Страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.72 Размеры футбольного поля могут изменяться в следующих пределах: длина – от 100 м до 110 м, ширина – от 64 м до 75 м. Рекомендуемые значения для проведения международных матчей составляют: длина – 105 м, ширина – 68 м. Чему равна минимальная, максимальная и рекомендуемая площадь футбольного поля?

Минимальная площадь
Площадь футбольного поля, которое имеет форму прямоугольника, вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. Чтобы найти минимальную площадь, необходимо перемножить минимальные значения длины и ширины.
Минимальная длина: 100 м.
Минимальная ширина: 64 м.
$S_{мин} = 100 \text{ м} \cdot 64 \text{ м} = 6400 \text{ м}^2$.
Ответ: 6400 м².

Максимальная площадь
Чтобы найти максимальную площадь, необходимо перемножить максимальные значения длины и ширины.
Максимальная длина: 110 м.
Максимальная ширина: 75 м.
$S_{макс} = 110 \text{ м} \cdot 75 \text{ м} = 8250 \text{ м}^2$.
Ответ: 8250 м².

Рекомендуемая площадь
Чтобы найти рекомендуемую площадь, необходимо перемножить рекомендуемые значения длины и ширины для проведения международных матчей.
Рекомендуемая длина: 105 м.
Рекомендуемая ширина: 68 м.
$S_{рек} = 105 \text{ м} \cdot 68 \text{ м} = 7140 \text{ м}^2$.
Ответ: 7140 м².

9.73 Исследуем

1) Площадь каждого из пяти различных прямоугольников равна $36 \text{ см}^2$, а сторона выражена в сантиметрах. Какими могут быть их периметры? Рассмотрите все возможные варианты и заполните таблицу.

Прямоугольник Длина Ширина Площадь Периметр

1

2

3

4

5

Какой из данных прямоугольников имеет наименьший периметр?

2) Необходимо огородить участок земли прямоугольной формы площадью $900 \text{ м}^2$. Какими должны быть его стороны, чтобы длина забора была наименьшей?

1) Площадь каждого из пяти различных прямоугольников равна 36 см², а сторона выражена в сантиметрах. Какими могут быть их периметры? Рассмотрите все возможные варианты и заполните таблицу. Какой из данных прямоугольников имеет наименьший периметр?

Для того чтобы найти все возможные варианты сторон прямоугольника с площадью $36$ см², нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 36. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

Возможные пары сторон (длина и ширина):

• 36 см и 1 см
• 18 см и 2 см
• 12 см и 3 см
• 9 см и 4 см
• 6 см и 6 см

Для каждой пары сторон рассчитаем периметр по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$ и заполним таблицу.

Сравнивая полученные значения периметров (74 см, 40 см, 30 см, 26 см, 24 см), мы видим, что наименьший периметр имеет прямоугольник со сторонами 6 см и 6 см (квадрат).

Ответ: возможные периметры прямоугольников: 74 см, 40 см, 30 см, 26 см и 24 см. Наименьший периметр (24 см) имеет прямоугольник со сторонами 6 см на 6 см.

2) Необходимо огородить участок земли прямоугольной формы площадью 900 м². Какими должны быть его стороны, чтобы длина забора была наименьшей?

Длина забора – это периметр прямоугольного участка. Из предыдущего задания можно сделать вывод, что при заданной площади прямоугольник имеет наименьший периметр, когда его стороны максимально близки друг к другу, то есть когда он является квадратом.

Площадь участка $S = a \cdot b = 900$ м². Периметр (длина забора) $P = 2 \cdot (a + b)$.

Периметр будет наименьшим, когда $a = b$. В этом случае участок будет иметь форму квадрата.

Найдем сторону такого квадрата:

$S = a \cdot a = a^2 = 900$ м²

$a = \sqrt{900} = 30$ м

Таким образом, чтобы длина забора была наименьшей, участок должен быть квадратом со стороной 30 метров.

Ответ: стороны участка должны быть 30 м и 30 м.

9.74 Длины сторон прямоугольника выражены натуральными числами, его периметр равен 16 см, а площадь — $15 \text{ см}^2$. Найдите стороны этого прямоугольника.

Подсказка. Переберите все возможные варианты.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию задачи, $a$ и $b$ являются натуральными числами.

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a + b)$, а площадь $S$ по формуле $S = a \cdot b$.

Из условия мы знаем, что $P = 16$ см и $S = 15$ см². Составим систему уравнений:

$2(a + b) = 16$

$a \cdot b = 15$

Из первого уравнения найдем сумму сторон прямоугольника, разделив обе части на 2:

$a + b = 16 \div 2 = 8$

Теперь нам необходимо найти два натуральных числа, сумма которых равна 8, а произведение равно 15.

Следуя подсказке, рассмотрим все пары натуральных чисел, произведение которых дает 15. Это могут быть только пары (1 и 15) и (3 и 5).

Проверим сумму чисел в каждой паре:

Для первой пары (1 и 15) сумма равна $1 + 15 = 16$. Это не соответствует условию, так как сумма сторон должна быть равна 8.

Для второй пары (3 и 5) сумма равна $3 + 5 = 8$. Это полностью соответствует условию.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и 5 см.

Ответ: 3 см и 5 см.

9.75 Вычисляем по алгоритму Приближённое значение площади фигуры, изображённой на квадратной сетке, можно найти по следующему алгоритму:

Отметить все квадраты, большая часть которых попала внутрь фигуры.

Подсчитать их количество.

Определить площадь одного квадрата.

Умножить число квадратов на площадь одного квадрата сетки.

Начертите на листе в клетку замкнутую линию без самопересечений. Пользуясь описанным алгоритмом, найдите площадь фигуры, ограниченной вашей линией.

Для решения этой задачи необходимо сначала начертить на листе бумаги в клетку произвольную замкнутую фигуру без самопересечений. Поскольку я не могу рисовать, я представлю, что нарисовал фигуру, похожую на овал, на стандартном тетрадном листе, где сторона одной клетки равна 0,5 см. Затем я выполню все шаги предложенного алгоритма.

Отметить все квадраты, большая часть которых попала внутрь фигуры.

Представим нарисованную нами фигуру. Мы должны внимательно посмотреть на все клетки, которые она затрагивает. Отмечаем те клетки, которые либо целиком лежат внутри контура фигуры, либо пересечены контуром так, что внутри фигуры оказалось больше половины площади клетки. Клетки, у которых внутри осталась меньшая часть, мы игнорируем.

Подсчитать их количество.

После того, как все нужные квадраты отмечены, мы их подсчитываем. Допустим, для нашей воображаемой фигуры мы насчитали 28 таких квадратов.

Ответ: Количество квадратов $N = 28$.

Определить площадь одного квадрата.

Стандартный размер клетки в школьной тетради — 5x5 мм, что составляет 0,5x0,5 см. Площадь одного такого квадрата ($S_{кв}$) вычисляется как произведение его сторон.

$S_{кв} = 0,5 \text{ см} \times 0,5 \text{ см} = 0,25 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь одного квадрата равна $0,25 \text{ см}^2$.

Умножить число квадратов на площадь одного квадрата сетки.

Теперь находим приближённую площадь всей фигуры ($S_{фиг}$), умножая общее количество подсчитанных квадратов ($N$) на площадь одного квадрата ($S_{кв}$).

$S_{фиг} \approx N \times S_{кв}$

$S_{фиг} \approx 28 \times 0,25 \text{ см}^2 = 7 \text{ см}^2$.

Ответ: Приближённая площадь нарисованной фигуры составляет $7 \text{ см}^2$.

9.76 На квадратном участке площадью 4 а высаживают яблони. Под каждую яблоню отводится круглый участок радиусом 2 м. Сколько яблонь можно высадить на квадратном участке, если яблони высаживать одинаковыми рядами вдоль сторон участка? Нарисуйте от руки план посадок, принимая сторону одной клетки тетради за 2 м.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определение размеров участка
Сначала переведем площадь участка из аров в квадратные метры. Известно, что 1 ар (сотка) равен 100 м². Площадь участка $S$ составляет: $S = 4 \text{ а} = 4 \cdot 100 \text{ м}^2 = 400 \text{ м}^2$
Так как участок квадратный, найдем длину его стороны $a$: $a = \sqrt{S} = \sqrt{400 \text{ м}^2} = 20 \text{ м}$
Таким образом, участок имеет размеры 20 м на 20 м.

2. Расчет количества яблонь
Под каждую яблоню отводится круглый участок радиусом $r = 2$ м. Это значит, что диаметр участка под одну яблоню составляет $d = 2 \cdot r = 2 \cdot 2 \text{ м} = 4 \text{ м}$.
Яблони высаживают одинаковыми рядами вдоль сторон. Чтобы круглая площадка под яблоню полностью помещалась на участке, ее центр должен находиться на расстоянии не менее радиуса (2 м) от края участка.
Следовательно, первый ряд яблонь будет посажен на расстоянии 2 м от края. Чтобы круги не пересекались, расстояние между центрами соседних яблонь должно быть не менее диаметра, то есть 4 м.
Найдем, сколько яблонь поместится в одном ряду вдоль стороны длиной 20 м. Координаты центров яблонь от одного края будут:

• 1-я яблоня: 2 м
• 2-я яблоня: $2 + 4 = 6$ м
• 3-я яблоня: $6 + 4 = 10$ м
• 4-я яблоня: $10 + 4 = 14$ м
• 5-я яблоня: $14 + 4 = 18$ м

Следующая яблоня ($18 + 4 = 22$ м) уже выйдет за пределы участка. Расстояние от центра последней яблони до противоположного края составляет $20 - 18 = 2$ м, что равно радиусу, поэтому она помещается.
Таким образом, в одном ряду можно посадить 5 яблонь.
Поскольку участок квадратный, количество рядов будет таким же, как и количество яблонь в ряду, то есть 5.
Общее количество яблонь $N$ равно: $N = 5 \text{ (яблонь в ряду)} \times 5 \text{ (рядов)} = 25 \text{ яблонь}$
Ответ: На квадратном участке можно высадить 25 яблонь.

3. План посадок
По условию, сторона одной клетки тетради принимается за 2 м.

• Размер участка: 20 м, что составляет $20 \text{ м} / 2 \text{ м/клетку} = 10$ клеток. Участок — это квадрат 10x10 клеток.
• Радиус под яблоню: 2 м, что составляет $2 \text{ м} / 2 \text{ м/клетку} = 1$ клетка.
• Расстояние от центра яблони до края участка: 2 м, то есть 1 клетка.
• Расстояние между центрами яблонь: 4 м, то есть 2 клетки.

Нарисуем план. Участок — это квадрат 10x10 клеток. Центры яблонь будут располагаться в узлах сетки с шагом в 2 клетки, причем первый ряд и первый столбец отстоят от края на 1 клетку.


Ответ: План посадок представляет собой сетку 5x5 яблонь, где центры крайних деревьев находятся на расстоянии 2 м (1 клетка) от границ участка, а расстояние между центрами соседних деревьев составляет 4 м (2 клетки), как показано на схеме.