Страница 225 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.16 Расположите в порядке убывания числа:

a) $22,86$; $23,01$; $22,68$; $21,99$;

б) $0,93$; $0,853$; $0,914$; $0,94$;

в) $0,09$; $0,111$; $0,1$; $0,091$;

г) $3,099$; $3,909$; $3,99$; $3,9009$.

а) Даны числа: 22,86; 23,01; 22,68; 21,99. Чтобы расположить их в порядке убывания (от большего к меньшему), нужно сравнить их между собой.

1. Сначала сравниваем целые части чисел: 22, 23, 22, 21. Самая большая целая часть — 23, следовательно, самое большое число — 23,01. Самая маленькая целая часть — 21, значит, самое маленькое число — 21,99.

2. Теперь сравним числа с одинаковой целой частью 22: это 22,86 и 22,68. Для этого посмотрим на их дробные части. В разряде десятых у числа 22,86 стоит цифра 8, а у числа 22,68 — цифра 6. Так как $8 > 6$, то число 22,86 больше, чем 22,68.

3. Располагаем все числа в порядке убывания: сначала самое большое, затем поменьше и так далее. Получаем последовательность: 23,01; 22,86; 22,68; 21,99.
Ответ: 23,01; 22,86; 22,68; 21,99.

б) Даны числа: 0,93; 0,853; 0,914; 0,94.

1. Целые части у всех чисел одинаковы и равны 0. Поэтому сравнение проводим по дробным частям. Чтобы было удобнее сравнивать, приведем все числа к одинаковому количеству знаков после запятой. Максимальное количество знаков — три (у 0,853 и 0,914), поэтому дополним остальные числа нулями до трех знаков:
0,93 = 0,930
0,853
0,914
0,94 = 0,940

2. Теперь сравним получившиеся дробные части как целые числа: 930, 853, 914, 940.

3. Расположим эти числа в порядке убывания: $940 > 930 > 914 > 853$.

4. Этому порядку соответствуют исходные числа: 0,94; 0,93; 0,914; 0,853.
Ответ: 0,94; 0,93; 0,914; 0,853.

в) Даны числа: 0,09; 0,111; 0,1; 0,091.

1. Целые части всех чисел равны 0. Сравниваем по дробным частям. Приведем все дроби к одинаковому количеству знаков после запятой (к трем):
0,09 = 0,090
0,111
0,1 = 0,100
0,091

2. Сравниваем дробные части как целые числа: 90, 111, 100, 91.

3. Расположим их в порядке убывания: $111 > 100 > 91 > 90$.

4. Соответствующий ряд исходных чисел: 0,111; 0,1; 0,091; 0,09.
Ответ: 0,111; 0,1; 0,091; 0,09.

г) Даны числа: 3,099; 3,909; 3,99; 3,9009.

1. Целые части всех чисел равны 3. Сравниваем по дробным частям. Приведем все числа к четырем знакам после запятой:
3,099 = 3,0990
3,909 = 3,9090
3,99 = 3,9900
3,9009

2. Теперь сравним дробные части как целые числа: 990, 9090, 9900, 9009.

3. Расположим эти числа в порядке убывания: $9900 > 9090 > 9009 > 990$.

4. Следовательно, исходные числа в порядке убывания: 3,99; 3,909; 3,9009; 3,099.
Ответ: 3,99; 3,909; 3,9009; 3,099.

10.17 В таблицах приведены результаты соревнований по двум видам спорта (SM 0 на Олимпийских играх в Пекине в 2008 г. В каждом случае прочитайте последовательно результаты, начиная с лучшего.

1) Метание диска (мужчины)

Страна Результат

Польша $67,82 \text{ м}$

Литва $67,79 \text{ м}$

Эстония $68,82 \text{ м}$

2) Бег на 400 м (женщины)

Страна Результат

США $49,93 \text{ с}$

Великобритания $49,62 \text{ с}$

Ямайка $49,69 \text{ с}$

1) Метание диска (мужчины)

В соревнованиях по метанию диска лучшим результатом является наибольшая дальность броска. Следовательно, нам необходимо расположить представленные результаты в порядке убывания (от большего к меньшему).

Сравним результаты: 67,82 м (Польша), 67,79 м (Литва) и 68,82 м (Эстония).

Для сравнения десятичных дробей сначала сравниваем их целые части. У числа 68,82 целая часть равна 68, а у чисел 67,82 и 67,79 она равна 67. Так как $68 > 67$, то результат 68,82 м является наибольшим.

Теперь сравним 67,82 и 67,79. Их целые части равны. Сравним цифры в разряде десятых: у первого числа это 8, у второго — 7. Так как $8 > 7$, то $67,82 > 67,79$.

Таким образом, последовательность результатов, начиная с лучшего, выглядит так: 68,82 м; 67,82 м; 67,79 м.

Ответ: Эстония (68,82 м), Польша (67,82 м), Литва (67,79 м).

2) Бег на 400 м (женщины)

В соревнованиях по бегу лучшим результатом является наименьшее время, затраченное на прохождение дистанции. Следовательно, нам необходимо расположить представленные результаты в порядке возрастания (от меньшего к большему).

Сравним результаты: 49,93 с (США), 49,62 с (Великобритания) и 49,69 с (Ямайка).

Целые части у всех трех чисел одинаковы и равны 49. Поэтому сравнивать будем их дробные части.

Сравним цифры в разряде десятых: у чисел 49,62 и 49,69 это 6, а у числа 49,93 — это 9. Так как $6 < 9$, то наименьшие результаты — это 49,62 с и 49,69 с.

Теперь сравним 49,62 и 49,69. Их целые части и десятые равны. Сравним цифры в разряде сотых: у первого числа это 2, у второго — 9. Так как $2 < 9$, то $49,62 < 49,69$.

Таким образом, последовательность результатов, начиная с лучшего, выглядит так: 49,62 с; 49,69 с; 49,93 с.

Ответ: Великобритания (49,62 с), Ямайка (49,69 с), США (49,93 с).

10.18 Ищем закономерность

Найдите закономерность, по которой строится последовательность чисел, и запишите следующие два числа; определите, как меняются члены последовательности – увеличиваются или уменьшаются:

а) 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; ...

б) 0,6; 0,56; 0,456; 0,3456; ...

в) 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; ...

а) 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; ...

Проанализируем данную последовательность чисел:
Первый член $a_1 = 0,1 = \frac{1}{10}$.
Второй член $a_2 = 0,02 = \frac{2}{100}$.
Третий член $a_3 = 0,003 = \frac{3}{1000}$.
Четвертый член $a_4 = 0,0004 = \frac{4}{10000}$.
Закономерность заключается в том, что n-й член последовательности ($a_n$) можно представить формулой $a_n = \frac{n}{10^n}$.

Исходя из этой закономерности, найдем следующие два члена:
Пятый член: $a_5 = \frac{5}{10^5} = \frac{5}{100000} = 0,00005$.
Шестой член: $a_6 = \frac{6}{10^6} = \frac{6}{1000000} = 0,000006$.
Сравнивая члены последовательности ($0,1 > 0,02 > 0,003 > 0,0004$), мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего. Следовательно, члены последовательности уменьшаются.

Ответ: следующие два числа — 0,00005 и 0,000006; члены последовательности уменьшаются.

б) 0,6; 0,56; 0,456; 0,3456; ...

Рассмотрим цифры после запятой у каждого члена последовательности:
Первый член: 6.
Второй член: 5, 6.
Третий член: 4, 5, 6.
Четвертый член: 3, 4, 5, 6.
Закономерность состоит в том, что для получения следующего члена к последовательности цифр предыдущего члена спереди дописывается цифра, на единицу меньшая, чем первая цифра предыдущего члена.

Таким образом, следующие два члена будут:
Пятый член: первая цифра будет $3 - 1 = 2$, значит, число — 0,23456.
Шестой член: первая цифра будет $2 - 1 = 1$, значит, число — 0,123456.
Поскольку $0,6 > 0,56 > 0,456 > 0,3456$, каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. Значит, члены последовательности уменьшаются.

Ответ: следующие два числа — 0,23456 и 0,123456; члены последовательности уменьшаются.

в) 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; ...

В этой последовательности каждый следующий член получается путем дописывания цифры 1 в конец десятичной части предыдущего члена.
Первый член: 0,1.
Второй член: 0,11.
Третий член: 0,111.
Четвертый член: 0,1111.
Таким образом, n-й член последовательности представляет собой десятичную дробь, у которой после запятой стоит n цифр 1.

Найдем следующие два члена последовательности:
Пятый член: 0,11111.
Шестой член: 0,111111.
Сравнивая члены последовательности ($0,1 < 0,11 < 0,111 < 0,1111$), мы видим, что каждый следующий член больше предыдущего. Следовательно, члены последовательности увеличиваются.

Ответ: следующие два числа — 0,11111 и 0,111111; члены последовательности увеличиваются.

10.19 РАССУЖДАЕМ Какую цифру можно подставить вместо звездочки, чтобы полученное неравенство было верным:

a) $0,488 < 0,4*8;$

б) $1*,93 < 11,93;$

в) $3,07 < 3,0*;$

г) $6,*9 < 6,38?$

а) $0,488 < 0,4*8$

Для того чтобы неравенство было верным, мы сравниваем десятичные дроби поразрядно слева направо.
Целые части равны ($0=0$).
Цифры в разряде десятых также равны ($4=4$).
Далее сравниваем разряд сотых. В первом числе это $8$, а во втором — $*$.
Чтобы число $0,4*8$ было больше, чем $0,488$, цифра в разряде сотых у него должна быть больше или равна цифре в разряде сотых у первого числа.
Если $* = 8$, то числа становятся $0,488$ и $0,488$. Неравенство $0,488 < 0,488$ неверно, так как числа равны.
Если $* > 8$, то неравенство будет верным. Единственная цифра, которая больше $8$, это $9$.
Проверяем: $0,488 < 0,498$. Неравенство верно.

Ответ: $9$.

б) $1*,93 < 11,93$

Сравниваем целые части чисел: $1*$ и $11$.
Чтобы неравенство было верным, целая часть первого числа должна быть меньше целой части второго: $1* < 11$.
Звёздочка находится в разряде единиц целой части первого числа.
Если подставить $*=0$, получим целую часть $10$. Неравенство $10 < 11$ верно, значит и $10,93 < 11,93$ тоже верно.
Если подставить $*=1$, получим целую часть $11$. Неравенство $11 < 11$ неверно.
Если подставить любую цифру больше $1$, целая часть первого числа будет больше $11$ (например, $12 > 11$), и неравенство будет неверным.
Следовательно, подходит только одна цифра.

Ответ: $0$.

в) $3,07 < 3,0*$

Сравниваем числа поразрядно.
Целые части равны ($3=3$).
Цифры в разряде десятых равны ($0=0$).
Сравниваем разряд сотых. В первом числе это $7$, во втором — $*$.
Чтобы неравенство было верным, цифра в разряде сотых второго числа должна быть больше цифры в разряде сотых первого числа.
То есть, $* > 7$.
Этому условию удовлетворяют цифры $8$ и $9$.
Проверяем: $3,07 < 3,08$ (верно) и $3,07 < 3,09$ (верно).

Ответ: $8$ или $9$.

г) $6,*9 < 6,38$

Сравниваем числа поразрядно.
Целые части равны ($6=6$).
Сравниваем разряд десятых. В первом числе это $*$, во втором — $3$.
Чтобы первое число было меньше второго, его цифра в разряде десятых должна быть меньше или равна цифре в разряде десятых второго числа.
1. Если $* < 3$, то неравенство будет верным, независимо от последующих разрядов. Этому условию удовлетворяют цифры $0, 1, 2$.
Например, $6,29 < 6,38$ — верно.
2. Если $* = 3$, то неравенство принимает вид $6,39 < 6,38$. Теперь нужно сравнить разряды сотых. Так как $9$ не меньше $8$, неравенство неверно.
3. Если $* > 3$, то первое число будет заведомо больше второго, и неравенство будет неверным.
Таким образом, подходят только цифры из первого случая.

Ответ: $0, 1$ или $2$.

10.20 1) Выполните деление и, если возможно, сократите полученную дробь:

a) $30 : 20$; б) $9 : 10$; в) $15 : 25$; г) $27 : 18$; д) $50 : 100$; е) $100 : 120$.

2) Найдите дроби, равные натуральным числам, и запишите соответствующее равенство:

$\frac{5}{5}$, $\frac{16}{4}$, $\frac{8}{3}$, $\frac{6}{36}$, $\frac{100}{20}$, $\frac{12}{1}$, $\frac{10}{3}$, $\frac{35}{7}$.

1)

а) Представим деление в виде дроби и сократим ее. Наибольший общий делитель для 30 и 20 равен 10.
$30 : 20 = \frac{30}{20} = \frac{30 \div 10}{20 \div 10} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

б) Представим деление в виде дроби.
$9 : 10 = \frac{9}{10}$.
Числа 9 и 10 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому эта дробь несократима.
Ответ: $\frac{9}{10}$.

в) Представим деление в виде дроби и сократим ее. Наибольший общий делитель для 15 и 25 равен 5.
$15 : 25 = \frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) Представим деление в виде дроби и сократим ее. Наибольший общий делитель для 27 и 18 равен 9.
$27 : 18 = \frac{27}{18} = \frac{27 \div 9}{18 \div 9} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

д) Представим деление в виде дроби и сократим ее. Наибольший общий делитель для 50 и 100 равен 50.
$50 : 100 = \frac{50}{100} = \frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

е) Представим деление в виде дроби и сократим ее. Наибольший общий делитель для 100 и 120 равен 20.
$100 : 120 = \frac{100}{120} = \frac{100 \div 20}{120 \div 20} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

2) Дробь равна натуральному числу, если её числитель делится на знаменатель без остатка. Проверим каждую из предложенных дробей:

• $\frac{5}{5} = 1$, так как $5 \div 5 = 1$.
• $\frac{16}{4} = 4$, так как $16 \div 4 = 4$.
• $\frac{8}{3}$ - не равно натуральному числу, так как 8 на 3 нацело не делится.
• $\frac{6}{36}$ - не равно натуральному числу, так как это правильная дробь ($6 < 36$), ее значение меньше 1.
• $\frac{100}{20} = 5$, так как $100 \div 20 = 5$.
• $\frac{12}{1} = 12$, так как любое число, деленное на 1, равно самому себе.
• $\frac{10}{3}$ - не равно натуральному числу, так как 10 на 3 нацело не делится.
• $\frac{35}{7} = 5$, так как $35 \div 7 = 5$.

Соответствующие равенства:
$\frac{5}{5} = 1$
$\frac{16}{4} = 4$
$\frac{100}{20} = 5$
$\frac{12}{1} = 12$
$\frac{35}{7} = 5$
Ответ: $\frac{5}{5} = 1$; $\frac{16}{4} = 4$; $\frac{100}{20} = 5$; $\frac{12}{1} = 12$; $\frac{35}{7} = 5$.