Номер 9.31, страница 203 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 9.2. Прямоугольники. Глава 9. Треугольники и четырёхугольники - номер 9.31, страница 203.

9.31 НАБЛЮДАЕМ На рисунке 9.14 изображены различные четырёхугольники. Назовите те из них, у которых диагонали:

а) равны;

б) в точке пересечения делятся пополам;

в) равны и в точке пересечения делятся пополам;

г) пересекаются под прямым углом;

д) равны и пересекаются под прямым углом;

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом;

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом.

Рис. 9.14

Для решения задачи проанализируем свойства диагоналей каждого из представленных на рисунке четырехугольников, опираясь на их геометрические определения.

а) равны
Диагонали имеют одинаковую длину у прямоугольника (по свойству), у квадрата (так как он является частным случаем прямоугольника) и у равнобедренной трапеции (как изображено на рисунке).
Ответ: прямоугольник, квадрат, трапеция.

б) в точке пересечения делятся пополам
Это основное свойство диагоналей любого параллелограмма. К параллелограммам относятся прямоугольник, квадрат, ромб и сам параллелограмм.
Ответ: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб.

в) равны и в точке пересечения делятся пополам
Этому условию удовлетворяют фигуры, обладающие свойствами из пунктов а) и б) одновременно. Из всех параллелограммов равные диагонали имеют только прямоугольник и квадрат.
Ответ: прямоугольник, квадрат.

г) пересекаются под прямым углом
Диагонали перпендикулярны (угол между ними $90^\circ$) у ромба (по свойству) и у квадрата (так как он является частным случаем ромба).
Ответ: квадрат, ромб.

д) равны и пересекаются под прямым углом
Этому условию удовлетворяют фигуры, обладающие свойствами из пунктов а) и г) одновременно. Из фигур с перпендикулярными диагоналями (ромб и квадрат) равные диагонали имеет только квадрат.
Ответ: квадрат.

е) в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом
Этому условию удовлетворяют фигуры, обладающие свойствами из пунктов б) и г) одновременно. Это ромб и квадрат.
Ответ: квадрат, ромб.

ж) равны, в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом
Всеми тремя свойствами одновременно (свойства из пунктов а, б, г) обладают только диагонали квадрата. Он является одновременно прямоугольником (диагонали равны) и ромбом (диагонали перпендикулярны), а также параллелограммом (диагонали делятся пополам).
Ответ: квадрат.