Страница 192 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.140 а) На пути от дома к озеру Андрей встретил друга. Они вместе прошли оставшиеся 300 м, что составило $ \frac{2}{5} $ расстояния от дома Андрея до озера.

На каком расстоянии от дома Андрея находится озеро?

б) До обеда продали 560 кг арбузов, что составило $ \frac{8}{15} $ всех привезённых для продажи арбузов. Сколько килограммов арбузов привезли для продажи?

а)

Это задача на нахождение целого по его части. Нам известно, что часть расстояния равна 300 м, и эта часть составляет $\frac{2}{5}$ от всего пути. Пусть $S$ — искомое расстояние от дома до озера. Тогда, согласно условию, можем составить пропорцию:

$\frac{2}{5} S = 300$ м

Чтобы найти всё расстояние $S$, нужно известную часть (300 м) разделить на дробь, которую она составляет ($\frac{2}{5}$):

$S = 300 \div \frac{2}{5}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$S = 300 \cdot \frac{5}{2} = \frac{300 \cdot 5}{2} = \frac{1500}{2} = 750$ м.

Таким образом, расстояние от дома Андрея до озера составляет 750 метров.

Ответ: 750 м.

б)

Данная задача также является задачей на нахождение целого по его известной части. Нам известно, что 560 кг проданных арбузов — это $\frac{8}{15}$ от общего количества привезённых арбузов. Пусть $M$ — общая масса арбузов, привезённых для продажи. Составим уравнение на основе условия:

$\frac{8}{15} M = 560$ кг

Чтобы найти общую массу $M$, разделим известную часть (560 кг) на соответствующую ей дробь ($\frac{8}{15}$):

$M = 560 \div \frac{8}{15}$

Выполним вычисление:

$M = 560 \cdot \frac{15}{8} = \frac{560}{8} \cdot 15$

Поскольку $560 \div 8 = 70$, получаем:

$M = 70 \cdot 15 = 1050$ кг.

Следовательно, для продажи привезли 1050 кг арбузов.

Ответ: 1050 кг.

8.141 a) Тане дали 1000 р. на приобретение школьных принадлежностей. На тетради она истратила $\frac{1}{5}$ этой суммы, а на учебники – $\frac{3}{4}$ остатка. Сколько рублей осталось?

б) Туристы за три дня прошли 48 км. В первый день они прошли $\frac{1}{4}$ всего расстояния, а во второй день – $\frac{5}{9}$ остатка. Сколько километров они прошли в третий день?

а)

1. Сначала найдем, сколько денег Таня потратила на тетради. Для этого нужно умножить общую сумму на долю, потраченную на тетради:

$1000 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1000}{5} = 200$ рублей.

2. Теперь вычислим, сколько денег осталось после покупки тетрадей. Для этого вычтем из начальной суммы стоимость тетрадей:

$1000 - 200 = 800$ рублей.

3. Далее найдем, сколько денег было потрачено на учебники. В условии сказано, что это $\frac{3}{4}$ от остатка:

$800 \cdot \frac{3}{4} = \frac{800 \cdot 3}{4} = 200 \cdot 3 = 600$ рублей.

4. Наконец, найдем, сколько денег осталось у Тани в итоге. Для этого из остатка после покупки тетрадей вычтем стоимость учебников:

$800 - 600 = 200$ рублей.

Ответ: 200 рублей.

б)

1. Сначала определим, какое расстояние туристы прошли в первый день. Это $\frac{1}{4}$ от всего пути:

$48 \cdot \frac{1}{4} = \frac{48}{4} = 12$ км.

2. Теперь найдем, какое расстояние осталось пройти после первого дня:

$48 - 12 = 36$ км.

3. Далее вычислим, какое расстояние туристы прошли во второй день. Это $\frac{5}{9}$ от оставшегося пути:

$36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{36 \cdot 5}{9} = 4 \cdot 5 = 20$ км.

4. Чтобы найти, сколько километров туристы прошли в третий день, нужно из расстояния, оставшегося после первого дня, вычесть расстояние, пройденное во второй день:

$36 - 20 = 16$ км.

Также можно из общего расстояния вычесть путь, пройденный за первые два дня:

$48 - (12 + 20) = 48 - 32 = 16$ км.

Ответ: 16 км.

8.142 a) Сыну 8 лет, его возраст составляет $ \frac{2}{9} $ возраста отца. Возраст отца составляет $ \frac{3}{5} $ возраста дедушки. Сколько лет дедушке?

б) Масса котёнка 300 г, что составляет $ \frac{2}{5} $ массы щенка. А масса щенка составляет $ \frac{3}{20} $ массы собаки. Найдите массу собаки.

а)

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия. Сначала найдем возраст отца, а затем, зная возраст отца, найдем возраст дедушки.

1. Найдем возраст отца.
Из условия известно, что 8 лет сына составляют $ \frac{2}{9} $ возраста отца. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части (8 лет) разделить на дробь, которую она составляет ($ \frac{2}{9} $).
Возраст отца: $8 : \frac{2}{9} = 8 \cdot \frac{9}{2} = \frac{8 \cdot 9}{2} = 4 \cdot 9 = 36$ лет.

2. Найдем возраст дедушки.
Теперь мы знаем, что возраст отца (36 лет) составляет $ \frac{3}{5} $ возраста дедушки. Аналогично первому действию, найдем возраст дедушки, разделив 36 на $ \frac{3}{5} $.
Возраст дедушки: $36 : \frac{3}{5} = 36 \cdot \frac{5}{3} = \frac{36 \cdot 5}{3} = 12 \cdot 5 = 60$ лет.

Ответ: 60 лет.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей в два действия. Сначала найдем массу щенка, а затем — массу собаки.

1. Найдем массу щенка.
Масса котенка (300 г) составляет $ \frac{2}{5} $ массы щенка. Чтобы найти массу щенка, нужно 300 г разделить на дробь $ \frac{2}{5} $.
Масса щенка: $300 : \frac{2}{5} = 300 \cdot \frac{5}{2} = \frac{300 \cdot 5}{2} = 150 \cdot 5 = 750$ г.

2. Найдем массу собаки.
Масса щенка (750 г) составляет $ \frac{3}{20} $ массы собаки. Чтобы найти массу собаки, нужно 750 г разделить на дробь $ \frac{3}{20} $.
Масса собаки: $750 : \frac{3}{20} = 750 \cdot \frac{20}{3} = \frac{750 \cdot 20}{3} = 250 \cdot 20 = 5000$ г.

Массу собаки можно также выразить в килограммах: $5000$ г $= 5$ кг.

Ответ: 5000 г (или 5 кг).

8.143 а) Прочитали 90 страниц. Это составило $ \frac{3}{5} $ всей книги. Сколько страниц осталось прочитать?

б) Ковёр закрывает $ \frac{3}{4} $ площади пола комнаты. Площадь ковра 18 $ \text{м}^2 $. Чему равна площадь комнаты, не закрытая ковром?

а)

1. Сначала найдем общее количество страниц в книге. Нам известно, что 90 страниц — это $ \frac{3}{5} $ от всей книги. Чтобы найти целое по его части, нужно значение части разделить на дробь, которую эта часть составляет.
$ 90 \div \frac{3}{5} = 90 \times \frac{5}{3} = \frac{90 \times 5}{3} = 30 \times 5 = 150 $ страниц.
Таким образом, в книге всего 150 страниц.

2. Теперь найдем, сколько страниц осталось прочитать. Для этого из общего количества страниц вычтем количество уже прочитанных страниц.
$ 150 - 90 = 60 $ страниц.

Ответ: осталось прочитать 60 страниц.

б)

1. Сначала найдем общую площадь пола в комнате. Нам известно, что площадь ковра 18 м² составляет $ \frac{3}{4} $ от общей площади пола. Чтобы найти целое по его части, нужно значение части разделить на соответствующую ей дробь.
$ 18 \div \frac{3}{4} = 18 \times \frac{4}{3} = \frac{18 \times 4}{3} = 6 \times 4 = 24 $ м².
Итак, общая площадь комнаты равна 24 м².

2. Теперь найдем площадь комнаты, которая не закрыта ковром. Для этого из общей площади комнаты вычтем площадь, которую занимает ковер.
$ 24 \text{ м²} - 18 \text{ м²} = 6 \text{ м²} $.

Ответ: площадь комнаты, не закрытая ковром, равна 6 м².

8.144 а) В книге две повести. Первая занимает 35 страниц, а вторая – $\frac{2}{7}$ книги. Сколько всего страниц в книге?

б) Автомобиль едет из Старицы в Тверь. Проехав 36 км, автомобиль сделал остановку, и после этого ему осталось проехать $\frac{2}{5}$ всего пути. Чему равна длина всего пути от Старицы до Твери?

а) Пусть общее количество страниц в книге равно $x$.
Вся книга — это целое, то есть 1. В книге две повести. Вторая повесть занимает $\frac{2}{7}$ книги. Следовательно, первая повесть занимает оставшуюся часть.
1. Вычислим, какую часть книги занимает первая повесть:
$1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$
2. Согласно условию, первая повесть занимает 35 страниц, что составляет $\frac{5}{7}$ всей книги. Чтобы найти общее количество страниц ($x$), необходимо количество страниц первой повести разделить на ее долю в книге:
$x = 35 : \frac{5}{7} = 35 \cdot \frac{7}{5} = \frac{35 \cdot 7}{5} = 7 \cdot 7 = 49$ (страниц).
Таким образом, общее количество страниц в книге — 49.
Ответ: 49 страниц.

б) Пусть $S$ — это длина всего пути от Старицы до Твери.
Весь путь принимаем за единицу (1). Автомобилю осталось проехать $\frac{2}{5}$ всего пути. Значит, часть пути, которую он уже проехал до остановки, можно вычислить.
1. Найдем, какую часть пути автомобиль проехал до остановки:
$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
2. В условии сказано, что автомобиль проехал 36 км, что составляет $\frac{3}{5}$ всего пути. Чтобы найти общую длину пути ($S$), нужно пройденное расстояние разделить на соответствующую ему долю:
$S = 36 : \frac{3}{5} = 36 \cdot \frac{5}{3} = \frac{36 \cdot 5}{3} = 12 \cdot 5 = 60$ (км).
Следовательно, длина всего пути от Старицы до Твери равна 60 км.
Ответ: 60 км.

8.145 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Разберите способ решения задачи:

«Оля истратила треть имевшейся у неё суммы денег, а потом ещё 100 р. В итоге она истратила половину суммы. Сколько денег было у Оли первоначально?»

Чтобы разобраться в условии задачи, обратимся к рисунку 8.11.

1) Выясним, какую часть всей суммы составляют 100 р.:

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Рис. 8.11

$$\frac{1}{3}$$ суммы

100 р.

$$\frac{1}{2}$$ суммы

2) Мы знаем, что 100 р. – это $$\frac{1}{6}$$ всей суммы. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти целое по его части, т. е. 100 р. разделить на $$\frac{1}{6}$$ или попросту 100 р. умножить на 6. Получим, что у Оли было 600 р.

Решите задачу:

а) На принтере сначала распечатали треть всей рукописи, потом — ещё 10 страниц. В результате распечатали половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?

б) При подготовке к диктанту по английскому языку Оля выучила четверть всех слов, заданных учителем. Если бы она выучила ещё 4 слова, то была бы выучена треть всех слов. Сколько слов надо выучить Оле?

а) По условию задачи, сначала распечатали треть ($\frac{1}{3}$) всей рукописи, а после того, как распечатали ещё 10 страниц, оказалось распечатано половина ($\frac{1}{2}$) всей рукописи. Следовательно, 10 страниц составляют разницу между половиной и третью всей рукописи. Найдём, какую часть рукописи составляют 10 страниц:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$
Таким образом, 10 страниц — это $\frac{1}{6}$ всей рукописи. Чтобы найти общее количество страниц в рукописи (целое по его части), нужно 10 разделить на $\frac{1}{6}$, что то же самое, что умножить 10 на 6:
$10 \cdot 6 = 60$ страниц.
Ответ: 60 страниц.

б) Оля уже выучила четверть ($\frac{1}{4}$) всех слов. Если бы она выучила ещё 4 слова, то всего было бы выучено треть ($\frac{1}{3}$) всех слов. Значит, эти 4 слова составляют разницу между третью и четвертью от общего количества слов. Найдём, какую часть от всех слов составляют 4 слова:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$
Следовательно, 4 слова — это $\frac{1}{12}$ от общего количества слов. Чтобы найти, сколько всего слов надо выучить Оле, найдём целое по его части. Для этого нужно 4 разделить на $\frac{1}{12}$, то есть умножить 4 на 12:
$4 \cdot 12 = 48$ слов.
Ответ: 48 слов.