Номер 8.16, страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 8.1. Сложение и вычитание дробей. Глава 8. Действия с дробями - номер 8.16, страница 166.

8.16 Вычислите сумму:

а) $\frac{11}{30} + \frac{7}{12};$

б) $\frac{1}{27} + \frac{5}{18};$

в) $\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15};$

г) $\frac{3}{7} + \frac{1}{6} + \frac{5}{14};$

д) $\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{18};$

е) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}.$

а) $\frac{11}{30} + \frac{7}{12}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 30 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Наименьший общий знаменатель: НОК(30, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для $\frac{11}{30}$ дополнительный множитель: $60 \div 30 = 2$.

Для $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель: $60 \div 12 = 5$.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{22}{60} + \frac{35}{60} = \frac{22 + 35}{60} = \frac{57}{60}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3.

$\frac{57 \div 3}{60 \div 3} = \frac{19}{20}$.

Ответ: $\frac{19}{20}$.

б) $\frac{1}{27} + \frac{5}{18}$

Найдем НОК для знаменателей 27 и 18.

Разложим на множители:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

НОК(27, 18) = $2 \cdot 3^3 = 54$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{1}{27}$: $54 \div 27 = 2$.

Для $\frac{5}{18}$: $54 \div 18 = 3$.

Сложим дроби:

$\frac{1 \cdot 2}{27 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} = \frac{2}{54} + \frac{15}{54} = \frac{2 + 15}{54} = \frac{17}{54}$.

Дробь $\frac{17}{54}$ несократима, так как 17 - простое число.

Ответ: $\frac{17}{54}$.

в) $\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Найдем НОК для знаменателей 6, 10 и 15.

Разложим на множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$10 = 2 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

НОК(6, 10, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{1}{6}$: $30 \div 6 = 5$.

Для $\frac{1}{10}$: $30 \div 10 = 3$.

Для $\frac{1}{15}$: $30 \div 15 = 2$.

Сложим дроби:

$\frac{1 \cdot 5}{30} + \frac{1 \cdot 3}{30} + \frac{1 \cdot 2}{30} = \frac{5 + 3 + 2}{30} = \frac{10}{30}$.

Сократим дробь:

$\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) $\frac{3}{7} + \frac{1}{6} + \frac{5}{14}$

Найдем НОК для знаменателей 7, 6 и 14.

Разложим на множители:

$7 = 7$

$6 = 2 \cdot 3$

$14 = 2 \cdot 7$

НОК(7, 6, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{3}{7}$: $42 \div 7 = 6$.

Для $\frac{1}{6}$: $42 \div 6 = 7$.

Для $\frac{5}{14}$: $42 \div 14 = 3$.

Сложим дроби:

$\frac{3 \cdot 6}{42} + \frac{1 \cdot 7}{42} + \frac{5 \cdot 3}{42} = \frac{18 + 7 + 15}{42} = \frac{40}{42}$.

Сократим дробь на 2:

$\frac{40 \div 2}{42 \div 2} = \frac{20}{21}$.

Ответ: $\frac{20}{21}$.

д) $\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{18}$

Найдем НОК для знаменателей 12, 9 и 18.

Разложим на множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$

$9 = 3^2$

$18 = 2 \cdot 3^2$

НОК(12, 9, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{5}{12}$: $36 \div 12 = 3$.

Для $\frac{2}{9}$: $36 \div 9 = 4$.

Для $\frac{1}{18}$: $36 \div 18 = 2$.

Сложим дроби:

$\frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{2 \cdot 4}{36} + \frac{1 \cdot 2}{36} = \frac{15 + 8 + 2}{36} = \frac{25}{36}$.

Дробь $\frac{25}{36}$ несократима.

Ответ: $\frac{25}{36}$.

е) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

Найдем НОК для знаменателей 2, 3 и 9.

Разложим на множители:

$2 = 2$

$3 = 3$

$9 = 3^2$

НОК(2, 3, 9) = $2 \cdot 3^2 = 18$.

Найдем дополнительные множители:

Для $\frac{1}{2}$: $18 \div 2 = 9$.

Для $\frac{1}{3}$: $18 \div 3 = 6$.

Для $\frac{1}{9}$: $18 \div 9 = 2$.

Сложим дроби:

$\frac{1 \cdot 9}{18} + \frac{1 \cdot 6}{18} + \frac{1 \cdot 2}{18} = \frac{9 + 6 + 2}{18} = \frac{17}{18}$.

Дробь $\frac{17}{18}$ несократима.

Ответ: $\frac{17}{18}$.