Номер 7.121, страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 7. Дроби. 7.5. Сравнение дробей. Упражнения - номер 7.121, страница 154.

Условие.

7.121 Расположите числа в порядке убывания (попробуйте сделать это, не приводя все дроби к общему знаменателю):

а) $ \frac{1}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{7}{8} $

б) $ \frac{5}{8}, \frac{7}{11}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $

в) $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{7}{5}, \frac{8}{9} $

г) $ \frac{6}{5}, \frac{3}{8}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Чтобы расположить числа $ \frac{1}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{7}{8} $ в порядке убывания, сравним их, не приводя к общему знаменателю.
Удобно сравнить эти дроби с $ \frac{1}{2} $.
Дроби, большие $ \frac{1}{2} $: $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{8} $.
Дроби, меньшие $ \frac{1}{2} $: $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{5} $.
Очевидно, что дроби из первой группы больше дробей из второй.
Сравним дроби в первой группе: $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{8} $. Чтобы получить 1, к дроби $ \frac{3}{4} $ нужно добавить $ \frac{1}{4} $, а к дроби $ \frac{7}{8} $ — $ \frac{1}{8} $. Так как $ \frac{1}{8} < \frac{1}{4} $, то дробь $ \frac{7}{8} $ находится ближе к 1, а значит, она больше: $ \frac{7}{8} > \frac{3}{4} $.
Сравним дроби во второй группе: $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{5} $. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $3 < 5$, то $ \frac{1}{3} > \frac{1}{5} $.
Располагая все числа в порядке убывания, получаем: $ \frac{7}{8}, \frac{3}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{7}{8}, \frac{3}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5} $.

б)

Расположим в порядке убывания числа $ \frac{5}{8}, \frac{7}{11}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.
Сравним дроби с одинаковыми числителями: $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{5}{12} $. Так как знаменатель 8 меньше 12, то $ \frac{5}{8} > \frac{5}{12} $.
Теперь используем сравнение с $ \frac{1}{2} $.
$ \frac{5}{8} > \frac{1}{2} $ и $ \frac{7}{11} > \frac{1}{2} $.
$ \frac{5}{12} < \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{15} < \frac{1}{2} $.
Это делит дроби на две группы. Сравним числа внутри каждой группы.
Группа "больше $ \frac{1}{2} $": $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{7}{11} $. Применим перекрестное умножение: $5 \times 11 = 55$ и $7 \times 8 = 56$. Так как $56 > 55$, то $ \frac{7}{11} > \frac{5}{8} $.
Группа "меньше $ \frac{1}{2} $": $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{15} $. Сравним их перекрестным умножением: $5 \times 15 = 75$ и $1 \times 12 = 12$. Так как $75 > 12$, то $ \frac{5}{12} > \frac{1}{15} $.
Объединяя результаты, получаем итоговый порядок: $ \frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.

Ответ: $ \frac{7}{11}, \frac{5}{8}, \frac{5}{12}, \frac{1}{15} $.

в)

Расположим в порядке убывания числа $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{7}{5}, \frac{8}{9} $.
Первым шагом сравним дроби с 1. Неправильная дробь (числитель больше знаменателя) всегда больше 1, а правильная (числитель меньше знаменателя) — меньше 1.
$ \frac{7}{5} > 1 $, так как $7 > 5$.
Остальные дроби ($ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{8}{9} $) — правильные, то есть меньше 1.
Следовательно, самая большая дробь — это $ \frac{7}{5} $.
Теперь нужно упорядочить $ \frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{8}{9} $.
Сравним их с $ \frac{1}{2} $: $ \frac{3}{8} < \frac{1}{2} $, в то время как $ \frac{5}{7} > \frac{1}{2} $ и $ \frac{8}{9} > \frac{1}{2} $. Это значит, что $ \frac{3}{8} $ — самая маленькая из этих трех дробей.
Осталось сравнить $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{8}{9} $. Обе дроби близки к 1. Найдем, сколько им "не хватает" до единицы: $1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$, а $1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Сравним эти "недостающие части": $ \frac{2}{7} $ и $ \frac{1}{9} $. Перекрестное умножение дает $2 \times 9 = 18$ и $1 \times 7 = 7$. Поскольку $18 > 7$, то $ \frac{2}{7} > \frac{1}{9} $. Дробь, которой не хватает до единицы меньшей части, будет больше. Значит, $ \frac{8}{9} > \frac{5}{7} $.
Итоговый порядок: $ \frac{7}{5}, \frac{8}{9}, \frac{5}{7}, \frac{3}{8} $.

Ответ: $ \frac{7}{5}, \frac{8}{9}, \frac{5}{7}, \frac{3}{8} $.

г)

Расположим в порядке убывания числа $ \frac{6}{5}, \frac{3}{8}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9} $.
Снова начнем со сравнения с 1.
Дроби, большие 1 (неправильные): $ \frac{6}{5} $ и $ \frac{9}{8} $.
Дроби, меньшие 1 (правильные): $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{9} $.
Сравним дроби в первой группе: $ \frac{6}{5} $ и $ \frac{9}{8} $. Представим их в виде смешанных чисел: $ \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} $ и $ \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} $. Чтобы их сравнить, достаточно сравнить дробные части $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{8} $. У них одинаковые числители, значит, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $5 < 8$, то $ \frac{1}{5} > \frac{1}{8} $. Следовательно, $ \frac{6}{5} > \frac{9}{8} $.
Теперь сравним дроби из второй группы: $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{4}{9} $. Используем перекрестное умножение: $3 \times 9 = 27$ и $4 \times 8 = 32$. Так как $32 > 27$, то $ \frac{4}{9} > \frac{3}{8} $.
Объединяя все сравнения, получаем итоговый ряд: $ \frac{6}{5}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9}, \frac{3}{8} $.

Ответ: $ \frac{6}{5}, \frac{9}{8}, \frac{4}{9}, \frac{3}{8} $.