $\frac{3}{5}$ и $\frac{1}{2}$; г) $\frac{7}{6}$ и $\frac{5}{3}$; е) $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{9}$; з) $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{9}$.

а) Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$ знаменателями являются числа 2 и 3. Общий знаменатель - это любое общее кратное чисел 2 и 3. Наименьшим общим кратным (НОК) для 2 и 3 является их произведение, так как это взаимно простые числа: НОК(2, 3) = $2 \times 3 = 6$. Другие общие знаменатели можно найти, умножая НОК на натуральные числа (2, 3, 4 и т.д.). Например, $6 \times 2 = 12$ и $6 \times 3 = 18$.
Ответ: 6, 12, 18.

б) Для дробей $\frac{3}{5}$ и $\frac{1}{2}$ знаменателями являются числа 5 и 2. Оба числа простые, поэтому их наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению: НОК(5, 2) = $5 \times 2 = 10$. Другие общие знаменатели - это числа, кратные 10, например, $10 \times 2 = 20$ и $10 \times 3 = 30$.
Ответ: 10, 20, 30.

в) Для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{3}$ знаменателями являются числа 4 и 3. Эти числа взаимно простые, поэтому их наименьшее общее кратное (НОК) равно их произведению: НОК(4, 3) = $4 \times 3 = 12$. Следующие общие кратные: $12 \times 2 = 24$ и $12 \times 3 = 36$.
Ответ: 12, 24, 36.

г) Для дробей $\frac{7}{6}$ и $\frac{5}{3}$ знаменателями являются числа 6 и 3. Так как 6 делится на 3 без остатка ($6 : 3 = 2$), то 6 является их наименьшим общим кратным (НОК). НОК(6, 3) = 6. Другие общие знаменатели - это числа, кратные 6, например, $6 \times 2 = 12$ и $6 \times 3 = 18$.
Ответ: 6, 12, 18.

д) Для дробей $\frac{4}{7}$ и $\frac{9}{14}$ знаменателями являются числа 7 и 14. Число 14 кратно 7 ($14 : 7 = 2$), поэтому наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел является 14. НОК(7, 14) = 14. Другие общие знаменатели: $14 \times 2 = 28$ и $14 \times 3 = 42$.
Ответ: 14, 28, 42.

е) Для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{9}$ знаменателями являются числа 3 и 9. Число 9 кратно 3 ($9 : 3 = 3$), поэтому наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел является 9. НОК(3, 9) = 9. Другие общие знаменатели: $9 \times 2 = 18$ и $9 \times 3 = 27$.
Ответ: 9, 18, 27.

ж) Для дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{8}$ знаменателями являются числа 6 и 8. Найдем их наименьшее общее кратное (НОК). Разложим числа на простые множители: $6 = 2 \times 3$, $8 = 2^3$. НОК(6, 8) = $2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$. Другие общие знаменатели будут кратны 24: $24 \times 2 = 48$ и $24 \times 3 = 72$.
Ответ: 24, 48, 72.

з) Для дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{9}$ знаменателями являются числа 6 и 9. Найдем их наименьшее общее кратное (НОК). Разложим числа на простые множители: $6 = 2 \times 3$, $9 = 3^2$. НОК(6, 9) = $2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$. Другие общие знаменатели будут кратны 18: $18 \times 2 = 36$ и $18 \times 3 = 54$.
Ответ: 18, 36, 54.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (7.92–7.95)

7.92 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{4}{3} $;

в) $ \frac{5}{16} $ и $ \frac{5}{4} $;

г) $ \frac{9}{10} $ и $ \frac{1}{20} $;

д) $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{3}{5} $;

е) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{2}{3} $;

ж) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{7}{12} $;

з) $ \frac{23}{100} $ и $ \frac{8}{25} $.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это и будет их наименьший общий знаменатель.
2. Разделить наименьший общий знаменатель на знаменатель каждой дроби, чтобы найти дополнительный множитель для каждой из них.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

а) Даны дроби $\frac{1}{8}$ и $\frac{3}{4}$.
Знаменатели дробей: 8 и 4. Наименьшее общее кратное этих чисел – 8, так как 8 делится на 4 без остатка ($8 \div 4 = 2$).
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен 8.
Для дроби $\frac{1}{8}$ дополнительный множитель равен $8 \div 8 = 1$. Дробь не изменится: $\frac{1 \cdot 1}{8 \cdot 1} = \frac{1}{8}$.
Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $8 \div 4 = 2$. Умножим числитель и знаменатель на 2: $\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$ и $\frac{6}{8}$.

б) Даны дроби $\frac{7}{9}$ и $\frac{4}{3}$.
Знаменатели: 9 и 3. НОК(9, 3) = 9, так как 9 делится на 3 ($9 \div 3 = 3$).
НОЗ = 9.
Для дроби $\frac{7}{9}$ дополнительный множитель $9 \div 9 = 1$. Дробь остается $\frac{7}{9}$.
Для дроби $\frac{4}{3}$ дополнительный множитель $9 \div 3 = 3$. Новая дробь: $\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{12}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$ и $\frac{12}{9}$.

в) Даны дроби $\frac{5}{16}$ и $\frac{5}{4}$.
Знаменатели: 16 и 4. НОК(16, 4) = 16, так как 16 делится на 4 ($16 \div 4 = 4$).
НОЗ = 16.
Для дроби $\frac{5}{16}$ дополнительный множитель $16 \div 16 = 1$. Дробь остается $\frac{5}{16}$.
Для дроби $\frac{5}{4}$ дополнительный множитель $16 \div 4 = 4$. Новая дробь: $\frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{20}{16}$.
Ответ: $\frac{5}{16}$ и $\frac{20}{16}$.

г) Даны дроби $\frac{9}{10}$ и $\frac{1}{20}$.
Знаменатели: 10 и 20. НОК(10, 20) = 20, так как 20 делится на 10 ($20 \div 10 = 2$).
НОЗ = 20.
Для дроби $\frac{9}{10}$ дополнительный множитель $20 \div 10 = 2$. Новая дробь: $\frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{18}{20}$.
Для дроби $\frac{1}{20}$ дополнительный множитель $20 \div 20 = 1$. Дробь остается $\frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{18}{20}$ и $\frac{1}{20}$.

д) Даны дроби $\frac{7}{15}$ и $\frac{3}{5}$.
Знаменатели: 15 и 5. НОК(15, 5) = 15, так как 15 делится на 5 ($15 \div 5 = 3$).
НОЗ = 15.
Для дроби $\frac{7}{15}$ дополнительный множитель $15 \div 15 = 1$. Дробь остается $\frac{7}{15}$.
Для дроби $\frac{3}{5}$ дополнительный множитель $15 \div 5 = 3$. Новая дробь: $\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$.
Ответ: $\frac{7}{15}$ и $\frac{9}{15}$.

е) Даны дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$.
Знаменатели: 6 и 3. НОК(6, 3) = 6, так как 6 делится на 3 ($6 \div 3 = 2$).
НОЗ = 6.
Для дроби $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель $6 \div 6 = 1$. Дробь остается $\frac{5}{6}$.
Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель $6 \div 3 = 2$. Новая дробь: $\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$ и $\frac{4}{6}$.

ж) Даны дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{7}{12}$.
Знаменатели: 3 и 12. НОК(3, 12) = 12, так как 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$).
НОЗ = 12.
Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель $12 \div 3 = 4$. Новая дробь: $\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.
Для дроби $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель $12 \div 12 = 1$. Дробь остается $\frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{8}{12}$ и $\frac{7}{12}$.

з) Даны дроби $\frac{23}{100}$ и $\frac{8}{25}$.
Знаменатели: 100 и 25. НОК(100, 25) = 100, так как 100 делится на 25 ($100 \div 25 = 4$).
НОЗ = 100.
Для дроби $\frac{23}{100}$ дополнительный множитель $100 \div 100 = 1$. Дробь остается $\frac{23}{100}$.
Для дроби $\frac{8}{25}$ дополнительный множитель $100 \div 25 = 4$. Новая дробь: $\frac{8 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{32}{100}$.
Ответ: $\frac{23}{100}$ и $\frac{32}{100}$.

7.93 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$;

б) $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{7}$;

в) $\frac{5}{4}$ и $\frac{4}{3}$;

г) $\frac{3}{10}$ и $\frac{1}{3}$.

а) Чтобы привести дроби $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{4} $ к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 5 и 4. Поскольку 5 и 4 являются взаимно простыми числами (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = НОК(5, 4) = 5 × 4 = 20.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби: $ 20 \div 5 = 4 $. Для второй дроби: $ 20 \div 4 = 5 $.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} $

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} $

Ответ: $ \frac{8}{20} $ и $ \frac{15}{20} $.

б) Даны дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{3}{7} $. Их знаменатели 2 и 7. Оба числа простые, поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению.

НОЗ = НОК(2, 7) = 2 × 7 = 14.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ 14 \div 2 = 7 $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ 14 \div 7 = 2 $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14} $

$ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 2}{7 \times 2} = \frac{6}{14} $

Ответ: $ \frac{7}{14} $ и $ \frac{6}{14} $.

в) Даны дроби $ \frac{5}{4} $ и $ \frac{4}{3} $. Их знаменатели 4 и 3. Числа 4 и 3 взаимно простые, поэтому их НОК равно их произведению.

НОЗ = НОК(4, 3) = 4 × 3 = 12.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ 12 \div 4 = 3 $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ 12 \div 3 = 4 $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{5}{4} = \frac{5 \times 3}{4 \times 3} = \frac{15}{12} $

$ \frac{4}{3} = \frac{4 \times 4}{3 \times 4} = \frac{16}{12} $

Ответ: $ \frac{15}{12} $ и $ \frac{16}{12} $.

г) Даны дроби $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{1}{3} $. Их знаменатели 10 и 3. Числа 10 и 3 взаимно простые, поэтому их НОК равно их произведению.

НОЗ = НОК(10, 3) = 10 × 3 = 30.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ 30 \div 10 = 3 $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ 30 \div 3 = 10 $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{3}{10} = \frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30} $

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 10}{3 \times 10} = \frac{10}{30} $

Ответ: $ \frac{9}{30} $ и $ \frac{10}{30} $.

7.94 Приведите дроби к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей; приведите эти же дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $;

б) $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{5}{8} $;

г) $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{3}{10} $.

а) Даны дроби $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $.

Приведение к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей:
Общим знаменателем будет произведение $ 4 \cdot 6 = 24 $.
Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на 6, а второй дроби — на 4:
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24} $
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24} $

Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ):
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12. Это и будет НОЗ.
Найдем дополнительные множители: для $ \frac{1}{4} $ это $ 12 \div 4 = 3 $, для $ \frac{1}{6} $ это $ 12 \div 6 = 2 $.
Умножим числители и знаменатели дробей на их дополнительные множители:
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} $

Ответ: к знаменателю 24: $ \frac{6}{24} $ и $ \frac{4}{24} $; к наименьшему общему знаменателю 12: $ \frac{3}{12} $ и $ \frac{2}{12} $.

б) Даны дроби $ \frac{1}{10} $ и $ \frac{1}{4} $.

Приведение к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей:
Общим знаменателем будет произведение $ 10 \cdot 4 = 40 $.
Умножим первую дробь на 4, а вторую на 10:
$ \frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{4}{40} $
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 10}{4 \cdot 10} = \frac{10}{40} $

Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ):
Найдем НОК(10, 4). НОК(10, 4) = 20.
Дополнительный множитель для $ \frac{1}{10} $ равен $ 20 \div 10 = 2 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{1}{4} $ равен $ 20 \div 4 = 5 $.
Приводим дроби к НОЗ:
$ \frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{2}{20} $
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20} $

Ответ: к знаменателю 40: $ \frac{4}{40} $ и $ \frac{10}{40} $; к наименьшему общему знаменателю 20: $ \frac{2}{20} $ и $ \frac{5}{20} $.

в) Даны дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{5}{8} $.

Приведение к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей:
Общий знаменатель: $ 6 \cdot 8 = 48 $.
Умножим первую дробь на 8, а вторую на 6:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \frac{40}{48} $
$ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \frac{30}{48} $

Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ):
Найдем НОК(6, 8). НОК(6, 8) = 24.
Дополнительный множитель для $ \frac{5}{6} $ равен $ 24 \div 6 = 4 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{5}{8} $ равен $ 24 \div 8 = 3 $.
Приводим дроби к НОЗ:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24} $
$ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} $

Ответ: к знаменателю 48: $ \frac{40}{48} $ и $ \frac{30}{48} $; к наименьшему общему знаменателю 24: $ \frac{20}{24} $ и $ \frac{15}{24} $.

г) Даны дроби $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{3}{10} $.

Приведение к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей:
Общий знаменатель: $ 15 \cdot 10 = 150 $.
Умножим первую дробь на 10, а вторую на 15:
$ \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 10}{15 \cdot 10} = \frac{20}{150} $
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 15}{10 \cdot 15} = \frac{45}{150} $

Приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ):
Найдем НОК(15, 10). НОК(15, 10) = 30.
Дополнительный множитель для $ \frac{2}{15} $ равен $ 30 \div 15 = 2 $.
Дополнительный множитель для $ \frac{3}{10} $ равен $ 30 \div 10 = 3 $.
Приводим дроби к НОЗ:
$ \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{4}{30} $
$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30} $

Ответ: к знаменателю 150: $ \frac{20}{150} $ и $ \frac{45}{150} $; к наименьшему общему знаменателю 30: $ \frac{4}{30} $ и $ \frac{9}{30} $.