Страница 222 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Верно ли равенство:

а) $12.40 = 12.4$;

б) $25 = 25.0$;

в) $1.03 = 1.30$;

г) $1.500 = 1.50$;

д) $160 = 16$;

е) $2.01 = 2.010000?$;

Чтобы определить, верны ли равенства, воспользуемся основным свойством десятичной дроби: значение десятичной дроби не изменится, если в конце её дробной части приписать или отбросить один или несколько нулей.

а) 12,40 = 12,4

В числе 12,40 последний ноль находится в конце дробной части. Согласно свойству десятичной дроби, его можно отбросить, не изменяя значения числа. Отбросив ноль, получим 12,4. Таким образом, равенство $12,40 = 12,4$ является верным. Можно также представить числа в виде обыкновенных дробей: $12,40 = 12\frac{40}{100}$ и $12,4 = 12\frac{4}{10}$. Так как $\frac{40}{100} = \frac{4}{10}$, равенство верно.

Ответ: верно.

б) 25 = 25,0

Любое целое число можно записать в виде десятичной дроби, добавив в конце запятую и ноль (или несколько нулей). Число 25 — целое. Число 25,0 имеет целую часть 25 и дробную часть, равную нулю. Следовательно, эти числа равны: $25 = 25,0$.

Ответ: верно.

в) 1,03 = 1,30

Сравним числа 1,03 и 1,30. Их целые части равны (1). Сравним дробные части, начиная с разряда десятых. В числе 1,03 в разряде десятых стоит 0, а в числе 1,30 — 3. Так как $0 < 3$, то $1,03 < 1,30$. Ноль в числе 1,03 не является конечным, поэтому его отбрасывать нельзя. В числе 1,30 конечный ноль можно отбросить: $1,30 = 1,3$. Таким образом, нужно проверить равенство $1,03 = 1,3$, что неверно.

Ответ: неверно.

г) 1,500 = 1,50

В числе 1,500 два последних нуля можно отбросить, так как они стоят в конце дробной части. Получим $1,500 = 1,5$. В числе 1,50 можно отбросить последний ноль: $1,50 = 1,5$. Поскольку оба числа равны 1,5, то они равны и между собой.

Ответ: верно.

д) 160 = 16

Числа 160 и 16 — это целые числа. Приписывание нуля в конце целого числа (не после запятой) увеличивает его в 10 раз. Очевидно, что сто шестьдесят не равно шестнадцати. $160 \neq 16$.

Ответ: неверно.

е) 2,01 = 2,010000

В числе 2,010000 четыре нуля на конце являются конечными нулями в дробной части. Их можно отбросить, не меняя значения числа. Отбросив эти нули, мы получим 2,01. Таким образом, равенство $2,01 = 2,010000$ верно.

Ответ: верно.

К числу приписывают справа один нуль, два нуля, три нуля и т. д. Что происходит с этим числом, если это:

а) натуральное число;

б) десятичная дробь?

а) натуральное число

Если к натуральному числу приписать справа один ноль, это равносильно умножению этого числа на 10. Если приписать два нуля — умножению на 100. Если приписать k нулей — умножению на $10^k$.

Рассмотрим на примере числа 12:

• Приписываем один ноль: получаем 120. Это то же самое, что $12 \times 10 = 120$.
• Приписываем два нуля: получаем 1200. Это то же самое, что $12 \times 100 = 1200$.
• Приписываем три нуля: получаем 12000. Это то же самое, что $12 \times 1000 = 12000$.

Таким образом, при приписывании справа одного, двух, трех и т.д. нулей натуральное число увеличивается соответственно в 10, 100, 1000 и т.д. раз.

Ответ: Натуральное число увеличивается в $10^k$ раз, где k — количество приписанных нулей.

б) десятичная дробь

Если к десятичной дроби приписать справа нули (в конец дробной части), ее величина не изменится. Это одно из основных свойств десятичных дробей.

Рассмотрим на примере числа 5,8:

• Приписываем один ноль: получаем 5,80.
• Приписываем два нуля: получаем 5,800.

Сравним значения этих чисел, представив их в виде обыкновенных дробей:

$5,8 = 5 \frac{8}{10}$

$5,80 = 5 \frac{80}{100} = 5 \frac{8 \times 10}{10 \times 10} = 5 \frac{8}{10}$

$5,800 = 5 \frac{800}{1000} = 5 \frac{8 \times 100}{10 \times 100} = 5 \frac{8}{10}$

Как видно, все три записи представляют одно и то же число: $5,8 = 5,80 = 5,800$.

Ответ: Величина десятичной дроби не изменяется.

Какой знак сравнения нужно поставить между данными числами, чтобы получить верное неравенство:

а) 1,36 ... 1,46;

б) 2,08 ... 2,07;

в) 4,35 ... 4,39;

г) 0,7 ... 0,67?

Чтобы сравнить десятичные дроби, нужно последовательно сравнить их разряды, двигаясь слева направо. Сначала сравниваются целые части. Если они равны, сравниваются цифры в разряде десятых, затем сотых, и так далее, пока не найдется разряд с разными цифрами. Большей будет та дробь, у которой цифра в этом разряде больше.

а) Сравниваем числа 1,36 и 1,46.
1. Целые части у обоих чисел одинаковы и равны 1.
2. Сравниваем цифры в разряде десятых (первая цифра после запятой). У числа 1,36 это 3, а у числа 1,46 это 4.
3. Поскольку $3 < 4$, то $1,36 < 1,46$.
Ответ: $1,36 < 1,46$.

б) Сравниваем числа 2,08 и 2,07.
1. Целые части у обоих чисел одинаковы и равны 2.
2. Цифры в разряде десятых также одинаковы и равны 0.
3. Сравниваем цифры в разряде сотых (вторая цифра после запятой). У числа 2,08 это 8, а у числа 2,07 это 7.
4. Поскольку $8 > 7$, то $2,08 > 2,07$.
Ответ: $2,08 > 2,07$.

в) Сравниваем числа 4,35 и 4,39.
1. Целые части у обоих чисел одинаковы и равны 4.
2. Цифры в разряде десятых также одинаковы и равны 3.
3. Сравниваем цифры в разряде сотых. У числа 4,35 это 5, а у числа 4,39 это 9.
4. Поскольку $5 < 9$, то $4,35 < 4,39$.
Ответ: $4,35 < 4,39$.

г) Сравниваем числа 0,7 и 0,67.
1. Для удобства сравнения можно уравнять количество знаков после запятой, дописав к числу 0,7 справа ноль: $0,7 = 0,70$.
2. Теперь сравниваем 0,70 и 0,67. Целые части у них равны 0.
3. Сравниваем цифры в разряде десятых. У числа 0,70 это 7, а у числа 0,67 это 6.
4. Поскольку $7 > 6$, то $0,7 > 0,67$.
Ответ: $0,7 > 0,67$.

Опровергните с помощью контрпримера утверждение: из двух десятичных дробей меньше та, у которой цифр после запятой меньше.

Чтобы опровергнуть утверждение «из двух десятичных дробей меньше та, у которой цифр после запятой меньше», необходимо привести контрпример. Контрпример — это пара чисел, для которых данное утверждение не выполняется.

Рассмотрим две десятичные дроби: $0,5$ и $0,49$.

У дроби $0,5$ одна цифра после запятой. У дроби $0,49$ — две цифры после запятой.

Таким образом, у дроби $0,5$ количество цифр после запятой меньше. Если бы утверждение было верным, то должно было бы выполняться неравенство $0,5 < 0,49$.

Проверим это неравенство. Для сравнения десятичных дробей уравняем количество знаков после запятой. Допишем к дроби $0,5$ справа ноль, от этого её значение не изменится: $0,5 = 0,50$. Теперь сравним дроби $0,50$ и $0,49$.

Так как целые части дробей равны (0), сравниваем их дробные части: $50 > 49$. Следовательно, $0,50 > 0,49$, а это значит, что $0,5 > 0,49$.

Полученный результат ($0,5 > 0,49$) противоречит предположению ($0,5 < 0,49$), которое следовало бы из утверждения. Это доказывает, что исходное утверждение неверно.

Ответ: Контрпримером являются дроби $0,5$ и $0,49$. У дроби $0,5$ (одна цифра после запятой) меньше цифр после запятой, чем у дроби $0,49$ (две цифры после запятой), однако $0,5 > 0,49$.