Страница 139 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

РАССУЖДАЕМ (7.49–7.50)

7.49 а) Автобус прошёл четверть всего маршрута и сделал остановку. После остановки до конца маршрута он прошёл 24 км. Какова длина всего маршрута?

24 км

$\frac{1}{4}$

$\frac{3}{4}$

Рис. 7.22

Вашим рассуждениям может помочь рисунок. Изобразим весь маршрут отрезком и разделим его на четыре равные части (рис. 8.22). После того как пройдена четверть маршрута, осталось пройти три четверти этого маршрута, и эти три четверти составляют 24 км. Закончите решение задачи.

б) В пакете лежали орехи. Когда высыпали треть содержимого пакета, то в пакете осталось 18 орехов. Сколько орехов было в пакете первоначально?

а)

Пусть весь маршрут автобуса равен 1 (единице). По условию, автобус прошёл четверть всего маршрута, то есть $ \frac{1}{4} $ часть пути, и сделал остановку.

1. Найдём, какая часть маршрута осталась после остановки. Для этого вычтем из всего маршрута (1) пройденную часть ($ \frac{1}{4} $):
$ 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $ (часть маршрута).

2. Из условия известно, что оставшаяся часть маршрута составляет 24 км. Таким образом, $ \frac{3}{4} $ всего маршрута равны 24 км.

3. Чтобы найти длину одной четверти ($ \frac{1}{4} $) маршрута, нужно расстояние, соответствующее трём четвертям (24 км), разделить на 3:
$ 24 \div 3 = 8 $ (км) — составляет $ \frac{1}{4} $ часть всего маршрута.

4. Весь маршрут состоит из четырёх таких частей. Чтобы найти длину всего маршрута, нужно длину одной части (8 км) умножить на 4:
$ 8 \times 4 = 32 $ (км).

Ответ: длина всего маршрута 32 км.

б)

Пусть первоначальное количество орехов в пакете равно 1 (единице). По условию, из пакета высыпали треть содержимого, то есть $ \frac{1}{3} $ всех орехов.

1. Найдём, какая часть орехов осталась в пакете. Для этого вычтем из общего количества (1) высыпанную часть ($ \frac{1}{3} $):
$ 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $ (часть всех орехов).

2. Из условия известно, что в пакете осталось 18 орехов. Таким образом, $ \frac{2}{3} $ от первоначального количества орехов равны 18.

3. Чтобы найти, сколько орехов составляет одна треть ($ \frac{1}{3} $) от общего количества, нужно количество оставшихся орехов (18) разделить на 2:
$ 18 \div 2 = 9 $ (орехов) — составляет $ \frac{1}{3} $ часть всех орехов.

4. Изначально в пакете было три таких части ($ \frac{3}{3} $). Чтобы найти общее количество орехов, нужно количество орехов в одной части (9) умножить на 3:
$ 9 \times 3 = 27 $ (орехов).

Ответ: первоначально в пакете было 27 орехов.

7.50 a) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и ещё одну книгу, то осталось 2 книги. Сколько книг лежало на столе?

б) Когда Петя отдал брату половину всех значков и ещё 3 значка, у него осталось 19 значков. Сколько значков было у Пети первоначально?

а)

Эту задачу можно решить, рассуждая с конца, или с помощью уравнения.

Способ 1: Решение с конца

1. После того, как взяли книги, на столе осталось 2 книги.

2. Перед тем как взяли «ещё одну книгу», на столе было $2 + 1 = 3$ книги.

3. Эти 3 книги представляют собой половину всех книг, которые были на столе до того, как с него взяли первую часть. Значит, изначально на столе было в два раза больше книг: $3 \cdot 2 = 6$ книг.

Способ 2: Составление уравнения

Пусть $x$ — это первоначальное количество книг на столе.
Сначала взяли половину всех книг, то есть $\frac{x}{2}$.
Потом взяли ещё одну книгу. Всего взяли $(\frac{x}{2} + 1)$ книг.
Оставшееся количество книг равно $x - (\frac{x}{2} + 1)$.
По условию, осталось 2 книги. Составим и решим уравнение:

$x - (\frac{x}{2} + 1) = 2$

$x - \frac{x}{2} - 1 = 2$

$\frac{x}{2} = 2 + 1$

$\frac{x}{2} = 3$

$x = 3 \cdot 2$

$x = 6$

Ответ: 6 книг.

б)

Эту задачу также можно решить двумя способами.

Способ 1: Решение с конца

1. У Пети осталось 19 значков.

2. До того, как он отдал «ещё 3 значка», у него было $19 + 3 = 22$ значка.

3. Эти 22 значка — это половина от его первоначального количества значков. Следовательно, изначально у него было в два раза больше: $22 \cdot 2 = 44$ значка.

Способ 2: Составление уравнения

Пусть $y$ — это первоначальное количество значков у Пети.
Он отдал брату половину всех значков ($\frac{y}{2}$) и ещё 3 значка. Всего он отдал $(\frac{y}{2} + 3)$ значков.
У него осталось $y - (\frac{y}{2} + 3)$ значков.
По условию, у него осталось 19 значков. Составим и решим уравнение:

$y - (\frac{y}{2} + 3) = 19$

$y - \frac{y}{2} - 3 = 19$

$\frac{y}{2} = 19 + 3$

$\frac{y}{2} = 22$

$y = 22 \cdot 2$

$y = 44$

Ответ: 44 значка.

7.51 Найдите значение выражения:

а) $500 - 2 \cdot 6^3$;

б) $(113 - 108)^3$;

в) $79 + 11^2$;

г) $(3 \cdot 8^2) : 4^2$.

а) Чтобы найти значение выражения $500 - 2 \cdot 6^3$, необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение и, наконец, вычитание.

1. Вычислим значение $6^3$:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

2. Теперь выполним умножение:

$2 \cdot 216 = 432$

3. Выполним вычитание:

$500 - 432 = 68$

Ответ: 68

б) Чтобы найти значение выражения $(113 - 108)^3$, сначала выполним действие в скобках, а затем возведем результат в степень.

1. Вычислим разность в скобках:

$113 - 108 = 5$

2. Возведем полученный результат в третью степень:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125

в) Чтобы найти значение выражения $79 + 11^2$, сначала выполним возведение в степень, а затем сложение.

1. Вычислим значение $11^2$:

$11^2 = 11 \cdot 11 = 121$

2. Выполним сложение:

$79 + 121 = 200$

Ответ: 200

г) Чтобы найти значение выражения $(3 \cdot 8^2) : 4^2$, определим порядок действий. Сначала выполняем действия в скобках (возведение в степень, затем умножение), параллельно вычисляем степень делителя, и в конце выполняем деление.

1. Вычислим значение $8^2$ в скобках:

$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$

2. Выполним умножение в скобках:

$3 \cdot 64 = 192$

3. Вычислим значение делителя $4^2$:

$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$

4. Выполним деление:

$192 : 16 = 12$

Ответ: 12

7.52 Наташа и её подруга должны запечатать 360 конвертов с приглашениями на юбилей школы. Наташа запечатывает 40 конвертов в час, а её подруга – 50 конвертов. За какое время они выполнят всю работу, если будут работать вместе?

Для того чтобы определить, за какое время Наташа и её подруга выполнят всю работу вместе, необходимо сначала найти их общую производительность (скорость работы), а затем разделить общее количество работы на эту производительность.

1. Сначала найдем, сколько конвертов в час они запечатывают вместе. Для этого сложим их скорости:

Скорость Наташи: $40$ конвертов/час.

Скорость подруги: $50$ конвертов/час.

Общая скорость: $40 + 50 = 90$ конвертов/час.

2. Теперь, зная общую скорость и общее количество конвертов, найдем время, необходимое для выполнения всей работы. Для этого разделим общее количество конвертов на общую скорость:

Общее количество конвертов: $360$.

Время = (Общее количество конвертов) / (Общая скорость)

$360 \div 90 = 4$ часа.

Следовательно, работая вместе, они выполнят всю работу за 4 часа.

Ответ: 4 часа.

7.53 Два мастера работают на фабрике ёлочных украшений. Один из них расписывает 20 ёлочных шаров в час, а другой — 25. Первый работал 5 дней по 8 ч в день, а второй — 4 дня по 6 ч в день. Сколько ёлочных шаров расписали они вместе?

Для решения задачи необходимо сначала вычислить, сколько ёлочных шаров расписал каждый мастер по отдельности, а затем сложить эти значения.

1. Вычислим количество шаров, расписанных первым мастером.
Сначала найдём общее количество часов, которое он отработал:
$5 \text{ дней} \cdot 8 \frac{\text{часов}}{\text{день}} = 40 \text{ часов}$
Теперь умножим количество часов на его производительность (20 шаров в час):
$40 \text{ часов} \cdot 20 \frac{\text{шаров}}{\text{час}} = 800 \text{ шаров}$

2. Вычислим количество шаров, расписанных вторым мастером.
Сначала найдём общее количество часов, которое он отработал:
$4 \text{ дня} \cdot 6 \frac{\text{часов}}{\text{день}} = 24 \text{ часа}$
Теперь умножим количество часов на его производительность (25 шаров в час):
$24 \text{ часа} \cdot 25 \frac{\text{шаров}}{\text{час}} = 600 \text{ шаров}$

3. Сложим количество шаров, расписанных обоими мастерами, чтобы найти общее количество.
$800 + 600 = 1400 \text{ шаров}$

Ответ: 1400.

7.54 1) Измерьте все стороны и все углы пятиугольника, изображённого на рисунке 7.23.

2) Скопируйте пятиугольник в тетрадь. Выполните необходимые измерения и найдите его периметр.

Рис. 7.23

1)

Для того чтобы измерить стороны и углы пятиугольника KTPNM, воспользуемся координатной сеткой, на которой он изображён. Примем длину стороны одной клетки за 1 условную единицу (ед.).

Сначала определим координаты вершин пятиугольника, выбрав за начало отсчета левый нижний угол сетки:

• K(1, 3)
• T(1, 1)
• P(3, 1)
• N(4, 3)
• M(2.5, 5)

Длины сторон:

Длину каждого отрезка можно вычислить, используя его проекции на оси координат и теорему Пифагора (формула расстояния между точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$):

• $KT$: вертикальный отрезок, его длина равна разности y-координат: $3 - 1 = 2$ ед.
• $TP$: горизонтальный отрезок, его длина равна разности x-координат: $3 - 1 = 2$ ед.
• $PN$: отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 ед. ($4-3=1$) и 2 ед. ($3-1=2$). Длина $PN = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.24$ ед.
• $NM$: отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1.5 ед. ($4-2.5=1.5$) и 2 ед. ($5-3=2$). Длина $NM = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5$ ед.
• $MK$: отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1.5 ед. ($2.5-1=1.5$) и 2 ед. ($5-3=2$). Длина $MK = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{6.25} = 2.5$ ед.

Величины углов:

Величины углов можно точно вычислить с помощью тригонометрических функций или векторов. Результаты вычислений (с округлением до одного знака после запятой):

• $\angle K$ (при вершине K): $\approx 143.1^\circ$
• $\angle T$ (при вершине T): образован вертикальной и горизонтальной сторонами, которые перпендикулярны, поэтому угол прямой. $\angle T = 90^\circ$.
• $\angle P$ (при вершине P): $\approx 116.6^\circ$
• $\angle N$ (при вершине N): $\approx 116.6^\circ$
• $\angle M$ (при вершине M): $\approx 73.7^\circ$

Для проверки сложим все углы. Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника должна быть равна $(5-2) \times 180^\circ = 540^\circ$.

$143.1^\circ + 90^\circ + 116.6^\circ + 116.6^\circ + 73.7^\circ = 540^\circ$.

Ответ: Стороны: $KT = 2$ ед., $TP = 2$ ед., $PN = \sqrt{5} \approx 2.24$ ед., $NM = 2.5$ ед., $MK = 2.5$ ед. Углы: $\angle K \approx 143.1^\circ$, $\angle T = 90^\circ$, $\angle P \approx 116.6^\circ$, $\angle N \approx 116.6^\circ$, $\angle M \approx 73.7^\circ$.

2)

Для нахождения периметра пятиугольника необходимо сложить длины всех его сторон. Воспользуемся результатами, полученными в пункте 1.

Периметр $P$ равен сумме длин сторон:

$P = KT + TP + PN + NM + MK$

Подставим вычисленные значения:

$P = 2 + 2 + \sqrt{5} + 2.5 + 2.5$

Сложив числовые значения, получим точное значение периметра:

$P = 9 + \sqrt{5}$ ед.

Для получения приближенного значения используем $\sqrt{5} \approx 2.24$:

$P \approx 9 + 2.24 = 11.24$ ед.

Ответ: Периметр пятиугольника равен $9 + \sqrt{5}$ ед., что приблизительно составляет 11.24 ед.