Страница 207 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.41 1) Вырежите из бумаги четыре треугольника, равные треугольнику, изображённому на рисунке 9.22 (это равносторонний треугольник со стороной $3 \text{ см}$). Сложите из них:
а) треугольник;
б) четырёхугольник.

2) Вырежите из бумаги четыре равных квадрата со стороной $3 \text{ см}$. Сложите из них:
а) квадрат;
б) прямоугольник.

3) Из имеющихся у вас четырёх треугольников и четырёх квадратов сложите многоугольник, как показано на рисунке 9.23.

Рис. 9.22

Рис. 9.23

1)

а) треугольник

Чтобы из четырёх равных равносторонних треугольников сложить один большой треугольник, нужно расположить три из них в ряд так, чтобы их основания лежали на одной прямой, а ориентация чередовалась (вершиной вверх, вершиной вниз, вершиной вверх). Это образует трапецию. Четвёртый треугольник нужно поместить в центральное пустое место (вершиной вниз). В результате получится новый, больший равносторонний треугольник. Его сторона будет равна сумме сторон двух маленьких треугольников: $3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: Можно сложить равносторонний треугольник со стороной $6$ см.

б) четырёхугольник

Чтобы сложить четырёхугольник, можно, например, составить параллелограмм. Сначала из двух треугольников составляется ромб, приложив их друг к другу по одной из сторон. Из оставшихся двух треугольников составляется второй такой же ромб. Если приложить эти два ромба друг к другу по стороне, получится параллелограмм со сторонами $3$ см и $6$ см.

Ответ: Можно сложить параллелограмм.

2)

а) квадрат

Чтобы из четырёх равных квадратов со стороной $3$ см сложить один большой квадрат, их нужно расположить в виде сетки $2 \times 2$. Два квадрата располагаются рядом, и под ними — ещё два квадрата. В результате получается новый квадрат, сторона которого равна сумме сторон двух исходных квадратов: $3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: Можно сложить квадрат со стороной $6$ см.

б) прямоугольник

Чтобы сложить прямоугольник, не являющийся квадратом, нужно расположить все четыре квадрата в один ряд, прикладывая их друг к другу сторонами. В результате получится длинный прямоугольник, длина которого равна сумме сторон четырёх квадратов ($4 \times 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$), а ширина равна стороне одного квадрата ($3$ см).

Ответ: Можно сложить прямоугольник размером $12 \text{ см} \times 3 \text{ см}$.

3)

Для того чтобы сложить многоугольник, как на рисунке 9.23, необходимо выполнить следующие действия:
1. Взять два равносторонних треугольника и соединить их по одной стороне так, чтобы получился ромб. Это будет центральная часть фигуры.
2. Взять четыре квадрата и приложить по одному квадрату к каждой из четырёх сторон этого ромба.
3. Взять оставшиеся два треугольника. Один треугольник приложить к внешним сторонам двух верхних квадратов, соединяя их. Второй треугольник аналогично приложить к внешним сторонам двух нижних квадратов (вершиной вниз).
В результате получится многоугольник, в точности повторяющий фигуру на рисунке 9.23.

Ответ: Многоугольник, показанный на рисунке, можно сложить, следуя приведённому описанию.

9.42 a) Обведите четыре клеточки тетрадного листа так, чтобы получился многоугольник. Сколько различных многоугольников можно нарисовать таким способом?

б) Из двух равных «уголков» (рис. 9.24) можно составить разные фигуры. Нарисуйте их в тетради. Может ли среди этих фигур быть прямоугольник?

Рис. 9.24

а) Чтобы обвести четыре клеточки и получить многоугольник, нужно, чтобы клеточки соприкасались сторонами. Такие фигуры, состоящие из четырех квадратов, называются «тетрамино». Различными считаются фигуры, которые нельзя совместить друг с другом путем поворотов и зеркальных отражений. Существует 5 таких уникальных фигур:

Таким образом, существует 5 различных многоугольников, которые можно нарисовать таким способом.

Ответ: 5.

б) «Уголок» на рисунке 9.24 — это фигура из трех клеточек (тримино L-образной формы). Если взять две такие одинаковые фигуры, то общая площадь составленной фигуры будет $3 + 3 = 6$ клеточек. Из двух таких «уголков» можно сложить много разных фигур. Вот несколько примеров:

На вопрос, может ли среди этих фигур быть прямоугольник, ответ — да. Как показано на первом рисунке выше, из двух «уголков» можно составить прямоугольник размером $3 \times 2$ клетки.

Ответ: Да, может.

9.43 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Если утверждение неверно, опровергните его, сделав чертёж.

а) Два прямоугольника равны, если у них есть по одной паре равных сторон.

б) Два треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника.

а) Два прямоугольника равны, если у них есть по одной паре равных сторон.

Утверждение неверно.

Два прямоугольника считаются равными (конгруэнтными) тогда и только тогда, когда их соответствующие длина и ширина равны. Если у двух прямоугольников равна только одна сторона (например, длина), а вторая (ширина) — нет, то такие прямоугольники не будут равны, так как их невозможно совместить наложением.

Пример-опровержение:

Рассмотрим два прямоугольника. Первый прямоугольник $P_1$ имеет стороны длиной $5$ см и $3$ см. Второй прямоугольник $P_2$ имеет стороны длиной $5$ см и $4$ см. У них есть одна пара равных сторон ($5$ см = $5$ см), но вторые стороны не равны ($3$ см $\neq$ $4$ см). Следовательно, прямоугольники $P_1$ и $P_2$ не равны.

Чертёж:

Ответ: неверно.

б) Два треугольника равны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника.

Утверждение неверно.

Равенство двух пар сторон не является достаточным условием для равенства треугольников. Это не соответствует ни одному из признаков равенства треугольников. Согласно второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), для равенства треугольников необходимо, чтобы две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника были соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Если углы между соответствующими равными сторонами не равны, то и треугольники не будут равны.

Пример-опровержение:

Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. Пусть у них $AB = A'B' = 5$ см и $AC = A'C' = 4$ см. Однако, угол между этими сторонами в первом треугольнике $\angle A$ — острый, а во втором $\angle A'$ — тупой. Так как углы между равными сторонами не равны, то и сами треугольники не равны.

Чертёж:

На чертеже видно, что треугольники имеют по две равные стороны, но их формы различны, а значит, они не равны.

Ответ: неверно.

9.44 Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения. Перечислите все получившиеся треугольники. Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения.

Начертим прямоугольник и обозначим его вершины буквами A, B, C, D. Проведем диагонали $AC$ и $BD$. Точку их пересечения обозначим буквой $O$.

Перечислите все получившиеся треугольники.

В результате построения на чертеже можно выделить 8 треугольников: четыре треугольника, образованных пересечением диагоналей ($\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$), и четыре прямоугольных треугольника, образованных сторонами и диагональю ($\triangle ABC, \triangle ADC, \triangle DAB, \triangle BCD$).
Ответ: Всего 8 треугольников: $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA, \triangle ABC, \triangle ADC, \triangle DAB, \triangle BCD$.

Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Да, среди этих треугольников есть равные. Их равенство следует из свойств прямоугольника: противоположные стороны равны ($AB = CD$, $BC = AD$), а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам ($AC = BD$, $AO = OC = BO = OD$).
Можно выделить три группы равных треугольников:
1. Треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны по трем сторонам ($AO=CO$, $BO=DO$, $AB=CD$).
2. Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ также равны по трем сторонам ($BO=DO$, $CO=AO$, $BC=DA$).
3. Все четыре больших прямоугольных треугольника равны между собой: $\triangle ABC = \triangle BCD = \triangle CDA = \triangle DAB$. Их равенство можно доказать, например, по трем сторонам. Сравним $\triangle ABC$ и $\triangle DAB$: сторона $AB$ у них общая, стороны $BC = AD$ (как противоположные стороны прямоугольника) и диагонали $AC = BD$ (как диагонали прямоугольника).
Ответ: Да, есть. Группы равных треугольников: 1) $\triangle AOB = \triangle COD$; 2) $\triangle BOC = \triangle DOA$; 3) $\triangle ABC = \triangle BCD = \triangle CDA = \triangle DAB$.

9.45 Круг составлен из четырёх равных элементов (рис. 9.25). Нарисуйте этот элемент в тетради.

Рис. 9.25

Для того чтобы нарисовать один из четырёх равных элементов, из которых составлен круг, необходимо понять его геометрическое строение и выполнить последовательность построений с помощью циркуля и линейки. Каждый такой элемент представляет собой фигуру, ограниченную тремя дугами окружностей.

На исходном рисунке круг вписан в квадрат размером 6x6 клеток, это означает, что его радиус $R$ составляет 3 клетки. При построении в тетради для наглядности можно выбрать радиус, равный, например, 3 см (6 клеток).

Построение элемента можно выполнить по шагам:

1. Начертите две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $O$. Эта точка будет соответствовать центру большого круга, а прямые — осями, на которых лежат радиусы, разделяющие элементы.

2. На этих прямых отложите от центра $O$ два отрезка $OA$ и $OB$ длиной, равной выбранному радиусу $R$ (например, 3 см). В результате получится прямой угол $AOB$, который образует сектор, составляющий четверть круга.

3. Установите ножку циркуля в точку $O$ и проведите дугу радиусом $R$ от точки $A$ до точки $B$. Эта дуга является внешней границей искомого элемента.

4. Теперь необходимо построить две внутренние границы. Для этого найдите середину радиуса $OA$ и отметьте её как точку $M$. Аналогично, найдите середину радиуса $OB$ и отметьте её как точку $N$.

5. Установите ножку циркуля в точку $M$ и проведите полуокружность радиусом $R/2$ (то есть 1,5 см), которая соединит точки $A$ и $O$.

6. Аналогично, установите ножку циркуля в точку $N$ и проведите полуокружность радиусом $R/2$ (1,5 см), которая соединит точки $O$ и $B$.

Фигура, которая заключена между большой дугой $AB$ и двумя малыми полуокружностями, проходящими через точки $A, O$ и $O, B$, и является искомым элементом. Все четыре элемента на рисунке 9.25 абсолютно одинаковы и могут быть получены друг из друга поворотом на 90 градусов вокруг центра $O$.

Ответ: Искомый элемент — это криволинейная фигура, ограниченная с внешней стороны дугой окружности радиуса $R$, а с двух внутренних сторон — двумя полуокружностями радиуса $R/2$. Для его построения следует начертить сектор круга с углом 90° и радиусом $R$, а затем на его радиусах как на диаметрах построить две полуокружности, обращенные внутрь сектора.

9.46 Начертите круг и, проведя радиусы, разрежьте его:

а) на 3 равные части;

б) на 6 равных частей. Укажите величину угла между радиусами.

а) Чтобы разрезать круг на 3 равные части, необходимо провести 3 радиуса из центра. Полный угол в центре круга составляет $360^\circ$. Величина угла между двумя соседними радиусами будет равна частному от деления полного угла на количество частей:
$360^\circ \div 3 = 120^\circ$.
Ответ: $120^\circ$.

б) Аналогично, чтобы разрезать круг на 6 равных частей, необходимо провести 6 радиусов. Величина угла между двумя соседними радиусами будет равна:
$360^\circ \div 6 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

НАБЛЮДАЕМ И ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ (9.47–9.48)

9.47 Возьмите квадрат и проведите его диагонали. Разрежьте квадрат по диагоналям. Какие фигуры вы получили? Равны ли они? Сложите из частей квадрата следующие фигуры и нарисуйте их: а) два квадрата; б) прямоугольник; в) треугольник; г) четырёхугольник, не являющийся прямоугольником; д) шестиугольник.

При разрезании квадрата по его двум диагоналям мы получаем четыре треугольника. Чтобы определить их свойства, вспомним свойства диагоналей квадрата: они равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Это означает, что каждый из четырёх полученных треугольников является:

• Прямоугольным, так как диагонали пересекаются под прямым углом ($90^\circ$), который становится одним из углов каждого треугольника.
• Равнобедренным, так как две его стороны являются половинами диагоналей, а половины диагоналей равны между собой.

Все четыре треугольника равны друг другу по двум катетам (так как все они равны половине диагонали квадрата).

Ответ: Получились четыре равных (одинаковых) прямоугольных равнобедренных треугольника.

Из этих четырёх одинаковых треугольников можно сложить различные фигуры. Ниже представлены возможные варианты с рисунками. На рисунках каждый из четырёх исходных треугольников окрашен в свой цвет для наглядности.

а) два квадрата

Чтобы получить один квадрат, необходимо взять два треугольника и соединить их по самым длинным сторонам (гипотенузам). Так как у нас есть четыре треугольника, мы можем составить две такие пары, получив два одинаковых квадрата.

Ответ: Два квадрата можно получить, сложив попарно четыре треугольника по их гипотенузам.

б) прямоугольник

Если взять два квадрата, полученных в предыдущем пункте, и приставить их друг к другу вплотную, получится прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник можно получить, приставив друг к другу два квадрата из пункта а).

в) треугольник

Чтобы сложить один большой треугольник, можно сначала составить квадрат из двух частей (соединив их по гипотенузам). Затем к двум смежным (соседним) сторонам этого квадрата нужно приложить по одному из оставшихся треугольников. Прикладывать нужно равными сторонами: катет треугольника к стороне квадрата.

Ответ: Большой треугольник можно получить, составив из двух частей квадрат, а к двум его смежным сторонам приложив два оставшихся треугольника.

г) четырёхугольник, не являющийся прямоугольником

Таким четырёхугольником может быть, например, параллелограмм или трапеция. Параллелограмм легко получить, соединив два треугольника по одному из их равных катетов. Чтобы использовать все четыре части, можно составить два таких параллелограмма и соединить их.

Ответ: Параллелограмм можно получить, соединив два треугольника по катету. На рисунке показан параллелограмм из двух частей (можно составить больший из четырех).

д) шестиугольник

Для получения шестиугольника можно сначала сложить прямоугольник из всех четырех частей, как в пункте б). Затем мысленно "отсоединить" один из крайних треугольников и "присоединить" его к длинной стороне прямоугольника снизу. Получится невыпуклый шестиугольник (то есть с углом, направленным внутрь).

Ответ: Шестиугольник можно получить, изменив положение одного из треугольников в фигуре "прямоугольник".