Номер 7.120, страница 154 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.5. Сравнение дробей. Глава 7. Дроби - номер 7.120, страница 154.

7.120 Расположите числа в порядке возрастания (попробуйте сделать это, не приводя все дроби к общему знаменателю):

а) $ \frac{3}{4}, \frac{2}{5}, \frac{4}{7},$

б) $ \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{12},$

в) $ \frac{11}{12}, \frac{5}{11}, \frac{3}{7},$

г) $ \frac{7}{15}, \frac{7}{20}, \frac{8}{25}.$

а) Даны числа $ \frac{3}{4}, \frac{2}{5}, \frac{4}{7} $. Чтобы расположить их в порядке возрастания, не приводя все дроби к одному общему знаменателю, будем сравнивать их попарно с помощью перекрестного умножения.

1. Сравним $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{4}{7} $. Для этого умножим числитель первой дроби на знаменатель второй ($ 2 \times 7 = 14 $) и знаменатель первой дроби на числитель второй ($ 5 \times 4 = 20 $). Так как $ 14 < 20 $, то и первая дробь меньше второй: $ \frac{2}{5} < \frac{4}{7} $.

2. Сравним $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{3}{4} $. Проделаем ту же операцию: $ 4 \times 4 = 16 $ и $ 7 \times 3 = 21 $. Так как $ 16 < 21 $, то $ \frac{4}{7} < \frac{3}{4} $.

3. Мы получили два неравенства: $ \frac{2}{5} < \frac{4}{7} $ и $ \frac{4}{7} < \frac{3}{4} $. Объединив их, получаем итоговый порядок.

Ответ: $ \frac{2}{5}, \frac{4}{7}, \frac{3}{4} $.

б) Даны числа $ \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{12} $.

1. Сравним $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{4} $. Обе дроби близки к 1. Найдем, насколько каждая из них меньше единицы: $ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $ и $ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $. Поскольку $ \frac{1}{3} > \frac{1}{4} $, это означает, что дробь $ \frac{2}{3} $ находится "дальше" от единицы, чем $ \frac{3}{4} $. Следовательно, $ \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $.

2. Теперь сравним $ \frac{5}{12} $ с наименьшей из уже сравненных дробей, то есть с $ \frac{2}{3} $. Используем перекрестное умножение: $ 5 \times 3 = 15 $ и $ 12 \times 2 = 24 $. Так как $ 15 < 24 $, то $ \frac{5}{12} < \frac{2}{3} $.

3. Из полученных неравенств $ \frac{5}{12} < \frac{2}{3} $ и $ \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $ следует искомый порядок.

Ответ: $ \frac{5}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4} $.

в) Даны числа $ \frac{11}{12}, \frac{5}{11}, \frac{3}{7} $.

1. Удобно сравнить эти дроби с числом $ \frac{1}{2} $.

- Для дроби $ \frac{11}{12} $: числитель 11 больше половины знаменателя ($ 12 \div 2 = 6 $). Значит, $ \frac{11}{12} > \frac{1}{2} $.
- Для дроби $ \frac{5}{11} $: числитель 5 меньше половины знаменателя ($ 11 \div 2 = 5.5 $). Значит, $ \frac{5}{11} < \frac{1}{2} $.
- Для дроби $ \frac{3}{7} $: числитель 3 меньше половины знаменателя ($ 7 \div 2 = 3.5 $). Значит, $ \frac{3}{7} < \frac{1}{2} $.
Таким образом, дробь $ \frac{11}{12} $ является наибольшей из трех.

2. Осталось сравнить две дроби, которые меньше $ \frac{1}{2} $: $ \frac{5}{11} $ и $ \frac{3}{7} $. Применим перекрестное умножение: $ 5 \times 7 = 35 $ и $ 11 \times 3 = 33 $. Так как $ 33 < 35 $, то $ \frac{3}{7} < \frac{5}{11} $.

3. Собирая все вместе, получаем конечный результат.

Ответ: $ \frac{3}{7}, \frac{5}{11}, \frac{11}{12} $.

г) Даны числа $ \frac{7}{15}, \frac{7}{20}, \frac{8}{25} $.

1. Сначала сравним дроби $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{7}{20} $. У них одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $ 15 < 20 $, то $ \frac{7}{15} > \frac{7}{20} $.

2. Теперь необходимо определить местоположение дроби $ \frac{8}{25} $. Сравним ее с $ \frac{7}{20} $. Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 25 — это 100.

$ \frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} $
$ \frac{8}{25} = \frac{8 \times 4}{25 \times 4} = \frac{32}{100} $
Так как $ 32 < 35 $, то $ \frac{8}{25} < \frac{7}{20} $.

3. Мы установили, что $ \frac{8}{25} < \frac{7}{20} $ и $ \frac{7}{20} < \frac{7}{15} $. Это и дает нам итоговый порядок.

Ответ: $ \frac{8}{25}, \frac{7}{20}, \frac{7}{15} $.