Страница 215 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.77 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что для ремонта вашей классной комнаты необходимо заказать линолеум. В магазине линолеум отрезают от рулона, ширина которого 3 м. Стоимость одного квадратного метра составляет 250 р. Выполнив необходимые измерения и вычисления, определите, сколько метров линолеума необходимо заказать и какова стоимость заказа.

Для решения этой практической задачи необходимо знать точные размеры (длину и ширину) классной комнаты. Поскольку в условии они не приведены, мы должны выполнить измерения или принять стандартные размеры для расчетов. Предположим, что классная комната имеет прямоугольную форму с размерами 8 метров на 6 метров.

Определите, сколько метров линолеума необходимо заказать

Сначала найдем площадь пола классной комнаты:

$S_{комнаты} = 8 \text{ м} \times 6 \text{ м} = 48 \text{ м}^2$

Линолеум продается в рулонах шириной 3 метра. Это означает, что мы покупаем определенную длину (погонные метры) от рулона фиксированной ширины. Чтобы определить необходимое количество линолеума и минимизировать затраты, нужно рассмотреть два варианта его укладки.

Вариант 1: Укладка полос линолеума вдоль длинной стены (8 м).

При такой укладке длина каждой полосы будет равна 8 м. Ширина комнаты составляет 6 м. Чтобы покрыть всю ширину, нам понадобится:

$6 \text{ м} \div 3 \text{ м} = 2$ полосы.

Таким образом, нужно будет купить две полосы по 8 метров каждая. Общая длина линолеума, которую необходимо заказать, составит:

$2 \times 8 \text{ м} = 16 \text{ погонных метров}$.

В этом случае линолеум покрывает пол без остатка по ширине.

Вариант 2: Укладка полос линолеума вдоль короткой стены (6 м).

При такой укладке длина каждой полосы будет равна 6 м. Ширина комнаты, которую нужно покрыть, составляет 8 м. Чтобы покрыть эту ширину, нам понадобится:

$8 \text{ м} \div 3 \text{ м} \approx 2,67$

Поскольку линолеум можно отрезать только по всей ширине рулона, необходимо будет приобрести 3 полосы. Общая длина линолеума, которую необходимо заказать, составит:

$3 \times 6 \text{ м} = 18 \text{ погонных метров}$.

Этот вариант менее экономичен, так как приведет к покупке большего количества линолеума и большим отходам.

Сравнивая два варианта, делаем вывод, что первый вариант является наиболее выгодным.

Ответ: Необходимо заказать 16 метров линолеума.

Определите, какова стоимость заказа

Стоимость заказа рассчитывается исходя из общей площади купленного материала. Мы выбрали первый, наиболее экономичный вариант, согласно которому нужно купить 16 погонных метров линолеума. Ширина рулона составляет 3 метра. Найдем площадь приобретаемого линолеума:

$S_{покупки} = Длина \times Ширина = 16 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 48 \text{ м}^2$.

Стоимость одного квадратного метра линолеума по условию составляет 250 рублей. Рассчитаем общую стоимость заказа:

$Стоимость = S_{покупки} \times Цена_{за \text{ } 1 \text{ м}^2} = 48 \text{ м}^2 \times 250 \frac{\text{руб}}{\text{м}^2} = 12000 \text{ рублей}$.

Ответ: Стоимость заказа составит 12000 рублей.

9.78 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Закрашенная часть квадрата тоже квадрат (рис. 9.35). Убедитесь в этом, выполнив необходимые измерения.

Во сколько раз площадь закрашенного квадрата меньше площади большого квадрата?

Подсказка. Скопируйте рисунок на лист бумаги в клетку, вырежите квадрат и перегните прямоугольные треугольники к центру по сторонам закрашенного квадрата.

2) Площадь красного квадрата (рис. 9.36) равна 1 кв. ед. Чему равна площадь чёрного квадрата?

3) Пусть площадь чёрного квадрата (см. рис. 9.36) равна 2 кв. ед. Начертите квадрат, площадь которого равна 8 кв. ед.

Рис. 9.35 Рис. 9.36

1)

Чтобы убедиться, что закрашенная часть (рис. 9.35) является квадратом, можно измерить её стороны и углы. Измерения покажут, что все четыре стороны равны, а все углы прямые (90°), что соответствует определению квадрата.

Чтобы определить, во сколько раз площадь закрашенного квадрата меньше площади большого квадрата, можно воспользоваться подсказкой или математическим расчетом.

Визуальный способ (согласно подсказке): Большой квадрат состоит из закрашенного квадрата и четырех одинаковых прямоугольных треугольников по углам. Если вырезать эти четыре треугольника и приложить их к сторонам закрашенного квадрата (гипотенузами к сторонам), они полностью его покроют. Это означает, что суммарная площадь четырех треугольников равна площади закрашенного квадрата. Таким образом, площадь большого квадрата состоит из площади закрашенного квадрата и равной ей площади четырех треугольников.

$S_{большой} = S_{закрашенный} + S_{4 \text{ треугольников}}$

Так как $S_{4 \text{ треугольников}} = S_{закрашенный}$, то:

$S_{большой} = S_{закрашенный} + S_{закрашенный} = 2 \cdot S_{закрашенный}$

Следовательно, площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше площади большого квадрата.

Математический способ: Пусть сторона большого квадрата равна $a$. Его площадь $S_{большой} = a^2$. Вершины закрашенного квадрата находятся на серединах сторон большого квадрата, поэтому катеты четырех угловых прямоугольных треугольников равны $a/2$. Сторона закрашенного квадрата, обозначим ее $b$, является гипотенузой этих треугольников. По теореме Пифагора:

$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Площадь закрашенного квадрата равна $S_{закрашенный} = b^2 = \frac{a^2}{2}$. Найдем отношение площадей:

$\frac{S_{большой}}{S_{закрашенный}} = \frac{a^2}{a^2/2} = 2$

Этот способ также показывает, что площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше.

Ответ: Площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше площади большого квадрата.

2)

На рисунке 9.36 показана последовательность вписанных квадратов. Как мы установили в пункте 1, площадь каждого внешнего квадрата в 2 раза больше площади вписанного в него квадрата (вершины которого лежат на серединах сторон внешнего). Будем двигаться от самого внутреннего (красного) квадрата к самому внешнему (чёрному), последовательно удваивая площадь.

• Площадь красного квадрата = 1 кв. ед.
• Площадь желтого квадрата = $2 \times 1 = 2$ кв. ед.
• Площадь зеленого квадрата = $2 \times 2 = 4$ кв. ед.
• Площадь синего квадрата = $2 \times 4 = 8$ кв. ед.
• Площадь фиолетового квадрата = $2 \times 8 = 16$ кв. ед.
• Площадь чёрного квадрата = $2 \times 16 = 32$ кв. ед.

Можно также посчитать, что от красного квадрата до чёрного 5 шагов "наружу", поэтому площадь нужно умножить на 2 пять раз: $1 \cdot 2^5 = 1 \cdot 32 = 32$.

Ответ: Площадь чёрного квадрата равна 32 кв. ед.

3)

Нам дан квадрат с площадью 2 кв. ед. и нужно начертить квадрат с площадью 8 кв. ед. Мы знаем, что построение описанного квадрата (внешнего) удваивает площадь. Чтобы получить из площади 2 площадь 8, нужно удвоить ее дважды: $2 \times 2 = 4$, а затем $4 \times 2 = 8$.

Следовательно, нужно дважды выполнить операцию построения описанного квадрата.

Как начертить искомый квадрат:

Проще всего построить квадрат, зная длину его диагоналей. Пусть площадь искомого квадрата $S = 8$ кв. ед. Площадь квадрата также можно вычислить через его диагонали $d_1$ и $d_2$ (которые у квадрата равны, $d_1 = d_2 = d$) по формуле: $S = \frac{1}{2}d^2$.

$8 = \frac{1}{2}d^2$

$d^2 = 16$

$d = 4$ ед.

Таким образом, чтобы начертить квадрат площадью 8 кв. ед., нужно:

1. Начертить два взаимно перпендикулярных отрезка длиной 4 единицы каждый, так чтобы они пересекались в своих серединах.
2. Соединить концы этих отрезков.

Полученная фигура будет квадратом с диагоналями длиной 4, и его площадь будет равна 8 кв. ед.

Ответ: Нужно начертить квадрат, диагонали которого равны 4 ед.

9.79 Для приготовления яблочного компота берут 5 частей яблок, 2 части сахара и 25 частей воды. Сколько граммов сахара и сколько граммов воды надо взять, чтобы приготовить компот из 600 г яблок?

Для решения этой задачи нужно сначала определить, сколько граммов весит одна "часть" в рецепте. По условию, 5 частей яблок весят 600 г.

1. Найдем вес одной части:

$600 \text{ г} \div 5 = 120 \text{ г}$

Таким образом, одна часть любого ингредиента в этом рецепте весит 120 граммов. Теперь мы можем рассчитать массу сахара и воды.

Сколько граммов сахара надо взять

Для компота требуется 2 части сахара. Умножим вес одной части на количество частей сахара:

$120 \text{ г/часть} \times 2 \text{ части} = 240 \text{ г}$

Ответ: надо взять 240 г сахара.

Сколько граммов воды надо взять

Для компота требуется 25 частей воды. Умножим вес одной части на количество частей воды:

$120 \text{ г/часть} \times 25 \text{ частей} = 3000 \text{ г}$

Ответ: надо взять 3000 г воды.

9.80 Выразите приближённо:

а) 2390 г в килограммах;

б) 390 кг в центнерах;

в) 14 500 кг в тоннах.

а) Для того чтобы выразить 2390 граммов (г) в килограммах (кг), необходимо вспомнить, что в одном килограмме содержится 1000 граммов.
Математически это соотношение выглядит так: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Чтобы перевести граммы в килограммы, нужно разделить количество граммов на 1000:
$2390 \text{ г} = \frac{2390}{1000} \text{ кг} = 2.39 \text{ кг}$.
Поскольку в задании требуется дать приближенный ответ, округлим полученное значение до десятых. Цифра в разряде сотых равна 9, поэтому округляем в большую сторону.
$2.39 \text{ кг} \approx 2.4 \text{ кг}$.
Ответ: $\approx 2.4$ кг.

б) Для того чтобы выразить 390 килограммов (кг) в центнерах (ц), нужно знать, что в одном центнере содержится 100 килограммов.
Соотношение единиц: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
Чтобы перевести килограммы в центнеры, разделим количество килограммов на 100:
$390 \text{ кг} = \frac{390}{100} \text{ ц} = 3.9 \text{ ц}$.
Для получения приближенного значения, округлим результат до целого числа. Так как первая цифра после запятой 9, округляем в большую сторону.
$3.9 \text{ ц} \approx 4 \text{ ц}$.
Ответ: $\approx 4$ ц.

в) Для того чтобы выразить 14 500 килограммов (кг) в тоннах (т), необходимо использовать соотношение, что в одной тонне содержится 1000 килограммов.
Соотношение единиц: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
Чтобы перевести килограммы в тонны, разделим количество килограммов на 1000:
$14500 \text{ кг} = \frac{14500}{1000} \text{ т} = 14.5 \text{ т}$.
Для получения приближенного значения, округлим результат до целого числа. По математическим правилам округления, если первая цифра после запятой равна 5, то округление производится в большую сторону.
$14.5 \text{ т} \approx 15 \text{ т}$.
Ответ: $\approx 15$ т.

9.81 Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых (используйте степени с основанием 10):

а) 36 415;

б) 2 608 143.

а) Чтобы представить число 36 415 в виде суммы разрядных слагаемых, необходимо определить значение каждого разряда. Число состоит из 3 десятков тысяч, 6 тысяч, 4 сотен, 1 десятка и 5 единиц.
Запишем это в виде суммы:
$36 415 = 30 000 + 6 000 + 400 + 10 + 5$
Теперь представим каждое слагаемое как произведение цифры на степень числа 10:
$30 000 = 3 \cdot 10 000 = 3 \cdot 10^4$
$6 000 = 6 \cdot 1 000 = 6 \cdot 10^3$
$400 = 4 \cdot 100 = 4 \cdot 10^2$
$10 = 1 \cdot 10 = 1 \cdot 10^1$
$5 = 5 \cdot 1 = 5 \cdot 10^0$
Сложив все вместе, получаем итоговое выражение:
$36 415 = 3 \cdot 10^4 + 6 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$
Ответ: $36 415 = 3 \cdot 10^4 + 6 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$.

б) Чтобы представить число 2 608 143 в виде суммы разрядных слагаемых, разложим его по разрядам. Число состоит из 2 миллионов, 6 сотен тысяч, 0 десятков тысяч, 8 тысяч, 1 сотни, 4 десятков и 3 единиц.
Запишем это в виде суммы:
$2 608 143 = 2 000 000 + 600 000 + 0 + 8 000 + 100 + 40 + 3$
Теперь представим каждое ненулевое слагаемое как произведение цифры на степень числа 10:
$2 000 000 = 2 \cdot 1 000 000 = 2 \cdot 10^6$
$600 000 = 6 \cdot 100 000 = 6 \cdot 10^5$
$8 000 = 8 \cdot 1 000 = 8 \cdot 10^3$
$100 = 1 \cdot 100 = 1 \cdot 10^2$
$40 = 4 \cdot 10 = 4 \cdot 10^1$
$3 = 3 \cdot 1 = 3 \cdot 10^0$
Разряд десятков тысяч равен нулю, поэтому слагаемое $0 \cdot 10^4$ можно опустить. Сложив все вместе, получаем итоговое выражение:
$2 608 143 = 2 \cdot 10^6 + 6 \cdot 10^5 + 8 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$
Ответ: $2 608 143 = 2 \cdot 10^6 + 6 \cdot 10^5 + 8 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$.

9.82 Периметр прямоугольника равен 50 см. Найдите длины сторон этого прямоугольника, если известно, что они выражаются числами, кратными 5.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.

По условию задачи, периметр равен 50 см. Подставим это значение в формулу:
$50 = 2(a + b)$

Найдем сумму длин смежных сторон (полупериметр), разделив обе части уравнения на 2:
$a + b = \frac{50}{2}$
$a + b = 25$ см.

Также по условию известно, что длины сторон $a$ и $b$ выражаются числами, кратными 5. Это означает, что $a$ и $b$ должны быть положительными числами из ряда: 5, 10, 15, 20, 25, ...

Нам нужно найти такие пары чисел, кратных 5, которые в сумме дают 25. Будем перебирать возможные значения для стороны $a$:
1. Если $a = 5$ см, то $b = 25 - 5 = 20$ см. Оба числа (5 и 20) кратны 5, значит, эта пара сторон является решением.
2. Если $a = 10$ см, то $b = 25 - 10 = 15$ см. Оба числа (10 и 15) кратны 5, значит, эта пара сторон также является решением.
3. Если $a = 15$ см, то $b = 25 - 15 = 10$ см. Это та же пара сторон, что и в предыдущем пункте.
4. Если $a = 20$ см, то $b = 25 - 20 = 5$ см. Это та же пара сторон, что и в первом пункте.

Таким образом, существуют два возможных набора длин сторон для данного прямоугольника.
Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 5 см и 20 см, или 10 см и 15 см.