Страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.102 а) Определите, какая из дробей $ \frac{15}{17} $, $ \frac{7}{17} $, $ \frac{3}{17} $, $ \frac{12}{17} $, $ \frac{9}{17} $ наименьшая и какая – наибольшая. Расположите дроби в порядке возрастания.

б) Определите, какая из дробей $ \frac{29}{100} $, $ \frac{13}{100} $, $ \frac{41}{100} $, $ \frac{7}{100} $, $ \frac{24}{100} $ наибольшая и какая – наименьшая. Расположите дроби в порядке убывания.

а)

Даны дроби: $\frac{15}{17}, \frac{7}{17}, \frac{3}{17}, \frac{12}{17}, \frac{9}{17}$.

Все эти дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 17. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями гласит: из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой числитель меньше, и больше та, у которой числитель больше.

Сравним числители данных дробей: 15, 7, 3, 12, 9.

Наименьший числитель — 3, значит, наименьшая дробь — $\frac{3}{17}$.
Наибольший числитель — 15, значит, наибольшая дробь — $\frac{15}{17}$.

Чтобы расположить дроби в порядке возрастания, нужно расположить их числители в порядке возрастания: $3 < 7 < 9 < 12 < 15$.

Соответствующий порядок дробей будет: $\frac{3}{17}, \frac{7}{17}, \frac{9}{17}, \frac{12}{17}, \frac{15}{17}$.

Ответ: наименьшая дробь — $\frac{3}{17}$, наибольшая — $\frac{15}{17}$. Дроби в порядке возрастания: $\frac{3}{17}, \frac{7}{17}, \frac{9}{17}, \frac{12}{17}, \frac{15}{17}$.

б)

Даны дроби: $\frac{29}{100}, \frac{13}{100}, \frac{41}{100}, \frac{7}{100}, \frac{24}{100}$.

Все эти дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 100. Используем то же правило сравнения.

Сравним числители: 29, 13, 41, 7, 24.

Наибольший числитель — 41, следовательно, наибольшая дробь — $\frac{41}{100}$.
Наименьший числитель — 7, следовательно, наименьшая дробь — $\frac{7}{100}$.

Чтобы расположить дроби в порядке убывания, нужно расположить их числители в порядке убывания: $41 > 29 > 24 > 13 > 7$.

Соответствующий порядок дробей будет: $\frac{41}{100}, \frac{29}{100}, \frac{24}{100}, \frac{13}{100}, \frac{7}{100}$.

Ответ: наибольшая дробь — $\frac{41}{100}$, наименьшая — $\frac{7}{100}$. Дроби в порядке убывания: $\frac{41}{100}, \frac{29}{100}, \frac{24}{100}, \frac{13}{100}, \frac{7}{100}$.

7.103 а) В тетради ученик начертил прямоугольник и закрасил $\frac{3}{7}$ этого прямоугольника. Какая часть больше — закрашенная или незакрашенная?

б) От куска верёвки отрезали $\frac{5}{9}$ всего куска. Сравните отрезанную часть с оставшейся.

в) Проехав $\frac{7}{10}$ всего пути, автобус сделал остановку. Какое расстояние меньше: которое автобус проехал или которое ему осталось проехать?

а) Примем весь прямоугольник за единицу ($1$). Закрашенная часть составляет $\frac{3}{7}$ от всего прямоугольника. Чтобы найти незакрашенную часть, нужно из целого вычесть закрашенную часть: $1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$. Теперь сравним закрашенную часть ($\frac{3}{7}$) и незакрашенную ($\frac{4}{7}$). Так как знаменатели дробей одинаковы, мы сравниваем их числители. Поскольку $3 < 4$, то и дробь $\frac{3}{7} < \frac{4}{7}$. Это означает, что незакрашенная часть больше закрашенной.
Ответ: незакрашенная часть больше.

б) Примем весь кусок верёвки за единицу ($1$). Отрезанная часть составляет $\frac{5}{9}$ всего куска. Чтобы найти оставшуюся часть, вычтем из целого отрезанную часть: $1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$. Сравниваем отрезанную часть ($\frac{5}{9}$) с оставшейся ($\frac{4}{9}$). Так как знаменатели дробей равны, сравниваем числители. Поскольку $5 > 4$, то и дробь $\frac{5}{9} > \frac{4}{9}$. Это означает, что отрезанная часть больше, чем оставшаяся.
Ответ: отрезанная часть больше оставшейся.

в) Примем весь путь за единицу ($1$). Автобус проехал $\frac{7}{10}$ всего пути. Чтобы найти, какая часть пути осталась, вычтем из всего пути пройденную часть: $1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$. Теперь сравним расстояние, которое автобус проехал ($\frac{7}{10}$), с расстоянием, которое ему осталось проехать ($\frac{3}{10}$). В задаче спрашивается, какое расстояние меньше. Сравниваем числители дробей, так как знаменатели одинаковы. Поскольку $3 < 7$, то и дробь $\frac{3}{10} < \frac{7}{10}$. Следовательно, расстояние, которое осталось проехать, меньше, чем то, которое автобус уже проехал.
Ответ: расстояние, которое осталось проехать, меньше.

7.104 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Опишите алгоритм сравнения дробей с разными знаменателями. Сравните дроби и запишите результат с помощью знаков >, < или =:

а) $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{6}{25} $ и $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{11}{6} $ и $ \frac{7}{4} $;

г) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{9}{12} $;

д) $ \frac{7}{5} $ и $ \frac{3}{2} $;

е) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{5}{8} $;

ж) $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{7}{12} $;

з) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{8} $;

и) $ \frac{25}{100} $ и $ \frac{1}{4} $.

Алгоритм сравнения дробей с разными знаменателями:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это будет их общий знаменатель.
2. Найти для каждой дроби дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
4. Сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

а) Сравним дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{4}$.

Общий знаменатель для чисел 8 и 4 — это 8. Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 8.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$

Теперь сравним дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{6}{8}$. Так как $7 > 6$, то $\frac{7}{8} > \frac{6}{8}$.

Следовательно, $\frac{7}{8} > \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{8} > \frac{3}{4}$.

б) Сравним дроби $\frac{6}{25}$ и $\frac{1}{4}$.

Найдем наименьший общий знаменатель. НОК(25, 4) = 100.

Приведем дроби к знаменателю 100:

$\frac{6}{25} = \frac{6 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{24}{100}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}$

Сравниваем $\frac{24}{100}$ и $\frac{25}{100}$. Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{100} < \frac{25}{100}$.

Следовательно, $\frac{6}{25} < \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{6}{25} < \frac{1}{4}$.

в) Сравним дроби $\frac{11}{6}$ и $\frac{7}{4}$.

Найдем наименьший общий знаменатель. НОК(6, 4) = 12.

Приведем дроби к знаменателю 12:

$\frac{11}{6} = \frac{11 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{22}{12}$

$\frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{21}{12}$

Сравниваем $\frac{22}{12}$ и $\frac{21}{12}$. Так как $22 > 21$, то $\frac{22}{12} > \frac{21}{12}$.

Следовательно, $\frac{11}{6} > \frac{7}{4}$.

Ответ: $\frac{11}{6} > \frac{7}{4}$.

г) Сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{9}{12}$.

Приведем дробь $\frac{3}{4}$ к знаменателю 12:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

Сравниваем дроби $\frac{9}{12}$ и $\frac{9}{12}$. Они равны.

Следовательно, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$.

Ответ: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$.

д) Сравним дроби $\frac{7}{5}$ и $\frac{3}{2}$.

Найдем наименьший общий знаменатель. НОК(5, 2) = 10.

Приведем дроби к знаменателю 10:

$\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{14}{10}$

$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10}$

Сравниваем $\frac{14}{10}$ и $\frac{15}{10}$. Так как $14 < 15$, то $\frac{14}{10} < \frac{15}{10}$.

Следовательно, $\frac{7}{5} < \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{7}{5} < \frac{3}{2}$.

е) Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{8}$.

Так как у этих дробей одинаковые числители, то большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $6 < 8$, то $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$.

Проверим, приведя к общему знаменателю. НОК(6, 8) = 24.

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

Так как $20 > 15$, то $\frac{20}{24} > \frac{15}{24}$, что подтверждает результат.

Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$.

ж) Сравним дроби $\frac{3}{10}$ и $\frac{7}{12}$.

Найдем наименьший общий знаменатель. НОК(10, 12) = 60.

Приведем дроби к знаменателю 60:

$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{18}{60}$

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{35}{60}$

Сравниваем $\frac{18}{60}$ и $\frac{35}{60}$. Так как $18 < 35$, то $\frac{18}{60} < \frac{35}{60}$.

Следовательно, $\frac{3}{10} < \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{3}{10} < \frac{7}{12}$.

з) Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{8}$.

Найдем наименьший общий знаменатель. НОК(5, 8) = 40.

Приведем дроби к знаменателю 40:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40}$

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$

Сравниваем $\frac{16}{40}$ и $\frac{15}{40}$. Так как $16 > 15$, то $\frac{16}{40} > \frac{15}{40}$.

Следовательно, $\frac{2}{5} > \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{2}{5} > \frac{3}{8}$.

и) Сравним дроби $\frac{25}{100}$ и $\frac{1}{4}$.

Сократим первую дробь: $\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{4}$. Они равны.

Следовательно, $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

7.105 а) Учебники составляют $ \frac{3}{7} $ библиотечного фонда, а художественная литература - $ \frac{2}{5} $. Каких книг в библиотеке больше: учебников или художественной литературы?

б) На садовом участке $ \frac{3}{10} $ всей площади занято огородом, а $ \frac{4}{15} $ - садом. Что занимает большую площадь: сад или огород?

а) Чтобы определить, каких книг в библиотеке больше, нужно сравнить дроби $ \frac{3}{7} $ (учебники) и $ \frac{2}{5} $ (художественная литература). Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 5 это 35.
Приведем первую дробь к знаменателю 35: $ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35} $.
Приведем вторую дробь к знаменателю 35: $ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35} $.
Теперь сравним полученные дроби: $ \frac{15}{35} > \frac{14}{35} $.
Следовательно, $ \frac{3}{7} > \frac{2}{5} $. Это означает, что учебники составляют большую часть библиотечного фонда, чем художественная литература.
Ответ: учебников в библиотеке больше, чем художественной литературы.

б) Чтобы определить, что занимает большую площадь, нужно сравнить дроби $ \frac{3}{10} $ (огород) и $ \frac{4}{15} $ (сад). Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 10 и 15 является 30.
Приведем первую дробь к знаменателю 30: $ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30} $.
Приведем вторую дробь к знаменателю 30: $ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30} $.
Теперь сравним полученные дроби: $ \frac{9}{30} > \frac{8}{30} $.
Следовательно, $ \frac{3}{10} > \frac{4}{15} $. Это означает, что огород занимает большую площадь, чем сад.
Ответ: огород занимает большую площадь.

РАССУЖДАЕМ (7.106–7.109)

7.106 Не приводя дроби к общему знаменателю, определите, какая из них меньше:

а) $ \frac{1}{2} $ или $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{1}{5} $ или $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{1}{7} $ или $ \frac{1}{4} $;

г) $ \frac{1}{11} $ или $ \frac{1}{12} $;

д) $ \frac{1}{8} $ или $ \frac{1}{7} $;

е) $ \frac{1}{5} $ или $ \frac{1}{12} $.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, используется правило: из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Представим, что мы делим пирог (единицу) на несколько частей. Чем больше частей (знаменатель), тем меньше будет размер каждой отдельной части (дробь).

а) Сравниваем дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.
Числители обеих дробей равны 1. Сравниваем знаменатели: $3 > 2$.
Так как знаменатель 3 больше, чем знаменатель 2, то дробь $\frac{1}{3}$ меньше, чем дробь $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Сравниваем дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{4}$.
Числители одинаковые. Сравниваем знаменатели: $5 > 4$.
Дробь с большим знаменателем будет меньше: $\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) Сравниваем дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{4}$.
Числители одинаковые. Сравниваем знаменатели: $7 > 4$.
Следовательно, дробь $\frac{1}{7}$ меньше, чем дробь $\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

г) Сравниваем дроби $\frac{1}{11}$ и $\frac{1}{12}$.
Числители одинаковые. Сравниваем знаменатели: $12 > 11$.
Поэтому, $\frac{1}{12} < \frac{1}{11}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

д) Сравниваем дроби $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{7}$.
Числители одинаковые. Сравниваем знаменатели: $8 > 7$.
Значит, дробь $\frac{1}{8}$ меньше, чем дробь $\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

е) Сравниваем дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{12}$.
Числители одинаковые. Сравниваем знаменатели: $12 > 5$.
Следовательно, $\frac{1}{12} < \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

7.107 Определите, какая из дробей ближе к 1, и сравните их:

a) $ \frac{4}{5} $ или $ \frac{5}{6} $;

б) $ \frac{3}{4} $ или $ \frac{2}{3} $;

в) $ \frac{7}{8} $ или $ \frac{2}{3} $;

г) $ \frac{9}{10} $ или $ \frac{99}{100} $;

д) $ \frac{129}{130} $ или $ \frac{12}{13} $;

е) $ \frac{5}{6} $ или $ \frac{6}{7} $.

Чтобы определить, какая из двух дробей ближе к 1, нужно найти расстояние от каждой дроби до 1. Для правильной дроби $\frac{a}{b}$ это расстояние равно $1 - \frac{a}{b}$. Чем меньше это расстояние, тем ближе дробь к 1.

а) $\frac{4}{5}$ или $\frac{5}{6}$

Сначала сравним дроби. Приведем их к общему знаменателю 30:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30}$
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30}$
Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{30} < \frac{25}{30}$, следовательно, $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$.

Теперь определим, какая дробь ближе к 1. Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
$1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
Сравним полученные расстояния $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Чем больше знаменатель у дроби с одинаковым числителем, тем она меньше. Так как $6 > 5$, то $\frac{1}{6} < \frac{1}{5}$.
Значит, дробь $\frac{5}{6}$ находится на меньшем расстоянии от 1, то есть ближе к 1.

Ответ: $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$; дробь $\frac{5}{6}$ ближе к 1.

б) $\frac{3}{4}$ или $\frac{2}{3}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 12:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
Так как $9 > 8$, то $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, следовательно, $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Сравним расстояния $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$. Так как $4 > 3$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.
Значит, дробь $\frac{3}{4}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$; дробь $\frac{3}{4}$ ближе к 1.

в) $\frac{7}{8}$ или $\frac{2}{3}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 24:
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24}$
Так как $21 > 16$, то $\frac{21}{24} > \frac{16}{24}$, следовательно, $\frac{7}{8} > \frac{2}{3}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$
$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Сравним расстояния $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{3}$. Так как $8 > 3$, то $\frac{1}{8} < \frac{1}{3}$.
Значит, дробь $\frac{7}{8}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{7}{8} > \frac{2}{3}$; дробь $\frac{7}{8}$ ближе к 1.

г) $\frac{9}{10}$ или $\frac{99}{100}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 100:
$\frac{9}{10} = \frac{9 \times 10}{10 \times 10} = \frac{90}{100}$
Так как $90 < 99$, то $\frac{90}{100} < \frac{99}{100}$, следовательно, $\frac{9}{10} < \frac{99}{100}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$
$1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100}$
Сравним расстояния $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$. Так как $100 > 10$, то $\frac{1}{100} < \frac{1}{10}$.
Значит, дробь $\frac{99}{100}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{9}{10} < \frac{99}{100}$; дробь $\frac{99}{100}$ ближе к 1.

д) $\frac{129}{130}$ или $\frac{12}{13}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 130:
$\frac{12}{13} = \frac{12 \times 10}{13 \times 10} = \frac{120}{130}$
Так как $129 > 120$, то $\frac{129}{130} > \frac{120}{130}$, следовательно, $\frac{129}{130} > \frac{12}{13}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{129}{130} = \frac{1}{130}$
$1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$
Сравним расстояния $\frac{1}{130}$ и $\frac{1}{13}$. Так как $130 > 13$, то $\frac{1}{130} < \frac{1}{13}$.
Значит, дробь $\frac{129}{130}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{129}{130} > \frac{12}{13}$; дробь $\frac{129}{130}$ ближе к 1.

е) $\frac{5}{6}$ или $\frac{6}{7}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 42:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 7}{6 \times 7} = \frac{35}{42}$
$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 6}{7 \times 6} = \frac{36}{42}$
Так как $35 < 36$, то $\frac{35}{42} < \frac{36}{42}$, следовательно, $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
$1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$
Сравним расстояния $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{7}$. Так как $7 > 6$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{6}$.
Значит, дробь $\frac{6}{7}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$; дробь $\frac{6}{7}$ ближе к 1.