Страница 205 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Вырежите из бумаги два равных треугольника; обозначьте их ABC и KLM. Назовите равные элементы этих треугольников. Запишите соответствующие равенства.

По определению, два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. У равных треугольников соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Если дано, что треугольник ABC равен треугольнику KLM (записывается как $△ABC = △KLM$), то это означает, что вершины, стороны и углы одного треугольника соответственно равны вершинам, сторонам и углам другого. Соответствие устанавливается порядком букв в названии треугольников:

• Вершина A соответствует вершине K.
• Вершина B соответствует вершине L.
• Вершина C соответствует вершине M.

Исходя из этого соответствия, мы можем назвать все равные элементы этих треугольников и записать соответствующие равенства.

Равенство соответствующих углов:

• Угол при вершине A равен углу при вершине K. Запись: $∠A = ∠K$.
• Угол при вершине B равен углу при вершине L. Запись: $∠B = ∠L$.
• Угол при вершине C равен углу при вершине M. Запись: $∠C = ∠M$.

Равенство соответствующих сторон:

• Сторона AB, лежащая напротив угла C, равна стороне KL, лежащей напротив угла M. Запись: $AB = KL$.
• Сторона BC, лежащая напротив угла A, равна стороне LM, лежащей напротив угла K. Запись: $BC = LM$.
• Сторона AC, лежащая напротив угла B, равна стороне KM, лежащей напротив угла L. Запись: $AC = KM$.

Ответ: Равными элементами треугольников ABC и KLM являются три пары соответствующих углов и три пары соответствующих сторон. Соответствующие равенства:
$∠A = ∠K$
$∠B = ∠L$
$∠C = ∠M$
$AB = KL$
$BC = LM$
$AC = KM$

Проверьте с помощью кальки, что пятиугольники, изображённые на рисунке 9.17, равны. Назовите все их равные элементы.

Равные элементы:

Вершины:

$A \leftrightarrow K$

$B \leftrightarrow L$

$C \leftrightarrow M$

$D \leftrightarrow N$

$E \leftrightarrow P$

Стороны:

$AB = KL$

$BC = LM$

$CD = MN$

$DE = NP$

$EA = PK$

Углы:

$\angle A = \angle K$

$\angle B = \angle L$

$\angle C = \angle M$

$\angle D = \angle N$

$\angle E = \angle P$

Рис. 9.17

Проверка равенства пятиугольников с помощью кальки

Чтобы проверить, что пятиугольники $ABCDE$ и $KLMNP$ равны, нужно воспользоваться калькой. Для этого следует наложить кальку на первый пятиугольник $ABCDE$ и аккуратно обвести его контур. Затем, переместив кальку, нужно попытаться совместить обведенный контур со вторым пятиугольником $KLMNP$. Если такое совмещение возможно, при котором все вершины и стороны одного пятиугольника совпадут с соответствующими вершинами и сторонами другого, то пятиугольники равны. В данном случае при наложении контуры пятиугольников полностью совпадут.

Ответ: Пятиугольники $ABCDE$ и $KLMNP$ равны, что подтверждается методом наложения с помощью кальки.

Равные элементы пятиугольников

Два многоугольника называются равными, если у них соответственно равны стороны и углы. Исходя из того, что пятиугольники $ABCDE$ и $KLMNP$ равны, мы можем определить их равные элементы. Для этого сопоставим вершины, используя маркировку на рисунке:

• Углы $\angle A$ и $\angle K$ отмечены одной дугой, значит, $\angle A = \angle K$.
• Стороны $AB$ и $KL$ отмечены одной черточкой, значит, $AB = KL$.
• Стороны $BC$ и $LM$ отмечены двумя черточками, значит, $BC = LM$.
• Углы $\angle D$ и $\angle N$ отмечены двумя дугами, значит, $\angle D = \angle N$.

Из этого следует соответствие вершин: $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$, $D \leftrightarrow N$, $E \leftrightarrow P$.

Следовательно, равными элементами являются:

Равные стороны:

• $AB = KL$
• $BC = LM$
• $CD = MN$
• $DE = NP$
• $EA = PK$

Равные углы:

• $\angle A = \angle K$
• $\angle B = \angle L$
• $\angle C = \angle M$
• $\angle D = \angle N$
• $\angle E = \angle P$

Ответ: Равные стороны: $AB = KL$, $BC = LM$, $CD = MN$, $DE = NP$, $EA = PK$. Равные углы: $\angle A = \angle K$, $\angle B = \angle L$, $\angle C = \angle M$, $\angle D = \angle N$, $\angle E = \angle P$.

Продолжите предложение:

а) Две окружности равны, если...

б) Два квадрата равны, если...

в) Два прямоугольника равны, если...

а) Две окружности равны, если...

Две геометрические фигуры называются равными (или конгруэнтными), если их можно совместить друг с другом путем наложения. Окружность полностью определяется своим радиусом $R$ (или диаметром $D = 2R$). Если у двух окружностей одинаковые радиусы, то, переместив центр одной окружности в центр другой, мы полностью их совместим. Таким образом, две окружности равны, если равны их радиусы.

Ответ: их радиусы равны.

б) Два квадрата равны, если...

Квадрат — это правильный четырехугольник, размер и форма которого полностью определяются длиной его стороны $a$. Если у двух квадратов равны стороны, то их можно совместить наложением, а значит, они равны. Равенство других характеристик, таких как диагональ ($d = a\sqrt{2}$), периметр ($P = 4a$) или площадь ($S = a^2$), также является достаточным условием, поскольку они однозначно определяются длиной стороны.

Ответ: их стороны равны.

в) Два прямоугольника равны, если...

Прямоугольник определяется двумя параметрами — длинами двух его смежных сторон (длиной $a$ и шириной $b$). Для того чтобы два прямоугольника были равны, необходимо, чтобы их можно было совместить наложением. Это возможно только в том случае, когда их соответствующие смежные стороны равны. То есть, если один прямоугольник имеет стороны $a_1$ и $b_1$, а второй — $a_2$ и $b_2$, то они равны при условии, что $a_1 = a_2$ и $b_1 = b_2$ (или $a_1 = b_2$ и $b_1 = a_2$).

Ответ: их смежные стороны соответственно равны.

9.36 С помощью кальки найдите на рисунке 9.18 четырёхугольник, равный четырёхугольнику $ABCD$.

Рис. 9.18

Чтобы найти четырёхугольник, равный данному четырёхугольнику $ABCD$, нужно мысленно или с помощью кальки приложить его к каждому из трёх предложенных вариантов. Две фигуры считаются равными, если они полностью совпадают при наложении. При этом одну фигуру можно поворачивать и передвигать.

1. Сравним четырёхугольник $ABCD$ с четырёхугольником под номером 1. Обе фигуры являются трапециями и имеют схожую ориентацию. Однако видно, что углы при основаниях и соотношения длин сторон у них различны. Четырёхугольник 1 выглядит более вытянутым по вертикали. Следовательно, он не равен $ABCD$.

2. Сравним четырёхугольник $ABCD$ с четырёхугольником под номером 3. Этот четырёхугольник имеет иную форму, у него нет параллельных сторон, в отличие от трапеции $ABCD$. Он не равен $ABCD$.

3. Сравним четырёхугольник $ABCD$ с четырёхугольником под номером 2. Если мысленно повернуть фигуру 2 по часовой стрелке, можно заметить, что она полностью совпадет с фигурой $ABCD$. Их соответствующие стороны и углы равны.

Таким образом, четырёхугольник, равный $ABCD$, — это четырёхугольник под номером 2.

Ответ: Четырёхугольник 2.