Страница 203 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.29 Ищем способ подсчёта Сколько прямоугольников вы видите на рисунке 9.13?

Рис. 9.13

Для того чтобы посчитать все прямоугольники на рисунке, необходимо найти все возможные комбинации, образующие прямоугольник. Удобнее всего сгруппировать их по размеру.

• Прямоугольники из одной ячейки (размером 1×1):

  На рисунке 4 таких прямоугольника — это четыре маленьких квадрата, из которых состоит вся фигура.

• Прямоугольники из двух ячеек:

  Такие прямоугольники могут быть горизонтальными (размером 1×2) и вертикальными (размером 2×1).

  • Горизонтальные (1×2): 2 прямоугольника (один в верхнем ряду, один в нижнем).
  • Вертикальные (2×1): 2 прямоугольника (один в левом столбце, один в правом).

  Всего прямоугольников из двух ячеек: $2 + 2 = 4$.

• Прямоугольники из четырех ячеек (размером 2×2):

  Это самый большой квадрат, который образует всю фигуру. Он всего 1.

Теперь, чтобы найти общее количество, сложим количество прямоугольников всех найденных типов:

$4 \text{ (размером 1×1)} + 4 \text{ (из двух ячеек)} + 1 \text{ (размером 2×2)} = 9$

Таким образом, на рисунке можно увидеть 9 прямоугольников.

Ответ: 9

9.30 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Для строительства спортивного городка выделили территорию в форме прямоугольника со сторонами 120 м и 130 м. На ней необходимо разместить футбольное поле, волейбольную и баскетбольную площадки, теннисный корт. Размеры площадок (в метрах) даны в таблице. Расстояние от внешней ограды городка до площадок и между площадками должно быть не менее 10 м.

Рис. 9.13

Представьте, что вам поручено начертить план спортивного городка. Начертите план в тетради, приняв сторону клетки тетради за 10 м.

Площадка Длина, м Ширина, м

Футбольное поле 100 70

Баскетбольная 28 15

Волейбольная 18 9

Теннисный корт 40 20

Для решения задачи по планированию спортивного городка необходимо сперва проанализировать размеры всех объектов, общие размеры территории (120 м × 130 м), а также обязательные отступы — не менее 10 м от внешней ограды и не менее 10 м между площадками. Примем масштаб, указанный в задании: сторона одной клетки тетради равна 10 м. Таким образом, вся территория на плане займет прямоугольник размером 12 × 13 клеток.

Требование отступа в 10 м от ограды означает, что все объекты должны располагаться внутри "рабочей зоны" размером $(130 \text{ м} - 2 \cdot 10 \text{ м}) \times (120 \text{ м} - 2 \cdot 10 \text{ м}) = 110 \text{ м} \times 100 \text{ м}$. На плане эта зона будет иметь размер 11 × 10 клеток, и она будет отстоять от краев большого прямоугольника на 1 клетку со всех сторон.

Предлагается следующий вариант размещения, удовлетворяющий всем условиям. Сначала размещаем самый большой объект — футбольное поле — в этой рабочей зоне.

Футбольное поле (100 м × 70 м, или 10 × 7 клеток) размещаем в нижней части рабочей зоны. Его длинная сторона (100 м) располагается вдоль длинной стороны рабочей зоны (110 м). Над футбольным полем, с учетом обязательного зазора в 10 м (1 клетка), остается свободная горизонтальная полоса для остальных объектов. Размеры этой полосы: $110 \text{ м}$ в длину и $(100 \text{ м} - 70 \text{ м} - 10 \text{ м}) = 20 \text{ м}$ в ширину. На плане это область размером 11 × 2 клетки.

В этой полосе размещаем остальные площадки последовательно слева направо, соблюдая зазоры в 10 м:

1. Теннисный корт (40 м × 20 м). Его ширина (20 м) как раз совпадает с шириной (высотой) оставшейся полосы.

2. Справа от него, с зазором в 10 м, располагаем баскетбольную площадку (28 м × 15 м). Ее ширина (15 м) меньше ширины полосы.

3. Еще правее, с зазором в 10 м, располагаем волейбольную площадку (18 м × 9 м). Ее ширина (9 м) также меньше ширины полосы.

Проверим общую длину, которую занимают эти три площадки с зазорами: $40 \text{ м} + 10 \text{ м} + 28 \text{ м} + 10 \text{ м} + 18 \text{ м} = 106 \text{ м}$. Эта длина меньше доступных 110 м, следовательно, данный план является корректным, и все условия по отступам соблюдены.

Ответ: Для того чтобы начертить план в тетради (масштаб 1 клетка = 10 м), необходимо выполнить следующие действия:
1. Начертите внешний прямоугольник размером 13 × 12 клеток (общие границы городка).
2. Внутри него, отступив по 1 клетке от каждого края, будет находиться рабочая зона 11 × 10 клеток. В этой зоне разместите объекты.
3. Начертите прямоугольник 10 × 7 клеток (футбольное поле), прижав его к нижней границе рабочей зоны (например, выровняв по левому краю).
4. Над футбольным полем, отступив 1 клетку вверх, в оставшейся полосе размером 11 × 2 клетки начертите слева направо:
- Прямоугольник 4 × 2 клетки (теннисный корт).
- Отступив от него 1 клетку вправо, начертите прямоугольник 2.8 × 1.5 клетки (баскетбольная площадка).
- Отступив от баскетбольной площадки 1 клетку вправо, начертите прямоугольник 1.8 × 0.9 клетки (волейбольная площадка).

9.31 НАБЛЮДАЕМ На рисунке 9.14 изображены различные четырёхугольники. Назовите те из них, у которых диагонали:

а) равны;

б) в точке пересечения делятся пополам;

в) равны и в точке пересечения делятся пополам;

г) пересекаются под прямым углом;

д) равны и пересекаются под прямым углом;

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом;

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом.

Рис. 9.14

Для решения задачи проанализируем свойства диагоналей каждого из представленных на рисунке четырехугольников, опираясь на их геометрические определения.

а) равны
Диагонали имеют одинаковую длину у прямоугольника (по свойству), у квадрата (так как он является частным случаем прямоугольника) и у равнобедренной трапеции (как изображено на рисунке).
Ответ: прямоугольник, квадрат, трапеция.

б) в точке пересечения делятся пополам
Это основное свойство диагоналей любого параллелограмма. К параллелограммам относятся прямоугольник, квадрат, ромб и сам параллелограмм.
Ответ: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб.

в) равны и в точке пересечения делятся пополам
Этому условию удовлетворяют фигуры, обладающие свойствами из пунктов а) и б) одновременно. Из всех параллелограммов равные диагонали имеют только прямоугольник и квадрат.
Ответ: прямоугольник, квадрат.

г) пересекаются под прямым углом
Диагонали перпендикулярны (угол между ними $90^\circ$) у ромба (по свойству) и у квадрата (так как он является частным случаем ромба).
Ответ: квадрат, ромб.

д) равны и пересекаются под прямым углом
Этому условию удовлетворяют фигуры, обладающие свойствами из пунктов а) и г) одновременно. Из фигур с перпендикулярными диагоналями (ромб и квадрат) равные диагонали имеет только квадрат.
Ответ: квадрат.

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом
Этому условию удовлетворяют фигуры, обладающие свойствами из пунктов б) и г) одновременно. Это ромб и квадрат.
Ответ: квадрат, ромб.

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом
Всеми тремя свойствами одновременно (свойства из пунктов а, б, г) обладают только диагонали квадрата. Он является одновременно прямоугольником (диагонали равны) и ромбом (диагонали перпендикулярны), а также параллелограммом (диагонали делятся пополам).
Ответ: квадрат.