Страница 198 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.1 Треугольник $ABC$ (рис. 9.5) равнобедренный. Назовите его:

а) основание;

б) боковые стороны;

в) углы при основании;

г) угол, противолежащий основанию.

Рис. 9.5

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Углы, прилежащие к основанию, равны между собой и называются углами при основании. Угол, лежащий напротив основания, называется углом при вершине.

На рисунке 9.5 в треугольнике $ABC$ одинаковыми штрихами обозначены равные стороны. Это стороны $AB$ и $AC$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB$ и $AC$.

а) основание

Основанием в равнобедренном треугольнике является сторона, не равная двум другим (боковым) сторонам. Поскольку боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$, то основанием будет сторона $BC$.
Ответ: $BC$.

б) боковые стороны

Боковыми сторонами в равнобедренном треугольнике являются две его равные стороны. Согласно отметкам на рисунке, это стороны $AB$ и $AC$.
Ответ: $AB$ и $AC$.

в) углы при основании

Углами при основании являются углы, которые прилегают к основанию. Так как основание — это сторона $BC$, то углами при основании будут углы при вершинах $B$ и $C$, то есть $\angle ABC$ и $\angle ACB$.
Ответ: $\angle ABC$ и $\angle ACB$.

г) угол, противолежащий основанию

Угол, противолежащий основанию, — это угол, который находится напротив стороны-основания. Основанию $BC$ противолежит угол при вершине $A$, то есть $\angle BAC$.
Ответ: $\angle BAC$.

9.2 Найдите на рисунке 9.6 равнобедренные треугольники и скопируйте их в тетрадь. Укажите боковые стороны и основание каждого из треугольников. Измерьте и запишите длины сторон и величины углов треугольника.

Для решения этой задачи необходим рисунок 9.6, который не был предоставлен. Поэтому я не могу указать конкретные треугольники, их стороны и углы. Однако я могу предоставить подробный алгоритм действий, который поможет вам выполнить задание самостоятельно, а также пример оформления ответа.

Что нужно сделать:

1. Найти равнобедренные треугольники. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. На рисунке равные стороны обычно помечаются одинаковым количеством черточек. Если черточек нет, нужно измерить стороны всех треугольников с помощью линейки. Если у треугольника две стороны оказались равной длины, он является равнобедренным.

2. Определить боковые стороны и основание. Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием.

3. Измерить и записать длины сторон. С помощью линейки измерьте длину каждой стороны найденного треугольника и запишите результаты.

4. Измерить и записать величины углов. С помощью транспортира измерьте каждый угол треугольника. Помните, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Также в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Ниже приведен пример того, как должен выглядеть ваш ответ для одного из найденных треугольников. Вам нужно будет подставить свои названия вершин и результаты измерений.

Треугольник ABC
Предположим, на рисунке 9.6 мы нашли треугольник $ABC$. С помощью линейки мы измерили его стороны и обнаружили, что $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Боковые стороны и основание:
Так как $AB = BC$, то боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$.
Основанием является сторона $AC$.

Длины сторон (результаты измерений):
$AB = 5 \text{ см}$
$BC = 5 \text{ см}$
$AC = 8 \text{ см}$

Величины углов (результаты измерений):
Углы при основании $AC$ должны быть равны: $\angle A = \angle C$.
$\angle A \approx 37^\circ$
$\angle C \approx 37^\circ$
$\angle B \approx 106^\circ$
Проверка: $37^\circ + 37^\circ + 106^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным. Боковые стороны: $AB$ и $BC$. Основание: $AC$. Длины сторон: $AB = BC = 5 \text{ см}$, $AC = 8 \text{ см}$. Величины углов: $\angle A = \angle C \approx 37^\circ$, $\angle B \approx 106^\circ$.

Вам необходимо проделать эти шаги для каждого равнобедренного треугольника, который вы найдете на своем рисунке 9.6.

9.3 Определите вид треугольника, углы которого равны:

a) $24^\circ, 137^\circ, 19^\circ$;

б) $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$;

в) $35^\circ, 60^\circ, 85^\circ$;

г) $95^\circ, 75^\circ, 10^\circ$.

Для определения вида треугольника по заданным углам необходимо сначала проверить, является ли сумма этих углов равной $180°$ (теорема о сумме углов треугольника). Если да, то треугольник существует, и его вид определяется по величине наибольшего угла.

• Если все углы меньше $90°$, треугольник остроугольный.
• Если один из углов равен $90°$, треугольник прямоугольный.
• Если один из углов больше $90°$, треугольник тупоугольный.

а) Даны углы $24°, 137°, 19°$.

Сначала проверим сумму углов: $24° + 137° + 19° = 180°$.
Сумма углов равна $180°$, следовательно, такой треугольник существует. Один из углов, $137°$, является тупым, так как он больше $90°$.
Ответ: тупоугольный.

б) Даны углы $40°, 50°, 90°$.

Проверим сумму углов: $40° + 50° + 90° = 180°$.
Сумма углов равна $180°$, следовательно, такой треугольник существует. Один из углов равен $90°$, значит, он прямой.
Ответ: прямоугольный.

в) Даны углы $35°, 60°, 85°$.

Проверим сумму углов: $35° + 60° + 85° = 180°$.
Сумма углов равна $180°$, следовательно, такой треугольник существует. Все углы ($35°, 60°, 85°$) меньше $90°$, то есть все углы острые.
Ответ: остроугольный.

г) Даны углы $95°, 75°, 10°$.

Проверим сумму углов: $95° + 75° + 10° = 180°$.
Сумма углов равна $180°$, следовательно, такой треугольник существует. Один из углов, $95°$, является тупым, так как он больше $90°$.
Ответ: тупоугольный.

9.4 a) Начертите на нелинованной бумаге прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол, равны 3 см и 5 см. Обозначьте его. Измерьте сторону, противолежащую прямому углу. Вычислите периметр треугольника.

б) Начертите на нелинованной бумаге остроугольный треугольник и обозначьте его. Измерьте все его углы и запишите их в порядке возрастания.

в) Начертите на нелинованной бумаге тупоугольный треугольник и обозначьте его. Измерьте и запишите величину тупого угла и длину наибольшей стороны треугольника.

а)

1. Чтобы начертить прямоугольный треугольник, сначала с помощью линейки и угольника постройте прямой угол. Обозначьте его вершину буквой C.

2. От вершины C по одной стороне угла отложите катет CA длиной 3 см. По другой стороне угла отложите катет CB длиной 5 см.

3. Соедините точки A и B. Полученный треугольник ABC является искомым прямоугольным треугольником.

4. Далее нужно измерить сторону, противолежащую прямому углу, то есть гипотенузу AB. Используя линейку, измерьте её длину. Результат измерения должен быть приблизительно равен 5,8 см.

5. Чтобы найти точную длину гипотенузы, воспользуемся теоремой Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$

$AB = \sqrt{34} \approx 5,83$ см. Как видно, результат практического измерения близок к теоретическому расчету.

6. Теперь вычислим периметр треугольника (P), который равен сумме длин всех его сторон.

$P = AC + BC + AB = 3 + 5 + \sqrt{34} = 8 + \sqrt{34}$ см.

Используя приближенное значение для гипотенузы: $P \approx 3 + 5 + 5,83 = 13,83$ см.

Ответ: Длина стороны, противолежащей прямому углу, примерно 5,8 см. Периметр треугольника равен $(8 + \sqrt{34})$ см, или приблизительно 13,83 см.

б)

1. На нелинованной бумаге начертите остроугольный треугольник (треугольник, у которого все углы меньше 90°). Обозначьте его вершины, например, D, E, F.

2. С помощью транспортира измерьте величину каждого из трех углов: $\angle D$, $\angle E$, $\angle F$. Обратите внимание, что сумма всех углов треугольника должна быть равна 180° (из-за погрешностей измерения на практике сумма может незначительно отличаться, например, 179° или 181°).

3. Запишите полученные значения углов в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему).

Так как конкретный треугольник вы чертите самостоятельно, ваши результаты измерений будут уникальны. Приведём пример, как это может выглядеть:

Допустим, после измерения углов вашего треугольника DEF получились значения: $\angle D = 50°$, $\angle E = 75°$, $\angle F = 55°$.
Проверка суммы: $50° + 75° + 55° = 180°$. Все углы острые.
Запись углов в порядке возрастания: $50°, 55°, 75°$.

Ответ: Результаты зависят от начерченного треугольника. В качестве примера, углы, записанные в порядке возрастания, могут быть 50°, 55°, 75°.

в)

1. На нелинованной бумаге начертите тупоугольный треугольник (треугольник, у которого один из углов больше 90°). Обозначьте его вершины, например, K, L, M, где $\angle L$ — тупой.

2. Используя транспортир, измерьте величину тупого угла $\angle L$.

3. Найдите наибольшую сторону треугольника. В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Поскольку тупой угол всегда является наибольшим углом в тупоугольном треугольнике, то наибольшей стороной будет та, что лежит напротив него. В нашем случае это сторона KM.

4. С помощью линейки измерьте длину наибольшей стороны KM и запишите результат.

Результаты ваших измерений будут зависеть от конкретного начерченного вами треугольника. Приведём пример:

Допустим, в начерченном треугольнике KLM величина тупого угла $\angle L$ при измерении оказалась равна 120°.
Наибольшей стороной является сторона KM, лежащая напротив этого угла.
Измерив ее линейкой, получили длину, равную 8,5 см.

Ответ: Результаты зависят от начерченного треугольника. В качестве примера: величина тупого угла — 120°, длина наибольшей стороны — 8,5 см.

9.5 Строим по алгоритму

1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный остроугольный треугольник по следующему алгоритму:

• Начертите какой-нибудь острый угол.

• Отложите на сторонах угла от его вершины равные отрезки.

• Соедините их концы.

2) Постройте: а) равнобедренный прямоугольный треугольник; б) равнобедренный тупоугольный треугольник.

3) Постройте равнобедренный треугольник, у которого: а) боковые стороны равны 4 см, а угол между ними – $40^\circ$; б) боковые стороны равны 4 см 5 мм, а угол между ними – $120^\circ$.

Подсказка. В задании 3 начните с построения заданного угла.

Рис. 9.6

1)

Для построения равнобедренного остроугольного треугольника по заданному алгоритму необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольный острый угол (угол, величина которого меньше $90^\circ$). Обозначим вершину этого угла, например, буквой A.
2. На сторонах (лучах) этого угла отложить от вершины A два равных отрезка. Это удобно сделать с помощью циркуля: установить острие циркуля в вершину A, задать произвольный раствор и провести дугу так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Точки пересечения обозначим B и C. В результате получим равные боковые стороны будущего треугольника: $AB = AC$.
3. Соединить точки B и C отрезком прямой линии. Этот отрезок будет основанием треугольника.

Полученный треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным, поскольку по построению две его стороны равны ($AB = AC$). Он также будет остроугольным. Угол при вершине $\angle A$ мы изначально выбрали острым. Углы при основании $\angle B$ и $\angle C$ в равнобедренном треугольнике равны и вычисляются по формуле: $\angle B = \angle C = (180^\circ - \angle A) / 2$. Так как $0^\circ < \angle A < 90^\circ$, то каждый из углов при основании будет меньше $90^\circ$. Таким образом, все три угла треугольника острые.

Ответ: Искомый треугольник построен по алгоритму.

2)

а) равнобедренный прямоугольный треугольник

Для построения используется алгоритм из задания 1, но с изменением первого шага:

1. Начертить прямой угол, то есть угол, равный $90^\circ$.
2. На его сторонах отложить от вершины равные отрезки.
3. Соединить концы этих отрезков.

В результате получится треугольник, у которого две стороны равны (является равнобедренным) и один угол прямой (является прямоугольным).

Ответ: Для построения равнобедренного прямоугольного треугольника нужно выполнить алгоритм из задания 1, начав с построения прямого угла.

б) равнобедренный тупоугольный треугольник

Алгоритм построения также основан на алгоритме из задания 1:

1. Начертить тупой угол, то есть угол, больший $90^\circ$ и меньший $180^\circ$.
2. На его сторонах отложить от вершины равные отрезки.
3. Соединить концы этих отрезков.

В результате получится треугольник, у которого две стороны равны (является равнобедренным) и один угол тупой (является тупоугольным).

Ответ: Для построения равнобедренного тупоугольного треугольника нужно выполнить алгоритм из задания 1, начав с построения тупого угла.

3)

а) боковые стороны равны 4 см, а угол между ними – 40°

Для построения треугольника с заданными параметрами выполним следующие действия:

1. С помощью транспортира построить угол, равный $40^\circ$. Обозначить его вершину.
2. На каждой стороне угла от его вершины отложить с помощью линейки отрезок длиной 4 см.
3. Соединить концы построенных отрезков.

Полученный треугольник будет искомым, так как по построению его боковые стороны равны 4 см, а угол между ними составляет $40^\circ$.

Ответ: Треугольник построен в соответствии с заданными параметрами.

б) боковые стороны равны 4 см 5 мм, а угол между ними – 120°

Построение выполняется аналогично предыдущему пункту:

1. С помощью транспортира построить угол, равный $120^\circ$. Обозначить его вершину.
2. На каждой стороне угла от его вершины отложить с помощью линейки отрезок длиной 4,5 см (что соответствует 4 см 5 мм).
3. Соединить концы построенных отрезков.

Полученный треугольник будет искомым, так как по построению его боковые стороны равны 4,5 см, а угол между ними составляет $120^\circ$.

Ответ: Треугольник построен в соответствии с заданными параметрами.