Номер 7.59, страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 7.3. Основное свойство дроби. Глава 7. Дроби - номер 7.59, страница 143.

7.59 Восстановите запись:

а) $\frac{1}{3} = \frac{\quad}{6} = \frac{\quad}{9} = \frac{\quad}{12} = \frac{\quad}{15} = \frac{\quad}{18}$

б) $\frac{1}{4} = \frac{\quad}{12} = \frac{4}{\quad} = \frac{\quad}{20} = \frac{7}{\quad} = \frac{\quad}{60}$

в) $\frac{4}{5} = \frac{\quad}{10} = \frac{\quad}{15} = \frac{\quad}{25} = \frac{\quad}{75} = \frac{\quad}{100}$

г) $\frac{5}{6} = \frac{\quad}{12} = \frac{25}{\quad} = \frac{\quad}{36} = \frac{50}{\quad} = \frac{\quad}{66}$

а) В данной цепочке равенств все дроби должны быть равны первой дроби $ \frac{1}{3} $. Чтобы найти неизвестные знаменатели, воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, получится равная ей дробь. Для каждой дроби определим, на какое число был умножен числитель, и умножим знаменатель на то же число.

1. $ \frac{1}{3} = \frac{2}{?} $. Числитель 1 умножили на 2, чтобы получить 2. Значит, знаменатель 3 тоже нужно умножить на 2: $ 3 \times 2 = 6 $. Получаем дробь $ \frac{2}{6} $.

2. $ \frac{1}{3} = \frac{3}{?} $. Числитель 1 умножили на 3. Значит, знаменатель 3 умножаем на 3: $ 3 \times 3 = 9 $. Получаем дробь $ \frac{3}{9} $.

3. $ \frac{1}{3} = \frac{4}{?} $. Числитель 1 умножили на 4. Значит, знаменатель 3 умножаем на 4: $ 3 \times 4 = 12 $. Получаем дробь $ \frac{4}{12} $.

4. $ \frac{1}{3} = \frac{5}{?} $. Числитель 1 умножили на 5. Значит, знаменатель 3 умножаем на 5: $ 3 \times 5 = 15 $. Получаем дробь $ \frac{5}{15} $.

5. $ \frac{1}{3} = \frac{6}{?} $. Числитель 1 умножили на 6. Значит, знаменатель 3 умножаем на 6: $ 3 \times 6 = 18 $. Получаем дробь $ \frac{6}{18} $.

Восстановленная запись: $ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15} = \frac{6}{18} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15} = \frac{6}{18} $

б) Все дроби в этой последовательности равны $ \frac{1}{4} $. Чтобы найти пропущенные числа, мы определяем, во сколько раз изменился известный числитель или знаменатель по сравнению с исходной дробью, и применяем тот же множитель к неизвестной части дроби.

1. $ \frac{1}{4} = \frac{?}{12} $. Знаменатель 4 увеличился в 3 раза ($ 12 : 4 = 3 $). Умножаем числитель 1 на 3: $ 1 \times 3 = 3 $. Получаем дробь $ \frac{3}{12} $.

2. $ \frac{1}{4} = \frac{4}{?} $. Числитель 1 увеличился в 4 раза ($ 4 : 1 = 4 $). Умножаем знаменатель 4 на 4: $ 4 \times 4 = 16 $. Получаем дробь $ \frac{4}{16} $.

3. $ \frac{1}{4} = \frac{?}{20} $. Знаменатель 4 увеличился в 5 раз ($ 20 : 4 = 5 $). Умножаем числитель 1 на 5: $ 1 \times 5 = 5 $. Получаем дробь $ \frac{5}{20} $.

4. $ \frac{1}{4} = \frac{7}{?} $. Числитель 1 увеличился в 7 раз ($ 7 : 1 = 7 $). Умножаем знаменатель 4 на 7: $ 4 \times 7 = 28 $. Получаем дробь $ \frac{7}{28} $.

5. $ \frac{1}{4} = \frac{?}{60} $. Знаменатель 4 увеличился в 15 раз ($ 60 : 4 = 15 $). Умножаем числитель 1 на 15: $ 1 \times 15 = 15 $. Получаем дробь $ \frac{15}{60} $.

Восстановленная запись: $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16} = \frac{5}{20} = \frac{7}{28} = \frac{15}{60} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16} = \frac{5}{20} = \frac{7}{28} = \frac{15}{60} $

в) Исходная дробь — $ \frac{4}{5} $. Найдём пропущенные числители, сохраняя равенство. Для этого определим, во сколько раз знаменатель каждой следующей дроби больше знаменателя исходной дроби (числа 5), и на это же число умножим числитель исходной дроби (число 4).

1. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{10} $. Знаменатель увеличился в 2 раза ($ 10 : 5 = 2 $). Умножаем числитель на 2: $ 4 \times 2 = 8 $. Получаем $ \frac{8}{10} $.

2. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{15} $. Знаменатель увеличился в 3 раза ($ 15 : 5 = 3 $). Умножаем числитель на 3: $ 4 \times 3 = 12 $. Получаем $ \frac{12}{15} $.

3. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{25} $. Знаменатель увеличился в 5 раз ($ 25 : 5 = 5 $). Умножаем числитель на 5: $ 4 \times 5 = 20 $. Получаем $ \frac{20}{25} $.

4. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{75} $. Знаменатель увеличился в 15 раз ($ 75 : 5 = 15 $). Умножаем числитель на 15: $ 4 \times 15 = 60 $. Получаем $ \frac{60}{75} $.

5. $ \frac{4}{5} = \frac{?}{100} $. Знаменатель увеличился в 20 раз ($ 100 : 5 = 20 $). Умножаем числитель на 20: $ 4 \times 20 = 80 $. Получаем $ \frac{80}{100} $.

Восстановленная запись: $ \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = \frac{12}{15} = \frac{20}{25} = \frac{60}{75} = \frac{80}{100} $.

Ответ: $ \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = \frac{12}{15} = \frac{20}{25} = \frac{60}{75} = \frac{80}{100} $

г) Эталонная дробь — $ \frac{5}{6} $. Для восстановления записи находим множитель для каждой дроби, сравнивая её известный числитель или знаменатель с соответствующим в дроби $ \frac{5}{6} $, а затем умножаем на этот множитель вторую часть дроби.

1. $ \frac{5}{6} = \frac{?}{12} $. Знаменатель 6 умножили на 2 ($ 12 : 6 = 2 $). Значит, числитель 5 также умножаем на 2: $ 5 \times 2 = 10 $. Получаем $ \frac{10}{12} $.

2. $ \frac{5}{6} = \frac{25}{?} $. Числитель 5 умножили на 5 ($ 25 : 5 = 5 $). Значит, знаменатель 6 также умножаем на 5: $ 6 \times 5 = 30 $. Получаем $ \frac{25}{30} $.

3. $ \frac{5}{6} = \frac{?}{36} $. Знаменатель 6 умножили на 6 ($ 36 : 6 = 6 $). Значит, числитель 5 также умножаем на 6: $ 5 \times 6 = 30 $. Получаем $ \frac{30}{36} $.

4. $ \frac{5}{6} = \frac{50}{?} $. Числитель 5 умножили на 10 ($ 50 : 5 = 10 $). Значит, знаменатель 6 также умножаем на 10: $ 6 \times 10 = 60 $. Получаем $ \frac{50}{60} $.

5. $ \frac{5}{6} = \frac{?}{66} $. Знаменатель 6 умножили на 11 ($ 66 : 6 = 11 $). Значит, числитель 5 также умножаем на 11: $ 5 \times 11 = 55 $. Получаем $ \frac{55}{66} $.

Восстановленная запись: $ \frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{25}{30} = \frac{30}{36} = \frac{50}{60} = \frac{55}{66} $.

Ответ: $ \frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{25}{30} = \frac{30}{36} = \frac{50}{60} = \frac{55}{66} $