Номер 9.39, страница 206 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 9.3. Равенство фигур. Глава 9. Треугольники и четырёхугольники - номер 9.39, страница 206.

9.39 АНАЛИЗИРУЕМ И ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Начертите прямоугольник, обозначьте его и проведите одну диагональ. Диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника. Покажите на чертеже и назовите их равные стороны и равные углы.

2) Возьмите вырезанный из бумаги прямоугольник и разрежьте его по диагонали. Сложите из получившихся равных треугольников равнобедренный треугольник.

3) Равнобедренный треугольник ABC (рис. 9.21) разрезали по отрезку BO. Каков вид получившихся треугольников? Из этих треугольников сложили прямоугольник. Нарисуйте его. Какой из сторон треугольника равна диагональ прямоугольника?

Рис. 9.21

1)

Начертим прямоугольник $ABCD$ и проведем в нем диагональ $AC$.

Диагональ $AC$ делит прямоугольник $ABCD$ на два треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle CBA$. Эти треугольники равны. Докажем это по трем сторонам (третий признак равенства треугольников):
1. $AD = CB$ (как противоположные стороны прямоугольника).
2. $DC = BA$ (как противоположные стороны прямоугольника).
3. $AC$ — общая сторона.
Следовательно, $\triangle ADC = \triangle CBA$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов.
Равные стороны:
$AD = CB$
$DC = BA$
Равные углы:
$\angle D = \angle B = 90^\circ$ (углы прямоугольника).
$\angle DAC = \angle BCA$ (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
$\angle DCA = \angle BAC$ (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $DC$ и $AB$ и секущей $AC$).

Ответ: Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Равные стороны: противолежащие стороны прямоугольника. Равные углы: прямые углы треугольников, а также внутренние накрест лежащие углы, образованные диагональю с параллельными сторонами прямоугольника.

2)

После разрезания прямоугольника по диагонали мы получаем два равных прямоугольных треугольника. Обозначим катеты одного треугольника $a$ и $b$, а гипотенузу — $c$.
Чтобы сложить из них равнобедренный треугольник, нужно приложить их друг к другу вдоль одного из равных катетов. Например, соединим их по катету $a$.

В результате получится новый, большой треугольник. Две его стороны будут равны гипотенузам исходных треугольников (длиной $c$), а третья сторона будет равна удвоенной длине другого катета (длиной $2b$).
Так как у полученного треугольника две стороны равны ($c=c$), он является равнобедренным.

Ответ: Нужно сложить два прямоугольных треугольника вместе по одному из их равных катетов. Получившийся большой треугольник будет равнобедренным, так как две его стороны равны гипотенузе исходных треугольников.

3)

Каков вид получившихся треугольников?
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) отрезок $BO$ является высотой, проведенной к основанию $AC$ (это видно из рисунка, где $BO$ перпендикулярна $AC$). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой ($AO=OC$) и биссектрисой.
При разрезании по отрезку $BO$ получаются два треугольника: $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$.
Поскольку $BO$ — высота, то $\angle BOA = \angle BOC = 90^\circ$. Следовательно, оба треугольника — прямоугольные.
Эти треугольники равны, так как у них равны гипотенузы ($AB=BC$) и один катет общий ($BO$). Таким образом, в результате разрезания получаются два равных прямоугольных треугольника.

Из этих треугольников сложили прямоугольник. Нарисуйте его.
Чтобы из двух равных прямоугольных треугольников сложить прямоугольник, их нужно соединить так, чтобы их катеты стали сторонами прямоугольника. Стороны получившегося прямоугольника будут равны катетам $AO$ и $BO$. Из рисунка 9.21 видно, что $AO = 3$ клетки, а $BO = 4$ клетки. Значит, нужно нарисовать прямоугольник со сторонами 3 и 4.

Какой из сторон треугольника равна диагональ прямоугольника?
Пусть стороны прямоугольника равны $a=AO$ и $b=BO$. По теореме Пифагора, квадрат его диагонали $d$ равен $d^2 = a^2 + b^2 = AO^2 + BO^2$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABO$. Его катеты — $AO$ и $BO$, а гипотенуза — сторона $AB$ исходного треугольника. По теореме Пифагора, $AB^2 = AO^2 + BO^2$.
Сравнивая два выражения, получаем, что $d^2 = AB^2$, а значит, $d=AB$.
Таким образом, диагональ прямоугольника равна боковой стороне $AB$ (или $BC$) исходного равнобедренного треугольника $ABC$.

Ответ: В результате разрезания получаются два равных прямоугольных треугольника. Прямоугольник, сложенный из них, будет иметь стороны, равные катетам этих треугольников ($AO$ и $BO$). Диагональ этого прямоугольника равна боковой стороне ($AB$ или $BC$) исходного треугольника $ABC$.