Страница 216 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Умею изображать прямоугольный треугольник с заданными сторонами, образующими прямой угол, равнобедренный треугольник с заданными боковыми сторонами и углом между ними.

1. Начертите прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол, равны 3 см и 5 см.

Чтобы начертить прямоугольный треугольник, у которого стороны, образующие прямой угол (катеты), равны 3 см и 5 см, необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертите отрезок длиной 5 см. Обозначьте его концы, например, A и C. Это будет первый катет.
2. В точке C приложите чертёжный угольник так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол, совпала с отрезком AC.
3. Вдоль второй стороны угольника проведите из точки C луч. Этот луч будет перпендикулярен отрезку AC, таким образом, вы построите прямой угол $\angle C = 90^\circ$.
4. На построенном луче отложите с помощью линейки отрезок длиной 3 см, начиная от точки C. Обозначьте конец этого отрезка буквой B. Это будет второй катет.
5. Соедините отрезком точки A и B. Этот отрезок является гипотенузой.

В результате этих действий будет построен прямоугольный треугольник ABC, у которого катеты $AC = 5$ см и $BC = 3$ см, а угол между ними прямой.

Ответ: Построенный по инструкции треугольник ABC является искомым прямоугольным треугольником.

2. Начертите равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны 4 см и образуют угол $50^\circ$.

Чтобы начертить равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны 4 см и образуют угол $50^\circ$, необходимо выполнить следующие шаги, используя линейку и транспортир:

1. Начертите отрезок $AB$ длиной 4 см. Это будет первая боковая сторона треугольника.
2. От точки $A$ с помощью транспортира отложите угол в $50^\circ$ относительно отрезка $AB$.
3. Вдоль нового направления отложите от точки $A$ второй отрезок $AC$ длиной 4 см. Это будет вторая боковая сторона.
4. Соедините точки $B$ и $C$. Отрезок $BC$ будет основанием треугольника.

В результате получится искомый равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC = 4$ см, а угол при вершине $\angle BAC = 50^\circ$.

Также можно найти углы при основании этого треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны ($\angle ABC = \angle ACB$). Сумма всех углов треугольника составляет $180^\circ$.

Вычислим углы при основании:

$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle ABC + 50^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 50^\circ$

$2 \cdot \angle ABC = 130^\circ$

$\angle ABC = \angle ACB = 130^\circ / 2 = 65^\circ$

Ответ: Построение выполняется по описанным выше шагам. В результате получается равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по 4 см и углами $50^\circ$, $65^\circ$ и $65^\circ$.

Умею находить периметр треугольника, прямоугольника.

3. Вычислите периметр треугольника:

а) равностороннего со стороной 5 см;

б) равнобедренного с боковой стороной 17 см и основанием 10 см.

а)

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. У равностороннего треугольника все три стороны равны. По условию, длина стороны составляет 5 см.

Обозначим сторону треугольника как $a$. Тогда периметр $P$ вычисляется по формуле:

$P = a + a + a = 3a$

Подставим известное значение стороны в формулу:

$P = 3 \cdot 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см.

б)

У равнобедренного треугольника две боковые стороны равны, а третья сторона является основанием. По условию, длина боковой стороны составляет 17 см, а длина основания – 10 см.

Обозначим боковую сторону как $b$, а основание как $c$. Тогда периметр $P$ вычисляется по формуле:

$P = b + b + c = 2b + c$

Подставим известные значения в формулу:

$P = 2 \cdot 17 \text{ см} + 10 \text{ см} = 34 \text{ см} + 10 \text{ см} = 44 \text{ см}$

Ответ: 44 см.

4. Чему равен периметр:

а) прямоугольника со сторонами 15 см и 20 см;

б) квадрата со стороной 45 см?

а) прямоугольника со сторонами 15 см и 20 см;

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. У прямоугольника противоположные стороны равны. Если его стороны равны $a$ и $b$, то формула для вычисления периметра $P$ будет следующей:

$P = a + b + a + b = 2a + 2b = 2 \times (a + b)$

В нашем случае, стороны прямоугольника $a = 15$ см и $b = 20$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$P = 2 \times (15 \text{ см} + 20 \text{ см})$

Сначала выполним сложение в скобках:

$15 + 20 = 35$

Теперь умножим полученную сумму на 2:

$P = 2 \times 35 \text{ см} = 70 \text{ см}$

Ответ: 70 см

б) квадрата со стороной 45 см?

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все четыре стороны равны. Формула для вычисления периметра $P$ квадрата со стороной $a$ выглядит так:

$P = a + a + a + a = 4 \times a$

Длина стороны квадрата по условию равна $a = 45$ см.

Подставим это значение в формулу:

$P = 4 \times 45 \text{ см}$

Выполним умножение:

$4 \times 45 = 180$

Таким образом, периметр квадрата равен 180 см.

$P = 180 \text{ см}$

Ответ: 180 см

Умею строить прямоугольник с заданными сторонами.

5. Постройте на нелинованной бумаге:

а) прямоугольник со сторонами 3 см и 3 см 5 мм;

б) квадрат со стороной 4 см.

Для выполнения построений на нелинованной бумаге потребуются следующие инструменты: карандаш, линейка и угольник (для построения прямых углов, равных $90^\circ$).

Сначала необходимо выразить все размеры в одной единице измерения. Переведем миллиметры в сантиметры: $5 \text{ мм} = 0,5 \text{ см}$. Таким образом, стороны прямоугольника равны 3 см и $3 + 0,5 = 3,5$ см.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки начертите отрезок, назовем его AD, длиной 3,5 см.
2. Приложите угольник к точке A так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол, совпала с отрезком AD. Вдоль второй стороны угольника проведите луч.
3. На этом луче отложите от точки A отрезок AB длиной 3 см.
4. Переместите угольник к точке D. Приложите его одной стороной к отрезку AD и проведите луч, перпендикулярный AD.
5. На этом луче отложите от точки D отрезок DC длиной 3 см.
6. Соедините точки B и C отрезком. Для проверки можно измерить его длину, она должна быть равна 3,5 см.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым прямоугольником, так как его противолежащие стороны равны (AD = BC = 3,5 см; AB = DC = 3 см) и все углы по построению прямые.

Ответ: Прямоугольник с заданными сторонами построен.

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все четыре стороны равны. В данном случае длина стороны составляет 4 см.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки начертите отрезок, назовем его AB, длиной 4 см.
2. Используя угольник, постройте в точке A прямой угол. Для этого приложите угольник одной стороной к отрезку AB и проведите луч вдоль его второй стороны.
3. На построенном перпендикулярном луче отложите от точки A отрезок AD длиной 4 см.
4. Теперь постройте прямой угол в точке B. Приложите угольник одной стороной к отрезку AB и проведите луч, перпендикулярный AB.
5. На этом луче отложите от точки B отрезок BC длиной 4 см.
6. Соедините отрезком точки D и C. Убедитесь, что длина отрезка DC также равна 4 см.

Полученный четырехугольник ABCD — искомый квадрат, так как по построению все его стороны равны 4 см, а углы прямые.

Ответ: Квадрат с заданной стороной построен.

Умею находить площадь прямоугольника.

6. Вычислите площадь:

а) прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см;

б) квадрата со стороной 13 см.

а)

Для вычисления площади прямоугольника используется формула $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – длины его смежных сторон.

Согласно условию, стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см. Подставим эти значения в формулу:

$S = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

Таким образом, площадь прямоугольника составляет 24 квадратных сантиметра.

Ответ: 24 см².

б)

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Площадь квадрата ($S$) можно найти по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны.

По условию, сторона квадрата равна 13 см. Подставим это значение в формулу:

$S = (13 \text{ см})^2 = 13 \text{ см} \cdot 13 \text{ см} = 169 \text{ см}^2$.

Таким образом, площадь квадрата составляет 169 квадратных сантиметров.

Ответ: 169 см².

Знаю свойства прямоугольника и свойства квадрата.

7. Какие свойства отличают квадрат от других прямоугольников?

1) Диагонали пересекаются под прямым углом.

2) Диагонали равны.

3) Диагонали в точке пересечения делятся пополам.

4) Все стороны равны.

5) Все углы прямые.

Чтобы найти свойства, которые отличают квадрат от других прямоугольников, необходимо рассмотреть свойства каждой фигуры. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$). Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Проанализируем предложенные свойства:

1) Диагонали пересекаются под прямым углом. Это свойство верно для квадрата, так как квадрат является также и ромбом, а у ромба диагонали перпендикулярны. У прямоугольника, который не является квадратом, диагонали не пересекаются под прямым углом. Следовательно, это отличительное свойство. Ответ: Да.

2) Диагонали равны. Это свойство присуще любому прямоугольнику, а не только квадрату. Так как это общее свойство для всех прямоугольников, оно не является отличительным. Ответ: Нет.

3) Диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это свойство характерно для любого параллелограмма, а значит, и для любого прямоугольника (включая квадрат). Это общее свойство, а не отличительное. Ответ: Нет.

4) Все стороны равны. Это свойство является определением квадрата как частного случая прямоугольника. У прямоугольника, не являющегося квадратом, равны только противолежащие стороны, но не все четыре. Это ключевое отличительное свойство. Ответ: Да.

5) Все углы прямые. По определению, у любого прямоугольника все углы прямые ($90^\circ$). Это свойство является общим для всех прямоугольников, включая квадрат, и не отличает их друг от друга. Ответ: Нет.

Таким образом, свойства, которые отличают квадрат от других прямоугольников, это перпендикулярность диагоналей и равенство всех сторон.