Номер 9.37, страница 206 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 9. Треугольники и четырёхугольники. 9.3. Равенство фигур. Упражнения - номер 9.37, страница 206.

Условие.

a)

Рис. 9.19

б)

9.37 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) У двух многоугольников, изобра-женных на рисунке 9.19, есть равные элементы. Назовите их. Равны ли эти многоугольники?

2) Верны ли утверждения?

а) Если у двух треугольников углы попарно равны, то равны и сами тре-угольники.

б) Если у двух четырёхугольников стороны попарно равны, то равны и сами четырёхугольники.

С помощью рисунка 9.19 опровергните эти утверждения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) У двух многоугольников, изображенных на рисунке 9.19, есть равные элементы. Назовите их. Равны ли эти многоугольники?

На рисунке 9.19 а) изображены два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle EDK$. Равными элементами у этих треугольников являются их соответствующие углы: $\angle A = \angle E$, $\angle B = \angle D$, $\angle C = \angle K$. Такие треугольники называются подобными. Однако сами треугольники не равны, поскольку их соответствующие стороны имеют разную длину (визуально $\triangle EDK$ больше, чем $\triangle ABC$). Для равенства (конгруэнтности) фигур необходимо, чтобы были равны и соответствующие стороны, и соответствующие углы.

На рисунке 9.19 б) изображены два четырехугольника (ромба): $ABCD$ и $KMNO$. Равными элементами у них являются стороны. Поскольку это ромбы, все четыре стороны каждого из них равны, и можно предположить, что стороны одного ромба равны сторонам другого: $AB = BC = CD = DA = KM = MN = NO = OK$. Однако сами четырехугольники не равны, так как их углы различны. Например, угол $\angle A$ в ромбе $ABCD$ — тупой, а угол $\angle K$ в ромбе $KMNO$ — острый. Следовательно, эти четырехугольники не равны.

Ответ: На рисунке а) равными элементами являются углы, но треугольники не равны. На рисунке б) равными элементами являются стороны, но четырехугольники не равны.

2) Верны ли утверждения?

а) Если у двух треугольников углы попарно равны, то равны и сами треугольники.

Данное утверждение неверно. Если у двух треугольников равны соответствующие углы, это означает лишь, что треугольники подобны, но не обязательно равны. Равенство треугольников (конгруэнтность) наступает только в том случае, если, помимо равенства углов, равна и хотя бы одна пара соответствующих сторон.

Рисунок 9.19 а) служит опровержением этого утверждения. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EDK$ имеют попарно равные углы, но их размеры различны, следовательно, они не равны.

Ответ: Утверждение неверно.

б) Если у двух четырёхугольников стороны попарно равны, то равны и сами четырёхугольники.

Данное утверждение также неверно. Четырехугольник, в отличие от треугольника, не является жесткой фигурой. Это значит, что, имея четыре стороны одинаковой длины, можно составить бесконечно много различных четырехугольников (в данном случае, ромбов), меняя углы между сторонами.

Рисунок 9.19 б) опровергает это утверждение. Ромбы $ABCD$ и $KMNO$ имеют равные стороны, но их углы отличаются. Поэтому, несмотря на попарное равенство сторон, сами четырехугольники не равны.

Ответ: Утверждение неверно.