Номер 7.111, страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.5. Сравнение дробей. Глава 7. Дроби - номер 7.111, страница 153.

7.111 Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, равный 14 клеткам). Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь $\frac{1}{2}$. Какие из отмеченных чисел меньше $\frac{1}{2}$? больше $\frac{1}{2}$?

Для решения задачи сначала начертим координатную прямую. Возьмем за единичный отрезок отрезок длиной 14 клеток. Начало отрезка — точка 0, конец — точка 1.

Далее нужно найти все правильные дроби со знаменателем 7. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Для знаменателя 7 возможные натуральные числители — это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Таким образом, получаем дроби: $ \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} $. Также по условию нужно отметить дробь $ \frac{1}{2} $.

Чтобы отметить эти дроби на координатной прямой, найдем их положение в клетках от точки 0. Так как единичный отрезок равен 14 клеткам, то для нахождения положения каждой дроби нужно умножить ее значение на 14:

• Положение $ \frac{1}{7} $: $ \frac{1}{7} \times 14 = 2 $ клетки от 0.
• Положение $ \frac{2}{7} $: $ \frac{2}{7} \times 14 = 4 $ клетки от 0.
• Положение $ \frac{3}{7} $: $ \frac{3}{7} \times 14 = 6 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{4}{7} $: $ \frac{4}{7} \times 14 = 8 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{5}{7} $: $ \frac{5}{7} \times 14 = 10 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{6}{7} $: $ \frac{6}{7} \times 14 = 12 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{1}{2} $: $ \frac{1}{2} \times 14 = 7 $ клеток от 0.

Теперь, когда все точки отмечены, мы можем сравнить их с дробью $ \frac{1}{2} $. Точки, расположенные на координатной прямой левее точки $ \frac{1}{2} $ (которая находится на 7-й клетке), соответствуют числам, которые меньше $ \frac{1}{2} $. Точки, расположенные правее, соответствуют числам, которые больше $ \frac{1}{2} $.

Для аналитического сравнения приведем дроби к общему знаменателю 14.

$ \frac{1}{2} = \frac{7}{14} $

$ \frac{1}{7}=\frac{2}{14}; \frac{2}{7}=\frac{4}{14}; \frac{3}{7}=\frac{6}{14}; \frac{4}{7}=\frac{8}{14}; \frac{5}{7}=\frac{10}{14}; \frac{6}{7}=\frac{12}{14} $

Какие из отмеченных чисел меньше $ \frac{1}{2} $?

Сравниваем дроби с $ \frac{7}{14} $. Меньшими будут те, у которых числитель меньше 7.

$ \frac{2}{14} < \frac{7}{14} \implies \frac{1}{7} < \frac{1}{2} $

$ \frac{4}{14} < \frac{7}{14} \implies \frac{2}{7} < \frac{1}{2} $

$ \frac{6}{14} < \frac{7}{14} \implies \frac{3}{7} < \frac{1}{2} $

Эти числа на координатной прямой находятся на 2-й, 4-й и 6-й клетках, что левее 7-й клетки, где расположена $ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7} $.

Какие из отмеченных чисел больше $ \frac{1}{2} $?

Сравниваем дроби с $ \frac{7}{14} $. Большими будут те, у которых числитель больше 7.

$ \frac{8}{14} > \frac{7}{14} \implies \frac{4}{7} > \frac{1}{2} $

$ \frac{10}{14} > \frac{7}{14} \implies \frac{5}{7} > \frac{1}{2} $

$ \frac{12}{14} > \frac{7}{14} \implies \frac{6}{7} > \frac{1}{2} $

Эти числа на координатной прямой находятся на 8-й, 10-й и 12-й клетках, что правее 7-й клетки, где расположена $ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} $.