Номер 9.78, страница 215 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 9. Треугольники и четырёхугольники. 9.4. Площадь прямоугольника. Упражнения - номер 9.78, страница 215.

Условие.

9.78 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Закрашенная часть квадрата тоже квадрат (рис. 9.35). Убедитесь в этом, выполнив необходимые измерения.

Во сколько раз площадь закрашенного квадрата меньше площади большого квадрата?

Подсказка. Скопируйте рисунок на лист бумаги в клетку, вырежите квадрат и перегните прямоугольные треугольники к центру по сторонам закрашенного квадрата.

2) Площадь красного квадрата (рис. 9.36) равна 1 кв. ед. Чему равна площадь чёрного квадрата?

3) Пусть площадь чёрного квадрата (см. рис. 9.36) равна 2 кв. ед. Начертите квадрат, площадь которого равна 8 кв. ед.

Рис. 9.35 Рис. 9.36

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Чтобы убедиться, что закрашенная часть (рис. 9.35) является квадратом, можно измерить её стороны и углы. Измерения покажут, что все четыре стороны равны, а все углы прямые (90°), что соответствует определению квадрата.

Чтобы определить, во сколько раз площадь закрашенного квадрата меньше площади большого квадрата, можно воспользоваться подсказкой или математическим расчетом.

Визуальный способ (согласно подсказке): Большой квадрат состоит из закрашенного квадрата и четырех одинаковых прямоугольных треугольников по углам. Если вырезать эти четыре треугольника и приложить их к сторонам закрашенного квадрата (гипотенузами к сторонам), они полностью его покроют. Это означает, что суммарная площадь четырех треугольников равна площади закрашенного квадрата. Таким образом, площадь большого квадрата состоит из площади закрашенного квадрата и равной ей площади четырех треугольников.

$S_{большой} = S_{закрашенный} + S_{4 \text{ треугольников}}$

Так как $S_{4 \text{ треугольников}} = S_{закрашенный}$, то:

$S_{большой} = S_{закрашенный} + S_{закрашенный} = 2 \cdot S_{закрашенный}$

Следовательно, площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше площади большого квадрата.

Математический способ: Пусть сторона большого квадрата равна $a$. Его площадь $S_{большой} = a^2$. Вершины закрашенного квадрата находятся на серединах сторон большого квадрата, поэтому катеты четырех угловых прямоугольных треугольников равны $a/2$. Сторона закрашенного квадрата, обозначим ее $b$, является гипотенузой этих треугольников. По теореме Пифагора:

$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Площадь закрашенного квадрата равна $S_{закрашенный} = b^2 = \frac{a^2}{2}$. Найдем отношение площадей:

$\frac{S_{большой}}{S_{закрашенный}} = \frac{a^2}{a^2/2} = 2$

Этот способ также показывает, что площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше.

Ответ: Площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше площади большого квадрата.

2)

На рисунке 9.36 показана последовательность вписанных квадратов. Как мы установили в пункте 1, площадь каждого внешнего квадрата в 2 раза больше площади вписанного в него квадрата (вершины которого лежат на серединах сторон внешнего). Будем двигаться от самого внутреннего (красного) квадрата к самому внешнему (чёрному), последовательно удваивая площадь.

• Площадь красного квадрата = 1 кв. ед.
• Площадь желтого квадрата = $2 \times 1 = 2$ кв. ед.
• Площадь зеленого квадрата = $2 \times 2 = 4$ кв. ед.
• Площадь синего квадрата = $2 \times 4 = 8$ кв. ед.
• Площадь фиолетового квадрата = $2 \times 8 = 16$ кв. ед.
• Площадь чёрного квадрата = $2 \times 16 = 32$ кв. ед.

Можно также посчитать, что от красного квадрата до чёрного 5 шагов "наружу", поэтому площадь нужно умножить на 2 пять раз: $1 \cdot 2^5 = 1 \cdot 32 = 32$.

Ответ: Площадь чёрного квадрата равна 32 кв. ед.

3)

Нам дан квадрат с площадью 2 кв. ед. и нужно начертить квадрат с площадью 8 кв. ед. Мы знаем, что построение описанного квадрата (внешнего) удваивает площадь. Чтобы получить из площади 2 площадь 8, нужно удвоить ее дважды: $2 \times 2 = 4$, а затем $4 \times 2 = 8$.

Следовательно, нужно дважды выполнить операцию построения описанного квадрата.

Как начертить искомый квадрат:

Проще всего построить квадрат, зная длину его диагоналей. Пусть площадь искомого квадрата $S = 8$ кв. ед. Площадь квадрата также можно вычислить через его диагонали $d_1$ и $d_2$ (которые у квадрата равны, $d_1 = d_2 = d$) по формуле: $S = \frac{1}{2}d^2$.

$8 = \frac{1}{2}d^2$

$d^2 = 16$

$d = 4$ ед.

Таким образом, чтобы начертить квадрат площадью 8 кв. ед., нужно:

1. Начертить два взаимно перпендикулярных отрезка длиной 4 единицы каждый, так чтобы они пересекались в своих серединах.
2. Соединить концы этих отрезков.

Полученная фигура будет квадратом с диагоналями длиной 4, и его площадь будет равна 8 кв. ед.

Ответ: Нужно начертить квадрат, диагонали которого равны 4 ед.