Страница 142 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Приведите дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю 60, прокомментируйте свои действия.

Чтобы привести дробь $\frac{3}{5}$ к новому знаменателю 60, нужно выполнить следующие действия:
1. Найти дополнительный множитель. для этого необходимо новый знаменатель разделить на исходный знаменатель:
$60 \div 5 = 12$
Таким образом, дополнительный множитель равен 12.
2. Умножить числитель и знаменатель исходной дроби на полученный дополнительный множитель. Это делается в соответствии с основным свойством дроби, которое гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 12}{5 \times 12} = \frac{36}{60}$
В результате мы получили дробь $\frac{36}{60}$, которая равна исходной дроби $\frac{3}{5}$, но имеет знаменатель 60.
Ответ: $\frac{36}{60}$

Покажите на своём примере, как привести дробь к новому знаменателю.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти так называемый дополнительный множитель, а затем умножить на него и числитель, и знаменатель исходной дроби. Это действие основано на основном свойстве дроби: при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, не равное нулю, величина дроби не изменяется.

Рассмотрим это на собственном примере. Приведём дробь $ \frac{5}{8} $ к новому знаменателю 40.

Шаг 1: Нахождение дополнительного множителя.

Для этого разделим новый знаменатель (40) на старый (8):
$ 40 \div 8 = 5 $
Таким образом, дополнительный множитель равен 5.

Шаг 2: Умножение числителя и знаменателя на дополнительный множитель.

Теперь умножим числитель (5) и знаменатель (8) исходной дроби на найденный дополнительный множитель (5):
$ \frac{5 \times 5}{8 \times 5} = \frac{25}{40} $

В результате мы получили дробь $ \frac{25}{40} $, которая равна исходной дроби $ \frac{5}{8} $, но имеет требуемый знаменатель 40.

Ответ: $ \frac{25}{40} $

Покажите на примере дроби $\frac{12}{16}$, как сокращают дроби.

Сокращение дроби означает деление её числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы. Цель сокращения — упростить дробь, приведя её к несократимому виду, когда у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1. Покажем этот процесс на примере дроби $\frac{12}{16}$.

1. Нахождение наибольшего общего делителя (НОД).

Чтобы сократить дробь, нужно найти наибольшее число, на которое делятся без остатка и числитель (12), и знаменатель (16). Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).

Выпишем все делители для каждого числа:
Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Делители числа 16: 1, 2, 4, 8, 16.

Как видно, общими делителями для 12 и 16 являются числа 1, 2 и 4. Наибольший из них — 4. Значит, НОД(12, 16) = 4.

2. Деление числителя и знаменателя на НОД.

Согласно основному свойству дроби, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{16}$ на их НОД, то есть на 4.

$\frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4}$

Полученная дробь $\frac{3}{4}$ является несократимой, так как числитель 3 и знаменатель 4 больше не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: Чтобы сократить дробь $\frac{12}{16}$, необходимо найти наибольший общий делитель её числителя и знаменателя (в данном случае это 4) и разделить на него и числитель, и знаменатель. В результате получается равная ей несократимая дробь $\frac{3}{4}$.

Придумайте свой пример сокращения дроби.

Сокращение дроби — это процесс деления числителя и знаменателя на их общий положительный делитель, который больше единицы. Чтобы максимально сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

Приведем свой пример. Возьмем дробь $ \frac{42}{56} $.

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя 42 и знаменателя 56. Для этого можно разложить оба числа на простые множители:

$ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $

$ 56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7 $

Общими множителями являются $2$ и $7$. Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие множители в наименьших степенях, в которых они входят в разложения чисел. В нашем случае это $2^1$ и $7^1$.

НОД(42, 56) = $ 2 \cdot 7 = 14 $

2. Теперь разделим числитель и знаменатель нашей дроби на их НОД, то есть на 14:

$ \frac{42}{56} = \frac{42 \div 14}{56 \div 14} = \frac{3}{4} $

В результате мы получили несократимую дробь $ \frac{3}{4} $, которая равна исходной дроби $ \frac{42}{56} $.

Ответ: $ \frac{42}{56} = \frac{3}{4} $.

Запишите три какие-нибудь дроби, равные дроби $\frac{8}{16}$

Чтобы найти дроби, равные дроби $\frac{8}{16}$, можно использовать основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число (не равное нулю).

Мы можем получить равные дроби двумя способами:

1. Сокращение дроби. Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{8}{16}$ на их общий делитель. Например, оба числа делятся на 8 (это их наибольший общий делитель).
$\frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2}$

2. Умножение. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же число. Возьмем для примера число 2.
$\frac{8 \times 2}{16 \times 2} = \frac{16}{32}$

3. Умножение на другое число. Для получения третьей дроби умножим числитель и знаменатель на другое число, например, на 3.
$\frac{8 \times 3}{16 \times 3} = \frac{24}{48}$

Таким образом, мы нашли три дроби, равные исходной. Можно было выбрать и другие множители или делители, например, разделив на 2, получили бы дробь $\frac{4}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$, $\frac{16}{32}$, $\frac{24}{48}$.