Страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.62 Приведите дроби:

а) $ \frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{6}{5}, \frac{31}{25} $ к знаменателю 100;

б) $ \frac{2}{5}, \frac{5}{12}, \frac{7}{15}, \frac{13}{30} $ к знаменателю 60;

в) $ \frac{1}{4}, \frac{7}{6}, \frac{3}{8}, \frac{17}{12} $ к знаменателю 24;

г) $ \frac{2}{3}, \frac{7}{5}, \frac{4}{9}, \frac{16}{15} $ к знаменателю 45.

а) Чтобы привести дроби к знаменателю 100, для каждой дроби найдем дополнительный множитель, разделив 100 на знаменатель дроби. Затем умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Для дроби $\frac{3}{2}$ дополнительный множитель равен $100 \div 2 = 50$. Получаем: $\frac{3 \cdot 50}{2 \cdot 50} = \frac{150}{100}$.
Для дроби $\frac{5}{4}$ дополнительный множитель равен $100 \div 4 = 25$. Получаем: $\frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{125}{100}$.
Для дроби $\frac{6}{5}$ дополнительный множитель равен $100 \div 5 = 20$. Получаем: $\frac{6 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{120}{100}$.
Для дроби $\frac{31}{25}$ дополнительный множитель равен $100 \div 25 = 4$. Получаем: $\frac{31 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{124}{100}$.
Ответ: $\frac{150}{100}, \frac{125}{100}, \frac{120}{100}, \frac{124}{100}$.

б) Приведем дроби к знаменателю 60.
Для $\frac{2}{5}$ дополнительный множитель $60 \div 5 = 12$. Тогда $\frac{2 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{24}{60}$.
Для $\frac{5}{12}$ дополнительный множитель $60 \div 12 = 5$. Тогда $\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$.
Для $\frac{7}{15}$ дополнительный множитель $60 \div 15 = 4$. Тогда $\frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$.
Для $\frac{13}{30}$ дополнительный множитель $60 \div 30 = 2$. Тогда $\frac{13 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{26}{60}$.
Ответ: $\frac{24}{60}, \frac{25}{60}, \frac{28}{60}, \frac{26}{60}$.

в) Приведем дроби к знаменателю 24.
Для $\frac{1}{4}$ дополнительный множитель $24 \div 4 = 6$. Тогда $\frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24}$.
Для $\frac{7}{6}$ дополнительный множитель $24 \div 6 = 4$. Тогда $\frac{7 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{28}{24}$.
Для $\frac{3}{8}$ дополнительный множитель $24 \div 8 = 3$. Тогда $\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$.
Для $\frac{17}{12}$ дополнительный множитель $24 \div 12 = 2$. Тогда $\frac{17 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{34}{24}$.
Ответ: $\frac{6}{24}, \frac{28}{24}, \frac{9}{24}, \frac{34}{24}$.

г) Приведем дроби к знаменателю 45.
Для $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель $45 \div 3 = 15$. Тогда $\frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{30}{45}$.
Для $\frac{7}{5}$ дополнительный множитель $45 \div 5 = 9$. Тогда $\frac{7 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{63}{45}$.
Для $\frac{4}{9}$ дополнительный множитель $45 \div 9 = 5$. Тогда $\frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45}$.
Для $\frac{16}{15}$ дополнительный множитель $45 \div 15 = 3$. Тогда $\frac{16 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{48}{45}$.
Ответ: $\frac{30}{45}, \frac{63}{45}, \frac{20}{45}, \frac{48}{45}$.

7.63 Приведите к знаменателю 36 те из данных дробей, которые возможно: $\frac{7}{12}$, $\frac{7}{11}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{7}{7}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{7}{4}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{7}{2}$.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо, чтобы новый знаменатель (в данном случае 36) делился нацело на исходный знаменатель. Это возможно только в том случае, если исходный знаменатель является делителем нового. Для этого мы находим дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый, и умножаем на него и числитель, и знаменатель исходной дроби.

Делителями числа 36 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Из предложенного списка знаменателей {12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} мы можем выбрать только те, которые являются делителями числа 36. Это: 12, 9, 6, 4, 3, 2.

Приведем соответствующие дроби к знаменателю 36.

Найдем дополнительный множитель: $36 \div 12 = 3$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 3:

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$

Ответ: $\frac{21}{36}$

Найдем дополнительный множитель: $36 \div 9 = 4$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 4:

$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36}$

Ответ: $\frac{28}{36}$

Найдем дополнительный множитель: $36 \div 6 = 6$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 6:

$\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{42}{36}$

Ответ: $\frac{42}{36}$

Найдем дополнительный множитель: $36 \div 4 = 9$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 9:

$\frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{63}{36}$

Ответ: $\frac{63}{36}$

Найдем дополнительный множитель: $36 \div 3 = 12$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 12:

$\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{84}{36}$

Ответ: $\frac{84}{36}$

Найдем дополнительный множитель: $36 \div 2 = 18$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 18:

$\frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 18}{2 \cdot 18} = \frac{126}{36}$

Ответ: $\frac{126}{36}$

Дроби $\frac{7}{11}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{7}{7}$ и $\frac{7}{5}$ привести к знаменателю 36 невозможно, так как 36 не делится нацело на их знаменатели (11, 10, 8, 7 и 5).

7.64 МОДЕЛИРУЕМ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКА

Начертите в тетради прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см, разделите его на 12 равных частей. Покажите с помощью рисунка, что верно равенство:

а) $ \frac{6}{12} = \frac{3}{6}; $

б) $ \frac{6}{12} = \frac{1}{2}; $

в) $ \frac{6}{12} = \frac{2}{4}. $

Сначала начертим в тетради прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см. Чтобы разделить его на 12 равных частей, разделим сторону длиной 6 см на 6 отрезков по 1 см, а сторону длиной 2 см — на 2 отрезка по 1 см. Проведя через эти точки прямые, параллельные сторонам, мы получим сетку из 12 одинаковых квадратов размером 1x1 см. Каждый такой квадрат составляет $\frac{1}{12}$ часть всего прямоугольника.

Для демонстрации равенств закрасим 6 из 12 квадратов. Это соответствует дроби $\frac{6}{12}$. Закрашенная область составляет ровно половину прямоугольника.

а) Чтобы показать, что $\frac{6}{12} = \frac{3}{6}$, мы должны мысленно разделить наш прямоугольник на 6 равных частей. Каждая такая часть будет состоять из $12 \div 6 = 2$ маленьких квадратов. Например, можно сгруппировать квадраты в 6 вертикальных полос размером 2х1 см. Закрашенная нами область (6 маленьких квадратов) будет занимать ровно 3 такие полосы. Таким образом, закрашенная часть составляет $\frac{3}{6}$ от всего прямоугольника. Так как закрашенная площадь одна и та же, равенство верно.

Ответ: $\frac{6}{12} = \frac{3}{6}$.

б) Чтобы показать, что $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, разделим наш прямоугольник на 2 равные части. Это можно сделать, проведя вертикальную линию посередине стороны длиной 6 см. Каждая из двух частей будет состоять из $12 \div 2 = 6$ маленьких квадратов. Закрашенная нами область (6 квадратов) в точности совпадает с одной из этих двух частей. Следовательно, закрашенная часть составляет $\frac{1}{2}$ от всего прямоугольника. Равенство доказано.

Ответ: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

в) Чтобы показать, что $\frac{6}{12} = \frac{2}{4}$, разделим наш прямоугольник на 4 равные части. Каждая такая часть будет состоять из $12 \div 4 = 3$ маленьких квадратов. Например, можно разделить сторону длиной 6 см на 4 отрезка по 1.5 см и провести вертикальные линии. Закрашенная нами область (6 квадратов) будет занимать ровно 2 такие части ($6 \div 3 = 2$). Это означает, что закрашенная площадь составляет $\frac{2}{4}$ от всего прямоугольника. Равенство верно.

Ответ: $\frac{6}{12} = \frac{2}{4}$.

7.65 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Определите, верно или неверно равенство. Объясните, как вы рассуждали.

а) $\frac{80}{90} = \frac{8}{9}$;

б) $\frac{30}{55} = \frac{6}{5}$;

в) $\frac{4}{24} = \frac{1}{2}$;

г) $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

а) Чтобы проверить верность равенства $\frac{80}{90} = \frac{8}{9}$, необходимо сократить дробь в левой части. Основное свойство дроби гласит, что если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Разделим числитель 80 и знаменатель 90 на их общий делитель 10.
$\frac{80}{90} = \frac{80 \div 10}{90 \div 10} = \frac{8}{9}$
Поскольку в результате сокращения дроби $\frac{80}{90}$ мы получили $\frac{8}{9}$, данное равенство является верным.
Ответ: верно.

б) Проверим равенство $\frac{30}{55} = \frac{6}{5}$. Для этого сократим дробь $\frac{30}{55}$. Найдём наибольший общий делитель для числителя 30 и знаменателя 55. Этим числом является 5.
$\frac{30}{55} = \frac{30 \div 5}{55 \div 5} = \frac{6}{11}$
В результате сокращения мы получили дробь $\frac{6}{11}$, а не $\frac{6}{5}$. Так как $\frac{6}{11} \neq \frac{6}{5}$, исходное равенство неверно.
Ответ: неверно.

в) Проверим равенство $\frac{4}{24} = \frac{1}{2}$. Сократим дробь $\frac{4}{24}$, разделив её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4.
$\frac{4}{24} = \frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}$
Полученная дробь $\frac{1}{6}$ не равна дроби $\frac{1}{2}$. Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

г) Проверим равенство $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Сократим дробь в левой части. Наибольший общий делитель для 75 и 100 равен 25. Разделим числитель и знаменатель на 25.
$\frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$
Результат сокращения совпадает с правой частью равенства. Значит, равенство верно.
Ответ: верно.

7.66 Пятиклассники выполняли на доске задание на сокращение дробей и потом часть записей стёрли. Восстановите записи:

а) $\frac{60}{100} = \frac{}{10} = \frac{}{5}$;

б) $\frac{25}{100} = \frac{5}{} = \frac{1}{}$;

в) $\frac{24}{120} = \frac{4}{} = \frac{}{5}$.

а) Чтобы восстановить запись $\frac{60}{100} = \frac{?}{10} = \frac{?}{5}$, нужно последовательно сократить дробь, находя неизвестные числители.

1. Рассмотрим первое равенство: $\frac{60}{100} = \frac{?}{10}$.
Знаменатель уменьшился со 100 до 10, значит, его разделили на $100 \div 10 = 10$.
Чтобы дробь не изменилась, числитель также нужно разделить на 10: $60 \div 10 = 6$.
Таким образом, первая часть восстановленной записи: $\frac{60}{100} = \frac{6}{10}$.

2. Теперь рассмотрим второе равенство: $\frac{6}{10} = \frac{?}{5}$.
Знаменатель уменьшился с 10 до 5, значит, его разделили на $10 \div 5 = 2$.
Разделим на 2 и числитель: $6 \div 2 = 3$.
Полностью восстановленная запись выглядит так: $\frac{60}{100} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{60}{100} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

б) Восстановим запись $\frac{25}{100} = \frac{5}{?} = \frac{1}{?}$, находя неизвестные знаменатели.

1. Рассмотрим первое равенство: $\frac{25}{100} = \frac{5}{?}$.
Числитель уменьшился с 25 до 5, значит, его разделили на $25 \div 5 = 5$.
Чтобы дробь не изменилась, знаменатель также нужно разделить на 5: $100 \div 5 = 20$.
Таким образом, первая часть восстановленной записи: $\frac{25}{100} = \frac{5}{20}$.

2. Теперь рассмотрим второе равенство: $\frac{5}{20} = \frac{1}{?}$.
Числитель уменьшился с 5 до 1, значит, его разделили на $5 \div 1 = 5$.
Разделим на 5 и знаменатель: $20 \div 5 = 4$.
Полностью восстановленная запись выглядит так: $\frac{25}{100} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{25}{100} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

в) Восстановим запись $\frac{24}{120} = \frac{4}{?} = \frac{?}{5}$.

1. Рассмотрим первое равенство: $\frac{24}{120} = \frac{4}{?}$.
Числитель уменьшился с 24 до 4, значит, его разделили на $24 \div 4 = 6$.
Чтобы дробь не изменилась, знаменатель также нужно разделить на 6: $120 \div 6 = 20$.
Таким образом, первая часть восстановленной записи: $\frac{24}{120} = \frac{4}{20}$.

2. Теперь рассмотрим второе равенство: $\frac{4}{20} = \frac{?}{5}$.
Знаменатель уменьшился с 20 до 5, значит, его разделили на $20 \div 5 = 4$.
Разделим на 4 и числитель: $4 \div 4 = 1$.
Полностью восстановленная запись выглядит так: $\frac{24}{120} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{24}{120} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

7.67 Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 10 клеткам, и отметьте на ней точки с координатами $ \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{5}{10}, \frac{7}{10}, \frac{9}{10}, \frac{12}{10}, \frac{15}{10} $.

Отметьте на этой координатной прямой точки с координатами $ \frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}, \frac{6}{5} $.

Для решения задачи сначала начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчета — точку 0.

По условию, единичный отрезок равен 10 клеткам. Это значит, что расстояние от точки 0 до точки 1 составляет 10 клеток. Следовательно, каждая клетка на этой прямой соответствует $\frac{1}{10}$ единичного отрезка.

Начертите координатную прямую с единичным отрезком, равным 10 клеткам, и отметьте на ней точки с координатами $\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{5}{10}, \frac{7}{10}, \frac{9}{10}, \frac{12}{10}, \frac{15}{10}$

Чтобы отметить эти точки, нужно отсчитать от начала отсчета (точки 0) вправо количество клеток, равное числителю соответствующей дроби.

• Точка с координатой $\frac{1}{10}$ находится на расстоянии 1 клетки от точки 0.
• Точка с координатой $\frac{2}{10}$ находится на расстоянии 2 клеток от точки 0.
• Точка с координатой $\frac{5}{10}$ находится на расстоянии 5 клеток от точки 0.
• Точка с координатой $\frac{7}{10}$ находится на расстоянии 7 клеток от точки 0.
• Точка с координатой $\frac{9}{10}$ находится на расстоянии 9 клеток от точки 0.
• Точка с координатой $\frac{12}{10}$ находится на расстоянии 12 клеток от точки 0 (или 2 клетки вправо от отметки 1).
• Точка с координатой $\frac{15}{10}$ находится на расстоянии 15 клеток от точки 0 (или 5 клеток вправо от отметки 1).

Ответ: Точки отмечаются на координатной прямой путем отсчета от точки 0 количества клеток, равного числителю дроби, поскольку знаменатель равен 10 (длине единичного отрезка в клетках).

Отметьте на этой координатной прямой точки с координатами $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}, \frac{6}{5}$

Чтобы отметить эти точки на той же прямой, приведем дроби к знаменателю 10. Это позволит нам легко определить, сколько клеток нужно отсчитать от начала отсчета.

• Для координаты $\frac{1}{2}$:
  $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$.
  Эта точка находится на расстоянии 5 клеток от точки 0. Она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{5}{10}$.
• Для координаты $\frac{1}{5}$:
  $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10}$.
  Эта точка находится на расстоянии 2 клеток от точки 0. Она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{2}{10}$.
• Для координаты $\frac{3}{2}$:
  $\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10}$.
  Эта точка находится на расстоянии 15 клеток от точки 0. Она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{15}{10}$.
• Для координаты $\frac{6}{5}$:
  $\frac{6}{5} = \frac{6 \times 2}{5 \times 2} = \frac{12}{10}$.
  Эта точка находится на расстоянии 12 клеток от точки 0. Она совпадает с ранее отмеченной точкой $\frac{12}{10}$.

Ответ: Точки с координатами $\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}, \frac{6}{5}$ после приведения к знаменателю 10 соответствуют точкам $\frac{5}{10}, \frac{2}{10}, \frac{15}{10}, \frac{12}{10}$ и совпадают с уже отмеченными точками на координатной прямой.

7.68 Запишите числитель и знаменатель дроби в виде произведений, содержащих одинаковые множители, и сократите дробь:

a) $ \frac{4}{6}; $

б) $ \frac{15}{20}; $

в) $ \frac{8}{10}; $

г) $ \frac{15}{10}; $

д) $ \frac{20}{30}. $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{4}{6}$, представим ее числитель и знаменатель в виде произведений, содержащих одинаковые множители. Числитель 4 можно записать как произведение $2 \times 2$. Знаменатель 6 можно записать как произведение $3 \times 2$. Общим множителем для числителя и знаменателя является число 2. Запишем дробь в новом виде и выполним сокращение: $\frac{4}{6} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2 \times \cancel{2}}{3 \times \cancel{2}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{15}{20}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель 15 можно представить как $3 \times 5$. Знаменатель 20 можно представить как $4 \times 5$. Общий множитель - это 5. Запишем и сократим дробь: $\frac{15}{20} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{3 \times \cancel{5}}{4 \times \cancel{5}} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{8}{10}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель 8 можно представить как $4 \times 2$. Знаменатель 10 можно представить как $5 \times 2$. Общий множитель - это 2. Запишем и сократим дробь: $\frac{8}{10} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4 \times \cancel{2}}{5 \times \cancel{2}} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{15}{10}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель 15 можно представить как $3 \times 5$. Знаменатель 10 можно представить как $2 \times 5$. Общий множитель - это 5. Запишем и сократим дробь: $\frac{15}{10} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{3 \times \cancel{5}}{2 \times \cancel{5}} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{20}{30}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель 20 можно представить как $2 \times 10$. Знаменатель 30 можно представить как $3 \times 10$. Общий множитель - это 10. Запишем и сократим дробь: $\frac{20}{30} = \frac{2 \times 10}{3 \times 10} = \frac{2 \times \cancel{10}}{3 \times \cancel{10}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (7.69–7.71) Сократите дробь.

7.69 а) $ \frac{8}{10} $, $ \frac{4}{6} $, $ \frac{6}{9} $, $ \frac{10}{25} $, $ \frac{14}{49} $, $ \frac{15}{20} $, $ \frac{12}{15} $, $ \frac{14}{18} $.

б) $ \frac{8}{12} $, $ \frac{12}{16} $, $ \frac{12}{18} $, $ \frac{24}{40} $, $ \frac{18}{27} $, $ \frac{20}{70} $, $ \frac{8}{36} $, $ \frac{30}{75} $.

а)

Чтобы сократить дробь, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя, а затем разделить на него и числитель, и знаменатель.

$ \frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5} $
$ \frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} $
$ \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} $
$ \frac{10}{25} = \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5} $
$ \frac{14}{49} = \frac{14 \div 7}{49 \div 7} = \frac{2}{7} $
$ \frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} $
$ \frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5} $
$ \frac{14}{18} = \frac{14 \div 2}{18 \div 2} = \frac{7}{9} $
Ответ: $ \frac{4}{5} $; $ \frac{2}{3} $; $ \frac{2}{3} $; $ \frac{2}{5} $; $ \frac{2}{7} $; $ \frac{3}{4} $; $ \frac{4}{5} $; $ \frac{7}{9} $.

б)

$ \frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $
$ \frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4} $
$ \frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $
$ \frac{24}{40} = \frac{24 \div 8}{40 \div 8} = \frac{3}{5} $
$ \frac{18}{27} = \frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3} $
$ \frac{20}{70} = \frac{20 \div 10}{70 \div 10} = \frac{2}{7} $
$ \frac{8}{36} = \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9} $
$ \frac{30}{75} = \frac{30 \div 15}{75 \div 15} = \frac{2}{5} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $; $ \frac{3}{4} $; $ \frac{2}{3} $; $ \frac{3}{5} $; $ \frac{2}{3} $; $ \frac{2}{7} $; $ \frac{2}{9} $; $ \frac{2}{5} $.

7.70 a) $\frac{4}{24}$, $\frac{5}{20}$, $\frac{4}{20}$, $\frac{8}{16}$, $\frac{10}{40}$, $\frac{5}{50}$.

б) $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{9}$, $\frac{4}{16}$, $\frac{9}{45}$, $\frac{11}{66}$, $\frac{5}{35}$.

Чтобы сократить дробь, необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Сократим каждую из дробей:

1. Для дроби $\frac{4}{24}$: НОД(4, 24) = 4.
$\frac{4}{24} = \frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}$

2. Для дроби $\frac{5}{20}$: НОД(5, 20) = 5.
$\frac{5}{20} = \frac{5 \div 5}{20 \div 5} = \frac{1}{4}$

3. Для дроби $\frac{4}{20}$: НОД(4, 20) = 4.
$\frac{4}{20} = \frac{4 \div 4}{20 \div 4} = \frac{1}{5}$

4. Для дроби $\frac{8}{16}$: НОД(8, 16) = 8.
$\frac{8}{16} = \frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2}$

5. Для дроби $\frac{10}{40}$: НОД(10, 40) = 10.
$\frac{10}{40} = \frac{10 \div 10}{40 \div 10} = \frac{1}{4}$

6. Для дроби $\frac{5}{50}$: НОД(5, 50) = 5.
$\frac{5}{50} = \frac{5 \div 5}{50 \div 5} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{10}$.

Сократим дроби, используя тот же метод:

1. Для дроби $\frac{2}{4}$: НОД(2, 4) = 2.
$\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$

2. Для дроби $\frac{3}{9}$: НОД(3, 9) = 3.
$\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$

3. Для дроби $\frac{4}{16}$: НОД(4, 16) = 4.
$\frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$

4. Для дроби $\frac{9}{45}$: НОД(9, 45) = 9.
$\frac{9}{45} = \frac{9 \div 9}{45 \div 9} = \frac{1}{5}$

5. Для дроби $\frac{11}{66}$: НОД(11, 66) = 11.
$\frac{11}{66} = \frac{11 \div 11}{66 \div 11} = \frac{1}{6}$

6. Для дроби $\frac{5}{35}$: НОД(5, 35) = 5.
$\frac{5}{35} = \frac{5 \div 5}{35 \div 5} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}$.

7.71 a) $ \frac{18}{20}, \frac{5}{10}, \frac{16}{12}, \frac{30}{20}, \frac{12}{9}, \frac{2}{6}; $

6) $ \frac{55}{22}, \frac{17}{51}, \frac{12}{8}, \frac{24}{40}, \frac{15}{6}, \frac{10}{100}. $

Для сокращения дроби необходимо разделить её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

а)

Дробь $\frac{18}{20}$. НОД(18, 20) = 2.
$\frac{18}{20} = \frac{18 \div 2}{20 \div 2} = \frac{9}{10}$.
Ответ: $\frac{9}{10}$

Дробь $\frac{5}{10}$. НОД(5, 10) = 5.
$\frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

Дробь $\frac{16}{12}$. НОД(16, 12) = 4.
$\frac{16}{12} = \frac{16 \div 4}{12 \div 4} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

Дробь $\frac{30}{20}$. НОД(30, 20) = 10.
$\frac{30}{20} = \frac{30 \div 10}{20 \div 10} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

Дробь $\frac{12}{9}$. НОД(12, 9) = 3.
$\frac{12}{9} = \frac{12 \div 3}{9 \div 3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

Дробь $\frac{2}{6}$. НОД(2, 6) = 2.
$\frac{2}{6} = \frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

б)

Дробь $\frac{55}{22}$. НОД(55, 22) = 11.
$\frac{55}{22} = \frac{55 \div 11}{22 \div 11} = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$

Дробь $\frac{17}{51}$. НОД(17, 51) = 17.
$\frac{17}{51} = \frac{17 \div 17}{51 \div 17} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

Дробь $\frac{12}{8}$. НОД(12, 8) = 4.
$\frac{12}{8} = \frac{12 \div 4}{8 \div 4} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

Дробь $\frac{24}{40}$. НОД(24, 40) = 8.
$\frac{24}{40} = \frac{24 \div 8}{40 \div 8} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

Дробь $\frac{15}{6}$. НОД(15, 6) = 3.
$\frac{15}{6} = \frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$

Дробь $\frac{10}{100}$. НОД(10, 100) = 10.
$\frac{10}{100} = \frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$

7.72 Выпишите несократимые дроби: $\frac{3}{5}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{15}{25}$, $\frac{13}{14}$, $\frac{6}{7}$, $\frac{24}{35}$, $\frac{81}{90}$, $\frac{16}{48}$.

Несократимая дробь — это такая дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы выписать несократимые дроби из предложенного списка, нужно проверить каждую из них.

Дробь $\frac{3}{5}$: Числитель 3 и знаменатель 5 — простые числа. Их НОД равен 1. Следовательно, эта дробь является несократимой.

Дробь $\frac{6}{8}$: Числитель 6 и знаменатель 8 являются четными числами, а значит, оба делятся на 2. НОД(6, 8) = 2. Эта дробь является сократимой.

Дробь $\frac{15}{25}$: Числитель 15 и знаменатель 25 оканчиваются на 5, поэтому они оба делятся на 5. НОД(15, 25) = 5. Эта дробь является сократимой.

Дробь $\frac{13}{14}$: Числитель 13 является простым числом. Знаменатель 14 ($14 = 2 \cdot 7$) не имеет общих делителей с 13, кроме 1. НОД(13, 14) = 1. Следовательно, эта дробь является несократимой.

Дробь $\frac{6}{7}$: Знаменатель 7 является простым числом. Числитель 6 не делится на 7. НОД(6, 7) = 1. Следовательно, эта дробь является несократимой.

Дробь $\frac{24}{35}$: Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $24 = 2^3 \cdot 3$ и $35 = 5 \cdot 7$. У них нет общих простых множителей. НОД(24, 35) = 1. Следовательно, эта дробь является несократимой.

Дробь $\frac{81}{90}$: Оба числа, 81 и 90, делятся на 9 (так как сумма цифр каждого из них делится на 9). НОД(81, 90) = 9. Эта дробь является сократимой.

Дробь $\frac{16}{48}$: Знаменатель 48 делится на числитель 16, так как $48 = 16 \cdot 3$. НОД(16, 48) = 16. Эта дробь является сократимой.

Таким образом, выписав все дроби, для которых НОД числителя и знаменателя равен 1, мы получаем итоговый список.

Ответ: $\frac{3}{5}, \frac{13}{14}, \frac{6}{7}, \frac{24}{35}$.