Страница 213 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.69 Скопируйте многоугольник, изображённый на рисунке 9.33, в тетрадь.

Вычислите площадь многоугольника.

Подсказка. Разбейте многоугольник на несколько прямоугольников или достройте до прямоугольника.

1 см

Рис. 9.33

Для вычисления площади многоугольника, изображенного на рисунке, можно использовать один из двух подходов, предложенных в подсказке. Примем, что сторона одной клетки сетки равна 1 см.

Разбить многоугольник на несколько прямоугольников

Этот способ заключается в разделении сложной фигуры на более простые, площади которых легко вычислить. Разобьем многоугольник на два прямоугольника горизонтальной линией.
Первый (верхний) прямоугольник будет иметь размеры 4 см на 2 см. Его площадь $S_1$ составит:
$S_1 = 4 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$.
Второй (нижний) прямоугольник окажется квадратом со стороной 1 см. Его площадь $S_2$ составит:
$S_2 = 1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$.
Общая площадь многоугольника $S$ равна сумме площадей этих двух частей:
$S = S_1 + S_2 = 8 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 9 \text{ см}^2$.
Ответ: 9 см².

Достроить до прямоугольника

Этот способ предполагает, что мы сначала достраиваем фигуру до простого прямоугольника, находим его площадь, а затем вычитаем площадь "лишних" частей.
Достроим фигуру до большого прямоугольника с размерами 4 см (максимальная ширина) на 3 см (максимальная высота). Его площадь $S_{целого}$ будет равна:
$S_{целого} = 4 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
"Лишняя" часть, которую мы добавили для получения полного прямоугольника, представляет собой прямоугольник в правом нижнем углу. Его размеры: ширина $4 \text{ см} - 1 \text{ см} = 3 \text{ см}$, высота $3 \text{ см} - 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.
Площадь этой вырезанной части $S_{вырезанного}$ составляет:
$S_{вырезанного} = 3 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 3 \text{ см}^2$.
Искомая площадь многоугольника $S$ равна разности площадей большого и вырезанного прямоугольников:
$S = S_{целого} - S_{вырезанного} = 12 \text{ см}^2 - 3 \text{ см}^2 = 9 \text{ см}^2$.
Ответ: 9 см².

9.70 Сторона большого квадрата равна 7 см (рис. 9.34). Найдите площадь каждой его части.

Площадь первой части:

$2 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$

Площадь второй части:

$(7-2) \text{ см} \times 2 \text{ см} = 5 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$

Площадь третьей части:

$2 \text{ см} \times (7-2) \text{ см} = 2 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$

Площадь четвертой части:

$(7-2) \text{ см} \times (7-2) \text{ см} = 5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 25 \text{ см}^2$

Рис. 9.34

Большой квадрат со стороной 7 см разделен на четыре прямоугольные части. Чтобы найти площадь каждой части, нужно сначала определить их размеры, используя данные из условия и рисунка.

Площадь верхней левой части Из рисунка видно, что эта часть представляет собой квадрат со стороной 2 см. Площадь квадрата вычисляется как произведение его сторон. $S_1 = 2 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2$. Ответ: 4 см².

Площадь верхней правой части Эта часть — прямоугольник. Его высота равна 2 см (как у левой верхней части). Его ширина равна разности стороны большого квадрата и ширины левой части: $7 \text{ см} - 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$. Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. $S_2 = 5 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$. Ответ: 10 см².

Площадь нижней левой части Эта часть — прямоугольник. Его ширина равна 2 см (как у левой верхней части). Его высота равна разности стороны большого квадрата и высоты верхней части: $7 \text{ см} - 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$. $S_3 = 2 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 10 \text{ см}^2$. Ответ: 10 см².

Площадь нижней правой части Эта часть — квадрат. Его ширина равна ширине верхней правой части ($5$ см), а высота равна высоте нижней левой части ($5$ см). Стороны равны $7 \text{ см} - 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$. $S_4 = 5 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 25 \text{ см}^2$. Ответ: 25 см².

9.71 АНАЛИЗИРУЕМ

а) Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон уменьшить в 3 раза?

б) Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить вдвое?

а) Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон уменьшить в 3 раза?

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение длин его смежных сторон ($a$ и $b$): $S = a \cdot b$.
Пусть первоначальная площадь прямоугольника будет $S_1 = a \cdot b$.
Уменьшим одну из его сторон, например сторону $a$, в 3 раза. Новая длина этой стороны станет $a' = \frac{a}{3}$. Длина второй стороны $b$ останется прежней.
Тогда новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = a' \cdot b = \frac{a}{3} \cdot b = \frac{1}{3} \cdot (a \cdot b)$
Поскольку $S_1 = a \cdot b$, мы можем записать:
$S_2 = \frac{1}{3} S_1$
Это означает, что площадь прямоугольника уменьшится в 3 раза.

Ответ: Площадь прямоугольника уменьшится в 3 раза.

б) Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить вдвое?

Площадь квадрата ($S$) вычисляется как квадрат длины его стороны ($a$): $S = a^2$.
Пусть первоначальная площадь квадрата будет $S_1 = a^2$.
Увеличим его сторону вдвое. Новая длина стороны станет $a' = 2a$.
Тогда новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = (a')^2 = (2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$
Поскольку $S_1 = a^2$, мы можем записать:
$S_2 = 4S_1$
Это означает, что площадь квадрата увеличится в 4 раза.

Ответ: Площадь квадрата увеличится в 4 раза.