Номер 7.54, страница 139 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.2. Что такое дробь. Глава 7. Дроби - номер 7.54, страница 139.

7.54 1) Измерьте все стороны и все углы пятиугольника, изображённого на рисунке 7.23.

2) Скопируйте пятиугольник в тетрадь. Выполните необходимые измерения и найдите его периметр.

Рис. 7.23

1)

Для того чтобы измерить стороны и углы пятиугольника KTPNM, воспользуемся координатной сеткой, на которой он изображён. Примем длину стороны одной клетки за 1 условную единицу (ед.).

Сначала определим координаты вершин пятиугольника, выбрав за начало отсчета левый нижний угол сетки:

• K(1, 3)
• T(1, 1)
• P(3, 1)
• N(4, 3)
• M(2.5, 5)

Длины сторон:

Длину каждого отрезка можно вычислить, используя его проекции на оси координат и теорему Пифагора (формула расстояния между точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$):

• $KT$: вертикальный отрезок, его длина равна разности y-координат: $3 - 1 = 2$ ед.
• $TP$: горизонтальный отрезок, его длина равна разности x-координат: $3 - 1 = 2$ ед.
• $PN$: отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 ед. ($4-3=1$) и 2 ед. ($3-1=2$). Длина $PN = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2.24$ ед.
• $NM$: отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1.5 ед. ($4-2.5=1.5$) и 2 ед. ($5-3=2$). Длина $NM = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5$ ед.
• $MK$: отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1.5 ед. ($2.5-1=1.5$) и 2 ед. ($5-3=2$). Длина $MK = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{6.25} = 2.5$ ед.

Величины углов:

Величины углов можно точно вычислить с помощью тригонометрических функций или векторов. Результаты вычислений (с округлением до одного знака после запятой):

• $\angle K$ (при вершине K): $\approx 143.1^\circ$
• $\angle T$ (при вершине T): образован вертикальной и горизонтальной сторонами, которые перпендикулярны, поэтому угол прямой. $\angle T = 90^\circ$.
• $\angle P$ (при вершине P): $\approx 116.6^\circ$
• $\angle N$ (при вершине N): $\approx 116.6^\circ$
• $\angle M$ (при вершине M): $\approx 73.7^\circ$

Для проверки сложим все углы. Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника должна быть равна $(5-2) \times 180^\circ = 540^\circ$.

$143.1^\circ + 90^\circ + 116.6^\circ + 116.6^\circ + 73.7^\circ = 540^\circ$.

Ответ: Стороны: $KT = 2$ ед., $TP = 2$ ед., $PN = \sqrt{5} \approx 2.24$ ед., $NM = 2.5$ ед., $MK = 2.5$ ед. Углы: $\angle K \approx 143.1^\circ$, $\angle T = 90^\circ$, $\angle P \approx 116.6^\circ$, $\angle N \approx 116.6^\circ$, $\angle M \approx 73.7^\circ$.

2)

Для нахождения периметра пятиугольника необходимо сложить длины всех его сторон. Воспользуемся результатами, полученными в пункте 1.

Периметр $P$ равен сумме длин сторон:

$P = KT + TP + PN + NM + MK$

Подставим вычисленные значения:

$P = 2 + 2 + \sqrt{5} + 2.5 + 2.5$

Сложив числовые значения, получим точное значение периметра:

$P = 9 + \sqrt{5}$ ед.

Для получения приближенного значения используем $\sqrt{5} \approx 2.24$:

$P \approx 9 + 2.24 = 11.24$ ед.

Ответ: Периметр пятиугольника равен $9 + \sqrt{5}$ ед., что приблизительно составляет 11.24 ед.