Страница 227 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Проиллюстрируйте правило округления десятичных дробей на примере округления дроби $0,3725$ до сотых, до тысячных.

Правило округления десятичных дробей заключается в следующем: чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда (знака после запятой), нужно отбросить все цифры, следующие за этим разрядом. При этом, если первая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущая ей цифра не меняется. Если же первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущая ей цифра увеличивается на единицу.

Рассмотрим это правило на примере дроби 0,3725.

Округление до сотых

Чтобы округлить дробь 0,3725 до сотых, нам нужно оставить две цифры после запятой. Разряд сотых — это вторая цифра после запятой, в нашем случае это 7.
Смотрим на следующую цифру — это 2 (разряд тысячных).
$0,37|25$
Поскольку $2 < 5$, мы оставляем цифру в разряде сотых (7) без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.
Таким образом, $0,3725 \approx 0,37$.
Ответ: 0,37

Округление до тысячных

Чтобы округлить дробь 0,3725 до тысячных, нам нужно оставить три цифры после запятой. Разряд тысячных — это третья цифра после запятой, в нашем случае это 2.
Смотрим на следующую цифру — это 5 (разряд десятитысячных).
$0,372|5$
Поскольку эта цифра равна 5, мы должны увеличить цифру в разряде тысячных (2) на единицу: $2 + 1 = 3$.
Таким образом, $0,3725 \approx 0,373$.
Ответ: 0,373

До какого разряда округлили десятичную дробь, если в результате получилось число:

a) 72,4;

б) 1,50?

а)

При округлении десятичной дроби результат записывается до того разряда, до которого производилось округление. В числе $72,4$ последняя цифра ($4$) находится в разряде десятых (первый разряд после запятой). Следовательно, округление производилось до десятых. Например, числа $72,38$ или $72,41$ при округлении до десятых дадут в результате $72,4$.

Ответ: до десятых.

б)

В числе $1,50$ последняя цифра ($0$) находится в разряде сотых (второй разряд после запятой). Ноль в конце дробной части десятичной дроби является значащей цифрой, если он показывает точность измерения или округления. Если бы округление производилось до десятых, то результатом было бы число $1,5$. Запись $1,50$ означает, что точность округления — до сотых. Например, число $1,498$ при округлении до сотых даст $1,50$.

Ответ: до сотых.

Приведите пример, когда в результате округления десятичной дроби получается целое число.

Чтобы в результате округления десятичной дроби получилось целое число, необходимо округлить эту дробь до разряда единиц (до целых). Округление происходит по следующему правилу: нужно посмотреть на первую цифру после запятой, то есть на цифру в разряде десятых.

• Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то целая часть числа остаётся без изменений, а вся дробная часть отбрасывается (округление с недостатком).
• Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то целая часть числа увеличивается на единицу, а дробная часть отбрасывается (округление с избытком).

Рассмотрим конкретный пример. Возьмём десятичную дробь $15,7$.

Чтобы округлить её до целого числа, смотрим на первую цифру после запятой. В данном случае это цифра 7.

Поскольку $7 \ge 5$, мы должны округлить число в большую сторону. Для этого мы увеличиваем целую часть (число 15) на единицу, а дробную часть отбрасываем.

$15 + 1 = 16$

Таким образом, при округлении десятичной дроби $15,7$ до ближайшего целого числа мы получаем $16$. Математически это записывается как $15,7 \approx 16$.

Ответ: например, при округлении десятичной дроби $15,7$ получается целое число $16$.

10.23 a) В старину при изготовлении лекарств пользовались специальными единицами аптекарского веса – унциями: 1 унция равнялась $31,1035$ г. Округлите это число до десятых; до единиц. Скольким целым граммам примерно равна 1 аптекарская унция?

б) В английской системе мер для измерения массы используют фунты: 1 фунт $\approx 0,45359237$ кг. Округлите это число до тысячных; до сотых; до десятых. Сколько примерно граммов содержится в 1 фунте?

а)

Исходное число: $31,1035$ г.
Чтобы округлить число до определенного разряда, нужно посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда. Если эта цифра $0, 1, 2, 3$ или $4$, то цифру в округляемом разряде оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем. Если справа стоит цифра $5, 6, 7, 8$ или $9$, то цифру в округляемом разряде увеличиваем на единицу, а все последующие отбрасываем.

1. Округление до десятых.
В разряде десятых стоит цифра $1$. Справа от нее стоит цифра $0$. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений.
$31,1035 \approx 31,1$

2. Округление до единиц (до целых).
В разряде единиц стоит цифра $1$. Справа от нее в разряде десятых стоит цифра $1$. Так как $1 < 5$, то целую часть оставляем без изменений.
$31,1035 \approx 31$

Таким образом, 1 аптекарская унция примерно равна 31 целому грамму.

Ответ: до десятых – $31,1$; до единиц – $31$. 1 аптекарская унция примерно равна $31$ грамму.

б)

Исходное число: $1 \text{ фунт} \approx 0,45359237 \text{ кг}$.

1. Округление до тысячных.
В разряде тысячных стоит цифра $3$. Справа от нее стоит цифра $5$. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на $1$ ($3+1=4$).
$0,45359237 \approx 0,454$

2. Округление до сотых.
В разряде сотых стоит цифра $5$. Справа от нее стоит цифра $3$. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
$0,45359237 \approx 0,45$

3. Округление до десятых.
В разряде десятых стоит цифра $4$. Справа от нее стоит цифра $5$. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде десятых увеличиваем на $1$ ($4+1=5$).
$0,45359237 \approx 0,5$

4. Чтобы найти, сколько граммов содержится в 1 фунте, нужно перевести килограммы в граммы. Зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$, получаем:
$0,45359237 \text{ кг} = 0,45359237 \times 1000 \text{ г} = 453,59237 \text{ г}$
Округлим полученное значение до целого числа. В разряде десятых стоит цифра $5$, поэтому целую часть увеличиваем на $1$:
$453,59237 \text{ г} \approx 454 \text{ г}$

Ответ: до тысячных – $0,454$; до сотых – $0,45$; до десятых – $0,5$. В 1 фунте примерно содержится $454$ грамма.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (10.24–10.26)

10.24 Округлите до единиц:

а) 38,459; б) 105,83; в) 0,963; г) 9,5004; д) 29,48.

Чтобы округлить десятичную дробь до единиц (до целого числа), нужно отбросить запятую и все цифры, стоящие после запятой. При этом необходимо посмотреть на первую отбрасываемую цифру (цифру в разряде десятых):

• Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру (в разряде единиц) оставляем без изменений.
• Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру (в разряде единиц) увеличиваем на 1.

Применим это правило к каждому числу.

а) Округлить 38,459 до единиц.

Первая цифра после запятой — 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде единиц (8) оставляем без изменений, а дробную часть отбрасываем.

$38,459 \approx 38$

Ответ: 38

б) Округлить 105,83 до единиц.

Первая цифра после запятой — 8. Так как $8 \ge 5$, то целую часть числа (105) увеличиваем на единицу, а дробную часть отбрасываем.

$105 + 1 = 106$

$105,83 \approx 106$

Ответ: 106

в) Округлить 0,963 до единиц.

Первая цифра после запятой — 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде единиц (0) увеличиваем на единицу, а дробную часть отбрасываем.

$0 + 1 = 1$

$0,963 \approx 1$

Ответ: 1

г) Округлить 9,5004 до единиц.

Первая цифра после запятой — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде единиц (9) увеличиваем на единицу, а дробную часть отбрасываем.

$9 + 1 = 10$

$9,5004 \approx 10$

Ответ: 10

д) Округлить 29,48 до единиц.

Первая цифра после запятой — 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде единиц (9) оставляем без изменений, а дробную часть отбрасываем.

$29,48 \approx 29$

Ответ: 29

10.25 Округлите до десятых, до сотых, до тысячных:

а) $28.37267$;

б) $43.52859$;

в) $106.09311$;

г) $4.03954$.

а) Округлим число $28,37267$.
До десятых: после разряда десятых (цифра 3) стоит цифра 7. Так как $7 \ge 5$, то разряд десятых увеличиваем на 1: $28,37267 \approx 28,4$.
До сотых: после разряда сотых (цифра 7) стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, то разряд сотых оставляем без изменений: $28,37267 \approx 28,37$.
До тысячных: после разряда тысячных (цифра 2) стоит цифра 6. Так как $6 \ge 5$, то разряд тысячных увеличиваем на 1: $28,37267 \approx 28,373$.
Ответ: до десятых – $28,4$; до сотых – $28,37$; до тысячных – $28,373$.

б) Округлим число $43,52859$.
До десятых: после разряда десятых (цифра 5) стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, то разряд десятых оставляем без изменений: $43,52859 \approx 43,5$.
До сотых: после разряда сотых (цифра 2) стоит цифра 8. Так как $8 \ge 5$, то разряд сотых увеличиваем на 1: $43,52859 \approx 43,53$.
До тысячных: после разряда тысячных (цифра 8) стоит цифра 5. Так как $5 \ge 5$, то разряд тысячных увеличиваем на 1: $43,52859 \approx 43,529$.
Ответ: до десятых – $43,5$; до сотых – $43,53$; до тысячных – $43,529$.

в) Округлим число $106,09311$.
До десятых: после разряда десятых (цифра 0) стоит цифра 9. Так как $9 \ge 5$, то разряд десятых увеличиваем на 1: $106,09311 \approx 106,1$.
До сотых: после разряда сотых (цифра 9) стоит цифра 3. Так как $3 < 5$, то разряд сотых оставляем без изменений: $106,09311 \approx 106,09$.
До тысячных: после разряда тысячных (цифра 3) стоит цифра 1. Так как $1 < 5$, то разряд тысячных оставляем без изменений: $106,09311 \approx 106,093$.
Ответ: до десятых – $106,1$; до сотых – $106,09$; до тысячных – $106,093$.

г) Округлим число $4,03954$.
До десятых: после разряда десятых (цифра 0) стоит цифра 3. Так как $3 < 5$, то разряд десятых оставляем без изменений: $4,03954 \approx 4,0$.
До сотых: после разряда сотых (цифра 3) стоит цифра 9. Так как $9 \ge 5$, то разряд сотых увеличиваем на 1: $4,03954 \approx 4,04$.
До тысячных: после разряда тысячных (цифра 9) стоит цифра 5. Так как $5 \ge 5$, то разряд тысячных увеличиваем на 1. При увеличении 9 на 1 получаем 10, поэтому разряд тысячных становится 0, а к разряду сотых прибавляется 1: $4,03954 \approx 4,040$.
Ответ: до десятых – $4,0$; до сотых – $4,04$; до тысячных – $4,040$.

10.26 Округлите:

1) десятичную дробь 282,0954 до десятых, до сотых, до тысячных;

2) натуральное число 2 820 954 до десятков, до сотен, до тысяч.

Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округ-ление десятичных дробей?

1) десятичную дробь 282,0954 до десятых, до сотых, до тысячных

Правило округления десятичной дроби: чтобы округлить дробь до определенного разряда, все следующие за этим разрядом цифры отбрасывают. Если первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущая ей цифра не меняется. Если же первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущая ей цифра увеличивается на единицу.

• Округление до десятых (первый знак после запятой). Смотрим на цифру в разряде сотых — это 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (0) увеличиваем на 1.
  $282,0954 \approx 282,1$

• Округление до сотых (второй знак после запятой). Смотрим на цифру в разряде тысячных — это 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде сотых (9) увеличиваем на 1. При увеличении 9 на 1 получаем 10, поэтому в разряд сотых записываем 0, а к предыдущему разряду (десятым) добавляем 1.
  $282,0954 \approx 282,10$

• Округление до тысячных (третий знак после запятой). Смотрим на цифру в разряде десятитысячных — это 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде тысячных (5) оставляем без изменений.
  $282,0954 \approx 282,095$

Ответ: 282,1; 282,10; 282,095.

2) натуральное число 2 820 954 до десятков, до сотен, до тысяч

Правило округления натурального числа: чтобы округлить число до определенного разряда, все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями. Если первая из заменяемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущая ей цифра не меняется. Если же первая из заменяемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущая ей цифра увеличивается на единицу.

• Округление до десятков. Смотрим на цифру в разряде единиц — это 4. Так как $4 < 5$, цифру в разряде десятков (5) оставляем без изменений, а разряд единиц заменяем нулем.
  $2 820 954 \approx 2 820 950$

• Округление до сотен. Смотрим на цифру в разряде десятков — это 5. Так как $5 \ge 5$, цифру в разряде сотен (9) увеличиваем на 1. Получаем 10, поэтому в разряде сотен пишем 0, к разряду тысяч добавляем 1 ($0+1=1$). Разряды десятков и единиц заменяем нулями.
  $2 820 954 \approx 2 821 000$

• Округление до тысяч. Смотрим на цифру в разряде сотен — это 9. Так как $9 \ge 5$, цифру в разряде тысяч (0) увеличиваем на 1. Разряды сотен, десятков и единиц заменяем нулями.
  $2 820 954 \approx 2 821 000$

Ответ: 2 820 950; 2 821 000; 2 821 000.

Чем похожи и чем различаются округление натуральных чисел и округление десятичных дробей?

Сходство:
Основной принцип округления одинаков для обоих видов чисел. Решение о том, увеличивать ли цифру в округляемом разряде или оставить ее без изменений, принимается на основе анализа следующей за ней цифры (справа). Если эта цифра 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), происходит округление в большую сторону (цифра в округляемом разряде увеличивается на 1). Если следующая цифра меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4) — округляемая цифра не меняется.

Различие:
Ключевое различие заключается в действиях с цифрами, стоящими справа от разряда, до которого производится округление:

• При округлении натуральных чисел, все цифры справа от заданного разряда заменяются нулями. Это делается для сохранения общего порядка (величины) числа. Например, округляя 183 до десятков, мы получаем 180.

• При округлении дробной части десятичной дроби, все цифры справа от заданного разряда просто отбрасываются. Например, округляя 1,83 до десятых, мы получаем 1,8.

10.27 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Ученики выполняли задание на округление десятичных дробей, и при этом было допущено несколько ошибок. В каждом случае объясните, в чём заключается ошибка, и выполните округление правильно.

1) При округлении числа $8,01253$ до тысячных получилось $8,01253 \approx 8,012$.

2) При округлении числа $0,597$ до сотых получилось $0,597 \approx 0,6$.

3) При округлении числа $123,756$ до десятых получилось $123,756 \approx 120$.

1) Утверждение неверно. Ошибка заключается в неправильном применении правила округления. Чтобы округлить число $8,01253$ до тысячных, необходимо посмотреть на цифру, следующую за разрядом тысячных. В данном числе в разряде тысячных стоит цифра 2, а следующая за ней цифра (в разряде десятитысячных) — это 5. По правилу округления, если первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из оставляемых цифр увеличивается на единицу. Таким образом, цифру 2 в разряде тысячных нужно увеличить на 1, а не просто отбросить последующие цифры.

Правильное округление: $8,012\underline{5}3 \approx 8,013$.

Ответ: $8,01253 \approx 8,013$.

2) Утверждение неверно. Ошибка состоит в том, что округление было выполнено до десятых, а не до сотых, как требовалось в задании. При округлении до сотых в записи числа должны остаться две цифры после запятой. Для округления числа $0,597$ до сотых смотрим на цифру в разряде сотых — это 9. Следующая за ней цифра в разряде тысячных — 7. Так как $7 \ge 5$, цифру в разряде сотых нужно увеличить на 1. Получаем $9 + 1 = 10$. Поэтому в разряд сотых мы записываем 0, а к разряду десятых прибавляем 1, получая $5 + 1 = 6$.

Правильное округление: $0,5\underline{9}7 \approx 0,60$.

Ответ: $0,597 \approx 0,60$.

3) Утверждение неверно. Ошибка заключается в том, что было произведено округление до десятков (целой части числа), в то время как требовалось округлить до десятых (дробной части). Разряд десятых — это первая цифра после запятой. В числе $123,756$ в разряде десятых стоит цифра 7. Следующая за ней цифра в разряде сотых — 5. Так как $5 \ge 5$, мы должны увеличить цифру в разряде десятых на единицу: $7 + 1 = 8$. Все последующие цифры отбрасываются.

Правильное округление: $123,\underline{7}56 \approx 123,8$.

Ответ: $123,756 \approx 123,8$.