Номер 7.107, страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.5. Сравнение дробей. Глава 7. Дроби - номер 7.107, страница 152.

7.107 Определите, какая из дробей ближе к 1, и сравните их:

a) $ \frac{4}{5} $ или $ \frac{5}{6} $;

б) $ \frac{3}{4} $ или $ \frac{2}{3} $;

в) $ \frac{7}{8} $ или $ \frac{2}{3} $;

г) $ \frac{9}{10} $ или $ \frac{99}{100} $;

д) $ \frac{129}{130} $ или $ \frac{12}{13} $;

е) $ \frac{5}{6} $ или $ \frac{6}{7} $.

Чтобы определить, какая из двух дробей ближе к 1, нужно найти расстояние от каждой дроби до 1. Для правильной дроби $\frac{a}{b}$ это расстояние равно $1 - \frac{a}{b}$. Чем меньше это расстояние, тем ближе дробь к 1.

а) $\frac{4}{5}$ или $\frac{5}{6}$

Сначала сравним дроби. Приведем их к общему знаменателю 30:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30}$
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30}$
Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{30} < \frac{25}{30}$, следовательно, $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$.

Теперь определим, какая дробь ближе к 1. Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
$1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
Сравним полученные расстояния $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Чем больше знаменатель у дроби с одинаковым числителем, тем она меньше. Так как $6 > 5$, то $\frac{1}{6} < \frac{1}{5}$.
Значит, дробь $\frac{5}{6}$ находится на меньшем расстоянии от 1, то есть ближе к 1.

Ответ: $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$; дробь $\frac{5}{6}$ ближе к 1.

б) $\frac{3}{4}$ или $\frac{2}{3}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 12:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
Так как $9 > 8$, то $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, следовательно, $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Сравним расстояния $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$. Так как $4 > 3$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$.
Значит, дробь $\frac{3}{4}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$; дробь $\frac{3}{4}$ ближе к 1.

в) $\frac{7}{8}$ или $\frac{2}{3}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 24:
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{16}{24}$
Так как $21 > 16$, то $\frac{21}{24} > \frac{16}{24}$, следовательно, $\frac{7}{8} > \frac{2}{3}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$
$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Сравним расстояния $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{3}$. Так как $8 > 3$, то $\frac{1}{8} < \frac{1}{3}$.
Значит, дробь $\frac{7}{8}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{7}{8} > \frac{2}{3}$; дробь $\frac{7}{8}$ ближе к 1.

г) $\frac{9}{10}$ или $\frac{99}{100}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 100:
$\frac{9}{10} = \frac{9 \times 10}{10 \times 10} = \frac{90}{100}$
Так как $90 < 99$, то $\frac{90}{100} < \frac{99}{100}$, следовательно, $\frac{9}{10} < \frac{99}{100}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$
$1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100}$
Сравним расстояния $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$. Так как $100 > 10$, то $\frac{1}{100} < \frac{1}{10}$.
Значит, дробь $\frac{99}{100}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{9}{10} < \frac{99}{100}$; дробь $\frac{99}{100}$ ближе к 1.

д) $\frac{129}{130}$ или $\frac{12}{13}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 130:
$\frac{12}{13} = \frac{12 \times 10}{13 \times 10} = \frac{120}{130}$
Так как $129 > 120$, то $\frac{129}{130} > \frac{120}{130}$, следовательно, $\frac{129}{130} > \frac{12}{13}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{129}{130} = \frac{1}{130}$
$1 - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$
Сравним расстояния $\frac{1}{130}$ и $\frac{1}{13}$. Так как $130 > 13$, то $\frac{1}{130} < \frac{1}{13}$.
Значит, дробь $\frac{129}{130}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{129}{130} > \frac{12}{13}$; дробь $\frac{129}{130}$ ближе к 1.

е) $\frac{5}{6}$ или $\frac{6}{7}$

Сравним дроби, приведя их к общему знаменателю 42:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 7}{6 \times 7} = \frac{35}{42}$
$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 6}{7 \times 6} = \frac{36}{42}$
Так как $35 < 36$, то $\frac{35}{42} < \frac{36}{42}$, следовательно, $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$.

Найдем расстояние от каждой дроби до 1:
$1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
$1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$
Сравним расстояния $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{7}$. Так как $7 > 6$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{6}$.
Значит, дробь $\frac{6}{7}$ ближе к 1.

Ответ: $\frac{5}{6} < \frac{6}{7}$; дробь $\frac{6}{7}$ ближе к 1.