Страница 206 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

a)

Рис. 9.19

б)

9.37 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) У двух многоугольников, изобра-женных на рисунке 9.19, есть равные элементы. Назовите их. Равны ли эти многоугольники?

2) Верны ли утверждения?

а) Если у двух треугольников углы попарно равны, то равны и сами тре-угольники.

б) Если у двух четырёхугольников стороны попарно равны, то равны и сами четырёхугольники.

С помощью рисунка 9.19 опровергните эти утверждения.

1) У двух многоугольников, изображенных на рисунке 9.19, есть равные элементы. Назовите их. Равны ли эти многоугольники?

На рисунке 9.19 а) изображены два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle EDK$. Равными элементами у этих треугольников являются их соответствующие углы: $\angle A = \angle E$, $\angle B = \angle D$, $\angle C = \angle K$. Такие треугольники называются подобными. Однако сами треугольники не равны, поскольку их соответствующие стороны имеют разную длину (визуально $\triangle EDK$ больше, чем $\triangle ABC$). Для равенства (конгруэнтности) фигур необходимо, чтобы были равны и соответствующие стороны, и соответствующие углы.

На рисунке 9.19 б) изображены два четырехугольника (ромба): $ABCD$ и $KMNO$. Равными элементами у них являются стороны. Поскольку это ромбы, все четыре стороны каждого из них равны, и можно предположить, что стороны одного ромба равны сторонам другого: $AB = BC = CD = DA = KM = MN = NO = OK$. Однако сами четырехугольники не равны, так как их углы различны. Например, угол $\angle A$ в ромбе $ABCD$ — тупой, а угол $\angle K$ в ромбе $KMNO$ — острый. Следовательно, эти четырехугольники не равны.

Ответ: На рисунке а) равными элементами являются углы, но треугольники не равны. На рисунке б) равными элементами являются стороны, но четырехугольники не равны.

2) Верны ли утверждения?

а) Если у двух треугольников углы попарно равны, то равны и сами треугольники.

Данное утверждение неверно. Если у двух треугольников равны соответствующие углы, это означает лишь, что треугольники подобны, но не обязательно равны. Равенство треугольников (конгруэнтность) наступает только в том случае, если, помимо равенства углов, равна и хотя бы одна пара соответствующих сторон.

Рисунок 9.19 а) служит опровержением этого утверждения. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EDK$ имеют попарно равные углы, но их размеры различны, следовательно, они не равны.

Ответ: Утверждение неверно.

б) Если у двух четырёхугольников стороны попарно равны, то равны и сами четырёхугольники.

Данное утверждение также неверно. Четырехугольник, в отличие от треугольника, не является жесткой фигурой. Это значит, что, имея четыре стороны одинаковой длины, можно составить бесконечно много различных четырехугольников (в данном случае, ромбов), меняя углы между сторонами.

Рисунок 9.19 б) опровергает это утверждение. Ромбы $ABCD$ и $KMNO$ имеют равные стороны, но их углы отличаются. Поэтому, несмотря на попарное равенство сторон, сами четырехугольники не равны.

Ответ: Утверждение неверно.

9.38 Начертите в тетради треугольник, равный треугольнику ABC (рис. 9.20), но в другом положении, так чтобы эти треугольники нельзя было совместить, передвигая по листу бумаги.

Рис. 9.20

Заданный треугольник $ABC$ — прямоугольный, с катетами $AC$ длиной 4 клетки и $BC$ длиной 5 клеток. Задача состоит в том, чтобы начертить равный ему треугольник, который нельзя совместить с исходным путем перемещения по плоскости (то есть с помощью параллельного переноса и поворота).

Такое условие выполняется, если новый треугольник является зеркальным отражением (результатом осевой симметрии) исходного. Чтобы построить такой треугольник, нужно выбрать ось симметрии и отразить относительно нее все вершины исходного треугольника.

В качестве оси симметрии удобно выбрать прямую, содержащую один из катетов, например, катет $BC$.

Построение:

1. Прямая, проходящая через сторону $BC$, является осью симметрии.
2. Вершины $B$ и $C$ лежат на оси симметрии, поэтому при отражении они остаются на месте.
3. Вершина $A$ находится на расстоянии 4 клеток от прямой $BC$. Чтобы найти ее отражение, точку $A_1$, нужно отложить от прямой $BC$ в противоположную сторону перпендикуляр такой же длины (4 клетки). Практически это означает, что от точки $C$ нужно отложить вправо отрезок $CA_1$, равный по длине отрезку $CA$.
4. Соединив вершины $A_1$, $B$ и $C$, мы получим новый треугольник $A_1BC$.

Треугольник $A_1BC$ равен треугольнику $ABC$ (по двум катетам, так как катет $BC$ у них общий, а катеты $AC$ и $A_1C$ равны по построению). Однако совместить эти два треугольника, просто передвигая их по листу бумаги, невозможно. Если мы совместим их общую сторону $BC$, то вершина $A$ окажется с одной стороны от этой прямой, а вершина $A_1$ — с другой.

Ответ: Нужно построить треугольник, который является зеркальным отражением (симметричный) исходного треугольника $ABC$ относительно прямой, содержащей один из его катетов (например, $BC$ или $AC$). Такой треугольник будет равен исходному, но их нельзя будет совместить движением по плоскости.

9.39 АНАЛИЗИРУЕМ И ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Начертите прямоугольник, обозначьте его и проведите одну диагональ. Диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника. Покажите на чертеже и назовите их равные стороны и равные углы.

2) Возьмите вырезанный из бумаги прямоугольник и разрежьте его по диагонали. Сложите из получившихся равных треугольников равнобедренный треугольник.

3) Равнобедренный треугольник ABC (рис. 9.21) разрезали по отрезку BO. Каков вид получившихся треугольников? Из этих треугольников сложили прямоугольник. Нарисуйте его. Какой из сторон треугольника равна диагональ прямоугольника?

Рис. 9.21

Начертим прямоугольник $ABCD$ и проведем в нем диагональ $AC$.

Диагональ $AC$ делит прямоугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle CBA$. Эти треугольники равны. Докажем это по трем сторонам (третий признак равенства треугольников):
1. $AD = CB$ (как противоположные стороны прямоугольника).
2. $DC = BA$ (как противоположные стороны прямоугольника).
3. $AC$ — общая сторона.
Следовательно, $\triangle ADC = \triangle CBA$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов.
Равные стороны:
$AD = CB$
$DC = BA$
Равные углы:
$\angle D = \angle B = 90^\circ$ (углы прямоугольника).
$\angle DAC = \angle BCA$ (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
$\angle DCA = \angle BAC$ (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $DC$ и $AB$ и секущей $AC$).

Ответ: Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Равные стороны: противолежащие стороны прямоугольника. Равные углы: прямые углы треугольников, а также внутренние накрест лежащие углы, образованные диагональю с параллельными сторонами прямоугольника.

После разрезания прямоугольника по диагонали мы получаем два равных прямоугольных треугольника. Обозначим катеты одного треугольника $a$ и $b$, а гипотенузу — $c$.
Чтобы сложить из них равнобедренный треугольник, нужно приложить их друг к другу вдоль одного из равных катетов. Например, соединим их по катету $a$.

В результате получится новый, большой треугольник. Две его стороны будут равны гипотенузам исходных треугольников (длиной $c$), а третья сторона будет равна удвоенной длине другого катета (длиной $2b$).
Так как у полученного треугольника две стороны равны ($c=c$), он является равнобедренным.

Ответ: Нужно сложить два прямоугольных треугольника вместе по одному из их равных катетов. Получившийся большой треугольник будет равнобедренным, так как две его стороны равны гипотенузе исходных треугольников.

Каков вид получившихся треугольников?
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) отрезок $BO$ является высотой, проведенной к основанию $AC$ (это видно из рисунка, где $BO$ перпендикулярна $AC$). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой ($AO=OC$) и биссектрисой.
При разрезании по отрезку $BO$ получаются два треугольника: $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$.
Поскольку $BO$ — высота, то $\angle BOA = \angle BOC = 90^\circ$. Следовательно, оба треугольника — прямоугольные.
Эти треугольники равны, так как у них равны гипотенузы ($AB=BC$) и один катет общий ($BO$). Таким образом, в результате разрезания получаются два равных прямоугольных треугольника.

Из этих треугольников сложили прямоугольник. Нарисуйте его.
Чтобы из двух равных прямоугольных треугольников сложить прямоугольник, их нужно соединить так, чтобы их катеты стали сторонами прямоугольника. Стороны получившегося прямоугольника будут равны катетам $AO$ и $BO$. Из рисунка 9.21 видно, что $AO = 3$ клетки, а $BO = 4$ клетки. Значит, нужно нарисовать прямоугольник со сторонами 3 и 4.

Какой из сторон треугольника равна диагональ прямоугольника?
Пусть стороны прямоугольника равны $a=AO$ и $b=BO$. По теореме Пифагора, квадрат его диагонали $d$ равен $d^2 = a^2 + b^2 = AO^2 + BO^2$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABO$. Его катеты — $AO$ и $BO$, а гипотенуза — сторона $AB$ исходного треугольника. По теореме Пифагора, $AB^2 = AO^2 + BO^2$.
Сравнивая два выражения, получаем, что $d^2 = AB^2$, а значит, $d=AB$.
Таким образом, диагональ прямоугольника равна боковой стороне $AB$ (или $BC$) исходного равнобедренного треугольника $ABC$.

Ответ: В результате разрезания получаются два равных прямоугольных треугольника. Прямоугольник, сложенный из них, будет иметь стороны, равные катетам этих треугольников ($AO$ и $BO$). Диагональ этого прямоугольника равна боковой стороне ($AB$ или $BC$) исходного треугольника $ABC$.

ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ (9.40–9.42)

9.40 1) Начертите в тетради круг и разделите его отрезком на две равные части. Как называется этот отрезок? Разделите круг на четыре равные части.

2) Как путём перегибания можно найти центр круга?

1)

Чтобы разделить круг на две равные части, нужно провести отрезок, который проходит через центр круга и соединяет две точки на его окружности. Такой отрезок называется диаметром. При проведении одного диаметра круг делится на два равных полукруга.

Чтобы разделить круг на четыре равные части, необходимо провести два диаметра, которые перпендикулярны друг другу. Точка пересечения этих диаметров будет центром круга, и они разделят круг на четыре равных сектора, каждый с центральным углом $90^\circ$.

Ответ: Отрезок, делящий круг на две равные части, называется диаметром. Чтобы разделить круг на четыре равные части, нужно провести два взаимно перпендикулярных диаметра.

2)

Представим, что у нас есть вырезанный из бумаги круг. Чтобы найти его центр с помощью перегибания, нужно выполнить следующие шаги:

1. Согнуть круг пополам так, чтобы его края полностью совпали. Линия сгиба, которая у вас получится, является диаметром круга.
2. Развернуть круг. Вы увидите на нём след от сгиба — первый диаметр.
3. Снова согнуть круг пополам, но так, чтобы новая линия сгиба не совпадала с первой. Эта вторая линия сгиба — ещё один диаметр.
4. Развернуть круг. Точка, в которой пересекаются две линии сгиба (два диаметра), и есть искомый центр круга.

Ответ: Нужно дважды согнуть круг пополам по разным линиям. Точка пересечения сгибов является центром круга.