Номер 9.78, страница 215 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Авторы: Дорофеев Г. В., Шарыгин И. Ф., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, оранжевый с диаграммами
ISBN: 978-5-09-105800-0
Популярные ГДЗ в 5 классе
Упражнения. 9.4. Площадь прямоугольника. Глава 9. Треугольники и четырёхугольники - номер 9.78, страница 215.
№9.78 (с. 215)
Условие. №9.78 (с. 215)
скриншот условия


9.78 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ
1) Закрашенная часть квадрата тоже квадрат (рис. 9.35). Убедитесь в этом, выполнив необходимые измерения.
Во сколько раз площадь закрашенного квадрата меньше площади большого квадрата?
Подсказка. Скопируйте рисунок на лист бумаги в клетку, вырежите квадрат и перегните прямоугольные треугольники к центру по сторонам закрашенного квадрата.
2) Площадь красного квадрата (рис. 9.36) равна 1 кв. ед. Чему равна площадь чёрного квадрата?
3) Пусть площадь чёрного квадрата (см. рис. 9.36) равна 2 кв. ед. Начертите квадрат, площадь которого равна 8 кв. ед.
Рис. 9.35 Рис. 9.36
Решение 2. №9.78 (с. 215)



Решение 3. №9.78 (с. 215)

Решение 4. №9.78 (с. 215)

Решение 5. №9.78 (с. 215)

Решение 6. №9.78 (с. 215)
1)
Чтобы убедиться, что закрашенная часть (рис. 9.35) является квадратом, можно измерить её стороны и углы. Измерения покажут, что все четыре стороны равны, а все углы прямые (90°), что соответствует определению квадрата.
Чтобы определить, во сколько раз площадь закрашенного квадрата меньше площади большого квадрата, можно воспользоваться подсказкой или математическим расчетом.
Визуальный способ (согласно подсказке): Большой квадрат состоит из закрашенного квадрата и четырех одинаковых прямоугольных треугольников по углам. Если вырезать эти четыре треугольника и приложить их к сторонам закрашенного квадрата (гипотенузами к сторонам), они полностью его покроют. Это означает, что суммарная площадь четырех треугольников равна площади закрашенного квадрата. Таким образом, площадь большого квадрата состоит из площади закрашенного квадрата и равной ей площади четырех треугольников.
$S_{большой} = S_{закрашенный} + S_{4 \text{ треугольников}}$
Так как $S_{4 \text{ треугольников}} = S_{закрашенный}$, то:
$S_{большой} = S_{закрашенный} + S_{закрашенный} = 2 \cdot S_{закрашенный}$
Следовательно, площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше площади большого квадрата.
Математический способ: Пусть сторона большого квадрата равна $a$. Его площадь $S_{большой} = a^2$. Вершины закрашенного квадрата находятся на серединах сторон большого квадрата, поэтому катеты четырех угловых прямоугольных треугольников равны $a/2$. Сторона закрашенного квадрата, обозначим ее $b$, является гипотенузой этих треугольников. По теореме Пифагора:
$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
Площадь закрашенного квадрата равна $S_{закрашенный} = b^2 = \frac{a^2}{2}$. Найдем отношение площадей:
$\frac{S_{большой}}{S_{закрашенный}} = \frac{a^2}{a^2/2} = 2$
Этот способ также показывает, что площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше.
Ответ: Площадь закрашенного квадрата в 2 раза меньше площади большого квадрата.
2)
На рисунке 9.36 показана последовательность вписанных квадратов. Как мы установили в пункте 1, площадь каждого внешнего квадрата в 2 раза больше площади вписанного в него квадрата (вершины которого лежат на серединах сторон внешнего). Будем двигаться от самого внутреннего (красного) квадрата к самому внешнему (чёрному), последовательно удваивая площадь.
- Площадь красного квадрата = 1 кв. ед.
- Площадь желтого квадрата = $2 \times 1 = 2$ кв. ед.
- Площадь зеленого квадрата = $2 \times 2 = 4$ кв. ед.
- Площадь синего квадрата = $2 \times 4 = 8$ кв. ед.
- Площадь фиолетового квадрата = $2 \times 8 = 16$ кв. ед.
- Площадь чёрного квадрата = $2 \times 16 = 32$ кв. ед.
Можно также посчитать, что от красного квадрата до чёрного 5 шагов "наружу", поэтому площадь нужно умножить на 2 пять раз: $1 \cdot 2^5 = 1 \cdot 32 = 32$.
Ответ: Площадь чёрного квадрата равна 32 кв. ед.
3)
Нам дан квадрат с площадью 2 кв. ед. и нужно начертить квадрат с площадью 8 кв. ед. Мы знаем, что построение описанного квадрата (внешнего) удваивает площадь. Чтобы получить из площади 2 площадь 8, нужно удвоить ее дважды: $2 \times 2 = 4$, а затем $4 \times 2 = 8$.
Следовательно, нужно дважды выполнить операцию построения описанного квадрата.
Как начертить искомый квадрат:
Проще всего построить квадрат, зная длину его диагоналей. Пусть площадь искомого квадрата $S = 8$ кв. ед. Площадь квадрата также можно вычислить через его диагонали $d_1$ и $d_2$ (которые у квадрата равны, $d_1 = d_2 = d$) по формуле: $S = \frac{1}{2}d^2$.
$8 = \frac{1}{2}d^2$
$d^2 = 16$
$d = 4$ ед.
Таким образом, чтобы начертить квадрат площадью 8 кв. ед., нужно:
- Начертить два взаимно перпендикулярных отрезка длиной 4 единицы каждый, так чтобы они пересекались в своих серединах.
- Соединить концы этих отрезков.
Полученная фигура будет квадратом с диагоналями длиной 4, и его площадь будет равна 8 кв. ед.
Ответ: Нужно начертить квадрат, диагонали которого равны 4 ед.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 5 класс, для упражнения номер 9.78 расположенного на странице 215 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №9.78 (с. 215), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Шарыгин (Игорь Фёдорович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.