Номер 7.117, страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.5. Сравнение дробей. Глава 7. Дроби - номер 7.117, страница 154.

7.117 a) Найдите несколько чисел, которые меньше $ \frac{1}{20} $. Сколько существует таких чисел?

б) Найдите несколько чисел, которые больше $ \frac{99}{100} $, но меньше 1. Сколько существует таких чисел?

а) Нам нужно найти числа, которые меньше дроби $\frac{1}{20}$. Для удобства переведём эту дробь в десятичную: $\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 0.05$. Таким образом, мы ищем числа, которые меньше $0.05$.

Примеры таких чисел:

• Любое отрицательное число, например, $-5$ или $-0.1$.
• Число $0$.
• Положительная дробь с большим знаменателем, например, $\frac{1}{21}$ или $\frac{1}{100}$.
• Положительная десятичная дробь, которая меньше $0.05$, например, $0.04$ или $0.01$.

Между любыми двумя различными числами всегда можно найти бесконечно много других чисел. Например, мы можем взять числа $0.04, 0.041, 0.0411, \ldots$ и так далее. Также все отрицательные числа, которых бесконечно много, меньше $\frac{1}{20}$. Следовательно, существует бесконечное множество чисел, которые меньше $\frac{1}{20}$.

Ответ: Например, числа $0$, $\frac{1}{30}$, $0.02$. Существует бесконечно много таких чисел.

б) Нам нужно найти числа, которые больше $\frac{99}{100}$ и одновременно меньше $1$. В виде десятичных дробей это означает, что число должно быть в интервале от $0.99$ до $1$.

Примеры таких чисел:

• Десятичные дроби, например, $0.991$, $0.995$, $0.999$.
• Обыкновенные дроби. Мы можем найти число, находящееся посередине между $\frac{99}{100}$ и $1$. Для этого найдем их среднее арифметическое: $(\frac{99}{100} + 1) \div 2 = (\frac{99}{100} + \frac{100}{100}) \div 2 = \frac{199}{100} \div 2 = \frac{199}{200}$.
• Еще один пример обыкновенной дроби можно получить, если использовать знаменатель $1000$: $\frac{99}{100} = \frac{990}{1000}$ и $1 = \frac{1000}{1000}$. Между ними находятся, например, дроби $\frac{991}{1000}$ или $\frac{995}{1000}$.

Так же, как и в предыдущем пункте, между двумя различными числами $\frac{99}{100}$ и $1$ можно вставить бесконечно много других чисел. Мы можем придумывать всё более и более точные дроби, которые будут попадать в этот промежуток (например, $0.999, 0.9999, 0.99999$ и т.д.). Значит, таких чисел существует бесконечно много.

Ответ: Например, числа $0.995$, $\frac{199}{200}$, $\frac{999}{1000}$. Существует бесконечно много таких чисел.