Страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.28 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Коля купил продукты, причём масса свёртков оказалась равной 0,756 кг, 1,2 кг и 2,87 кг. Чтобы выяснить, тяжёлой ли будет сумка, он прикинул, сколько примерно килограммов ему придётся нести: $0,756 \approx 1$; $1,2 \approx 1$; $2,87 \approx 3$; $1 \text{ кг} + 1 \text{ кг} + 3 \text{ кг} = 5 \text{ кг}$.

Рассуждая таким же образом, прикиньте общую массу покупок, если масса каждой равна:

а) 2,05 кг, 3,7 кг и 0,925 кг;

б) 1,87 кг, 2,2 кг и 3,08 кг.

а) Чтобы прикинуть общую массу покупок, необходимо округлить массу каждого товара до ближайшего целого числа (килограмма) по стандартным правилам округления.
Округляем массу каждого товара:
$2,05 \text{ кг} \approx 2 \text{ кг}$ (так как первая цифра после запятой, $0$, меньше $5$)
$3,7 \text{ кг} \approx 4 \text{ кг}$ (так как первая цифра после запятой, $7$, больше или равна $5$)
$0,925 \text{ кг} \approx 1 \text{ кг}$ (так как первая цифра после запятой, $9$, больше или равна $5$)
Теперь сложим полученные приближённые значения, чтобы найти общую массу:
$2 \text{ кг} + 4 \text{ кг} + 1 \text{ кг} = 7 \text{ кг}$.
Ответ: примерно 7 кг.

б) Аналогично прикинем общую массу для второго набора продуктов.
Округляем массу каждого товара:
$1,87 \text{ кг} \approx 2 \text{ кг}$ (так как первая цифра после запятой, $8$, больше или равна $5$)
$2,2 \text{ кг} \approx 2 \text{ кг}$ (так как первая цифра после запятой, $2$, меньше $5$)
$3,08 \text{ кг} \approx 3 \text{ кг}$ (так как первая цифра после запятой, $0$, меньше $5$)
Сложим полученные приближённые значения:
$2 \text{ кг} + 2 \text{ кг} + 3 \text{ кг} = 7 \text{ кг}$.
Ответ: примерно 7 кг.

10.29 a) Дима купил в магазине продуктов на сумму 587,45 р. При оплате общую стоимость покупки округляют до десятых по правилам округления. Сколько заплатит Дима за свою покупку? Выразите эту сумму в рублях и копейках.

б) Определите общую стоимость покупки четырёх продуктов: 135,78 р.; 63,35 р.; 33,04 р.; 254,09 р.?

а)

Исходная стоимость покупки Димы составляет 587,45 рубля. По условию задачи, при оплате эта сумма округляется до десятых по математическим правилам округления.

Чтобы округлить число 587,45 до десятых, нужно посмотреть на цифру, стоящую в разряде сотых (следующая за десятыми). В данном случае это цифра 5.

По правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. Цифра в разряде десятых — 4, значит, мы увеличиваем её до 5.

Таким образом, округленная сумма составит: $587,45 \approx 587,5$ рубля.

Теперь необходимо выразить эту сумму в рублях и копейках. В одном рубле 100 копеек. Десятичная часть 0,5 рубля равна $0,5 \times 100 = 50$ копеек.

Следовательно, Дима заплатит 587 рублей 50 копеек.

Ответ: 587 рублей 50 копеек.

б)

Чтобы определить общую стоимость покупки четырёх продуктов, нужно сложить их индивидуальные стоимости: 135,78 р., 63,35 р., 33,04 р. и 254,09 р.

Произведем сложение:

$135,78 + 63,35 + 33,04 + 254,09 = 486,26$ р.

Общая стоимость покупки составляет 486,26 рубля.

Ответ: 486,26 р.

10.30 РАССУЖДАЕМ Некоторую десятичную дробь округлили до сотых, затем эту же дробь округлили до тысячных. Приведите пример, когда результат первого округления: 1) меньше второго; 2) больше второго; 3) равен второму.

Для решения этой задачи нужно вспомнить правила округления десятичных дробей. При округлении до определенного разряда мы смотрим на цифру в следующем, более младшем разряде. Если эта цифра 5 или больше, то цифру в округляемом разряде увеличиваем на 1, а все последующие отбрасываем. Если она меньше 5, то цифру в округляемом разряде оставляем без изменений, а все последующие отбрасываем.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) меньше второго

Чтобы результат первого округления (до сотых) был меньше второго (до тысячных), необходимо подобрать такое число, у которого округление до сотых происходит в меньшую сторону (без увеличения разряда), а округление до тысячных — в большую сторону.

Это условие выполняется, если цифра в разряде тысячных меньше 5 (например, 0, 1, 2, 3 или 4), а цифра в разряде десятитысячных — 5 или больше.

Приведем пример: возьмем число $5.8347$.

• Первое округление (до сотых). Смотрим на цифру в разряде тысячных — это 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону. Результат: $5.83$.

• Второе округление (до тысячных). Смотрим на цифру в разряде десятитысячных — это 7. Так как $7 \geq 5$, округляем в большую сторону. Результат: $5.835$.

Сравниваем полученные результаты: $5.83 < 5.835$. Условие выполнено.

Ответ: $5.8347$.

2) больше второго

Чтобы результат первого округления (до сотых) был больше второго (до тысячных), необходимо подобрать такое число, у которого округление до сотых происходит в большую сторону, а округление до тысячных — в меньшую сторону.

Это условие выполняется, если цифра в разряде тысячных — 5 или больше, а цифра в разряде десятитысячных — меньше 5.

Приведем пример: возьмем число $2.9684$.

• Первое округление (до сотых). Смотрим на цифру в разряде тысячных — это 8. Так как $8 \geq 5$, округляем в большую сторону. Результат: $2.97$.

• Второе округление (до тысячных). Смотрим на цифру в разряде десятитысячных — это 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону. Результат: $2.968$.

Сравниваем полученные результаты: $2.97 > 2.968$. Условие выполнено.

Ответ: $2.9684$.

3) равен второму

Чтобы результаты двух округлений были равны, можно подобрать число, у которого округление до тысячных приводит к результату, оканчивающемуся на ноль (например, $4.150$), и этот результат численно равен результату округления до сотых (например, $4.15$).

Такая ситуация возникает, когда оба округления приводят к одному и тому же значению, например, через перенос разряда.

Приведем пример: возьмем число $4.1996$.

• Первое округление (до сотых). Смотрим на цифру в разряде тысячных — это 9. Так как $9 \geq 5$, округляем в большую сторону. Разряд сотых (9) увеличивается на 1, что вызывает перенос в разряд десятых. Результат: $4.20$.

• Второе округление (до тысячных). Смотрим на цифру в разряде десятитысячных — это 6. Так как $6 \geq 5$, округляем в большую сторону. Разряд тысячных (9) увеличивается на 1, что вызывает перенос в разряд сотых, а затем в разряд десятых. Результат: $4.200$.

Сравниваем полученные результаты: $4.20$ и $4.200$. Эти числа равны. Другой простой пример - любое число, имеющее не более двух знаков после запятой, например, $7.38$.

Ответ: $4.1996$.

10.31 Представьте дробь в виде десятичной дроби:

1) а) $1\frac{3}{100}$;

б) $10\frac{17}{100}$;

в) $\frac{23}{1000}$;

2) а) $\frac{21}{200}$;

б) $\frac{7}{250}$;

в) $\frac{3}{500}$.

1) а) Чтобы представить смешанное число $1\frac{3}{100}$ в виде десятичной дроби, нужно целую часть (1) записать до запятой, а дробную часть ($\frac{3}{100}$) — после запятой. Дробь "три сотых" записывается как $0,03$. Таким образом, мы складываем целую и дробную части.
$1\frac{3}{100} = 1 + \frac{3}{100} = 1 + 0,03 = 1,03$.
Ответ: $1,03$.

1) б) Аналогично предыдущему пункту, целая часть (10) записывается до запятой, а дробная часть ($\frac{17}{100}$) — после. Дробь "семнадцать сотых" записывается как $0,17$.
$10\frac{17}{100} = 10 + \frac{17}{100} = 10 + 0,17 = 10,17$.
Ответ: $10,17$.

1) в) Чтобы записать дробь $\frac{23}{1000}$ в виде десятичной, нужно записать числитель (23) и отделить запятой столько цифр справа, сколько нулей в знаменателе (в данном случае три). Так как в числителе всего две цифры, мы добавляем один ноль слева перед числом.
$\frac{23}{1000} = 0,023$.
Ответ: $0,023$.

2) а) Чтобы представить дробь $\frac{21}{200}$ в виде десятичной, нужно привести ее к знаменателю, равному степени десяти (10, 100, 1000 и т.д.). Умножим числитель и знаменатель на 5, чтобы в знаменателе получилось 1000.
$\frac{21}{200} = \frac{21 \cdot 5}{200 \cdot 5} = \frac{105}{1000} = 0,105$.
Ответ: $0,105$.

2) б) Приведем дробь $\frac{7}{250}$ к знаменателю 1000. Для этого умножим числитель и знаменатель на 4.
$\frac{7}{250} = \frac{7 \cdot 4}{250 \cdot 4} = \frac{28}{1000} = 0,028$.
Ответ: $0,028$.

2) в) Приведем дробь $\frac{3}{500}$ к знаменателю 1000. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2.
$\frac{3}{500} = \frac{3 \cdot 2}{500 \cdot 2} = \frac{6}{1000} = 0,006$.
Ответ: $0,006$.

10.32 Сравните:

1) a) $\frac{9}{16}$ и $\frac{3}{4}$;

б) $\frac{7}{20}$ и $\frac{1}{3}$;

в) $\frac{5}{4}$ и $\frac{7}{6}$;

г) $\frac{11}{50}$ и $\frac{3}{10}$.

2) a) $\frac{12}{4}$ и 3;

б) $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{7}$;

в) $\frac{75}{100}$ и $\frac{12}{36}$;

г) $\frac{5}{10}$ и $\frac{5}{100}$.

3) a) 1,95 и 2,07;

б) 1,84 и 1,78;

в) 3,032 и 3,02;

г) 0,0762 и 0,07623.

10.33 Периметр треугольника $ABC$ равен 17 см, $AB=5\frac{3}{5}$ см, $BC=8$ см. Найдите длину стороны $AC$.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Для треугольника $ABC$ формула периметра выглядит так:

$P = AB + BC + AC$

По условию задачи нам даны периметр $P = 17$ см, а также длины двух сторон: $AB = 5\frac{3}{5}$ см и $BC = 8$ см. Нам нужно найти длину третьей стороны $AC$.

Чтобы найти длину стороны $AC$, нужно из периметра вычесть сумму длин известных сторон:

$AC = P - (AB + BC)$

1. Сначала найдем сумму длин известных сторон $AB$ и $BC$:

$AB + BC = 5\frac{3}{5} + 8 = 13\frac{3}{5}$ см.

2. Теперь вычтем полученную сумму из периметра, чтобы найти длину стороны $AC$:

$AC = 17 - 13\frac{3}{5}$

Для удобства вычитания представим целое число 17 в виде смешанного числа. Возьмем 1 из 17 и представим ее в виде дроби со знаменателем 5:

$17 = 16 + 1 = 16 + \frac{5}{5} = 16\frac{5}{5}$

Теперь выполним вычитание:

$AC = 16\frac{5}{5} - 13\frac{3}{5} = (16 - 13) + (\frac{5}{5} - \frac{3}{5}) = 3 + \frac{2}{5} = 3\frac{2}{5}$ см.

Ответ: $3\frac{2}{5}$ см.