Номер 10.18, страница 225 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 10.1. Десятичная запись дробей. Глава 10. Десятичные дроби и действия с ними - номер 10.18, страница 225.

10.18 Ищем закономерность

Найдите закономерность, по которой строится последовательность чисел, и запишите следующие два числа; определите, как меняются члены последовательности – увеличиваются или уменьшаются:

а) 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; ...

б) 0,6; 0,56; 0,456; 0,3456; ...

в) 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; ...

а) 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; ...

Проанализируем данную последовательность чисел:
Первый член $a_1 = 0,1 = \frac{1}{10}$.
Второй член $a_2 = 0,02 = \frac{2}{100}$.
Третий член $a_3 = 0,003 = \frac{3}{1000}$.
Четвертый член $a_4 = 0,0004 = \frac{4}{10000}$.
Закономерность заключается в том, что n-й член последовательности ($a_n$) можно представить формулой $a_n = \frac{n}{10^n}$.

Исходя из этой закономерности, найдем следующие два члена:
Пятый член: $a_5 = \frac{5}{10^5} = \frac{5}{100000} = 0,00005$.
Шестой член: $a_6 = \frac{6}{10^6} = \frac{6}{1000000} = 0,000006$.
Сравнивая члены последовательности ($0,1 > 0,02 > 0,003 > 0,0004$), мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего. Следовательно, члены последовательности уменьшаются.

Ответ: следующие два числа — 0,00005 и 0,000006; члены последовательности уменьшаются.

б) 0,6; 0,56; 0,456; 0,3456; ...

Рассмотрим цифры после запятой у каждого члена последовательности:
Первый член: 6.
Второй член: 5, 6.
Третий член: 4, 5, 6.
Четвертый член: 3, 4, 5, 6.
Закономерность состоит в том, что для получения следующего члена к последовательности цифр предыдущего члена спереди дописывается цифра, на единицу меньшая, чем первая цифра предыдущего члена.

Таким образом, следующие два члена будут:
Пятый член: первая цифра будет $3 - 1 = 2$, значит, число — 0,23456.
Шестой член: первая цифра будет $2 - 1 = 1$, значит, число — 0,123456.
Поскольку $0,6 > 0,56 > 0,456 > 0,3456$, каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. Значит, члены последовательности уменьшаются.

Ответ: следующие два числа — 0,23456 и 0,123456; члены последовательности уменьшаются.

в) 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; ...

В этой последовательности каждый следующий член получается путем дописывания цифры 1 в конец десятичной части предыдущего члена.
Первый член: 0,1.
Второй член: 0,11.
Третий член: 0,111.
Четвертый член: 0,1111.
Таким образом, n-й член последовательности представляет собой десятичную дробь, у которой после запятой стоит n цифр 1.

Найдем следующие два члена последовательности:
Пятый член: 0,11111.
Шестой член: 0,111111.
Сравнивая члены последовательности ($0,1 < 0,11 < 0,111 < 0,1111$), мы видим, что каждый следующий член больше предыдущего. Следовательно, члены последовательности увеличиваются.

Ответ: следующие два числа — 0,11111 и 0,111111; члены последовательности увеличиваются.