Страница 201 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Расскажите, как построить квадрат со стороной 3 см, и выполните построения.

Для построения квадрата со стороной 3 см с помощью циркуля и линейки (без делений, кроме как для откладывания первоначальной длины), нужно следовать определенному алгоритму.

Алгоритм построения

Процесс построения квадрата можно разделить на следующие шаги:

1. С помощью линейки начертите отрезок $AB$ длиной 3 см. Это будет первая сторона будущего квадрата.
2. В одной из конечных точек отрезка, например в точке $A$, необходимо построить перпендикуляр к отрезку $AB$. Для этого:
   • Установите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла прямую, содержащую отрезок $AB$, в двух точках.
   • Из этих двух точек пересечения проведите две дуги одинакового радиуса (большего, чем первоначальный) так, чтобы они пересеклись над точкой $A$.
   • Соедините точку $A$ с точкой пересечения дуг. Полученный луч будет перпендикулярен отрезку $AB$, образуя прямой угол $\angle PAB = 90^\circ$.
3. На построенном перпендикулярном луче отложите отрезок $AD$, равный 3 см. Для этого измерьте циркулем длину отрезка $AB$ и, не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $A$ и проведите дугу. Точка пересечения дуги с перпендикуляром будет вершиной $D$.
4. Теперь нужно найти четвертую вершину квадрата, точку $C$. Для этого:
   • Не меняя раствора циркуля (равного 3 см), установите его острие в точку $B$ и проведите дугу.
   • Затем установите острие циркуля в точку $D$ и проведите дугу тем же радиусом (3 см).
   • Точка пересечения этих двух дуг будет искомой вершиной $C$.
5. С помощью линейки соедините отрезками точку $B$ с точкой $C$ и точку $D$ с точкой $C$.

В результате будет построена фигура $ABCD$. Это квадрат, так как по построению все его стороны равны 3 см ($AB = AD = BC = CD = 3$ см), а один из углов ($\angle A$) является прямым.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет построить квадрат с заданной стороной 3 см с помощью циркуля и линейки.

Выполнение построения

На рисунке ниже показан результат построения квадрата $ABCD$ со стороной 3 см в соответствии с приведенным алгоритмом. Сплошными линиями показан итоговый квадрат, а пунктирными — вспомогательные линии и дуги, использованные для построения.

На рисунке изображен квадрат $ABCD$, где длина каждой стороны $AB, BC, CD, DA$ равна 3 см, а все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$).

Ответ: Построение выполнено, результатом является квадрат со стороной 3 см, изображенный на рисунке.

Чему равен периметр квадрата со стороной 3 см?

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Квадрат — это геометрическая фигура, у которой все четыре стороны равны.

Длина одной стороны квадрата по условию задачи равна 3 см.

Для того чтобы найти периметр квадрата, можно сложить длины всех его сторон:
$3 \text{ см} + 3 \text{ см} + 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Также можно использовать формулу для вычисления периметра квадрата, где $P$ — это периметр, а $a$ — это длина стороны:
$P = 4 \cdot a$
Подставим известное значение длины стороны в формулу:
$P = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}$

Ответ: 12 см.

9.16 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Постройте на листе нелинованной бумаги:

а) прямоугольник со сторонами, равными 4 см 5 мм и 5 см 2 мм;

б) квадрат со стороной 4 см 8 мм.

а)

Для построения прямоугольника со сторонами, равными 4 см 5 мм и 5 см 2 мм, на листе нелинованной бумаги понадобятся линейка с миллиметровыми делениями, карандаш и угольник (или циркуль).

Порядок построения:

1. С помощью линейки начертите отрезок AD, длина которого равна большей из сторон, то есть $5 \text{ см } 2 \text{ мм}$.
2. В точке A постройте прямой угол. Для этого приложите угольник одной стороной к отрезку AD так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой A. Вдоль другой стороны угольника проведите луч.
3. На этом луче отложите от точки A отрезок AB, равный второй стороне прямоугольника, то есть $4 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
4. Теперь необходимо найти четвертую вершину C. Это можно сделать двумя способами:
• С помощью угольника: Постройте прямую, перпендикулярную отрезку AB в точке B. Затем постройте прямую, перпендикулярную отрезку AD в точке D. Точка пересечения этих двух прямых будет вершиной C.
• С помощью циркуля (более точный способ): Измерьте циркулем длину отрезка AD ($5 \text{ см } 2 \text{ мм}$) и проведите дугу с центром в точке B. Затем измерьте циркулем длину отрезка AB ($4 \text{ см } 5 \text{ мм}$) и проведите дугу с центром в точке D. Точка пересечения этих дуг будет вершиной C.
5. Соедините отрезками точку B с точкой C и точку D с точкой C.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым прямоугольником.

Ответ: Построен прямоугольник со сторонами $4 \text{ см } 5 \text{ мм}$ и $5 \text{ см } 2 \text{ мм}$.

б)

Для построения квадрата со стороной 4 см 8 мм используются те же инструменты: линейка, карандаш и угольник (или циркуль).

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Алгоритм построения очень похож на предыдущий.

Порядок построения:

1. С помощью линейки начертите отрезок AD длиной $4 \text{ см } 8 \text{ мм}$.
2. В точке A с помощью угольника постройте перпендикуляр к отрезку AD.
3. На перпендикуляре отложите от точки A отрезок AB, равный стороне квадрата, то есть $4 \text{ см } 8 \text{ мм}$.
4. Для нахождения четвертой вершины C удобнее всего использовать циркуль:
• Установите раствор циркуля равным длине стороны квадрата ($4 \text{ см } 8 \text{ мм}$).
• Проведите дугу с центром в точке B.
• Не меняя раствора циркуля, проведите дугу с центром в точке D.
• Точка пересечения этих дуг является вершиной C.
5. Соедините отрезками вершины B с C и D с C.

Полученная фигура ABCD — искомый квадрат.

Ответ: Построен квадрат со стороной $4 \text{ см } 8 \text{ мм}$.

9.17 Экспериментируем и наблюдаем

Начертите в тетради квадрат и проведите его диагональ. Что больше: диагональ квадрата или его сторона?

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?

Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата? Выполняется ли это свойство для прямоугольника?

Что больше: диагональ квадрата или его сторона?
Рассмотрим квадрат со стороной $a$. Его диагональ $d$ вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник. Стороны квадрата являются катетами этого треугольника, а диагональ — гипотенузой. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Отсюда находим длину диагонали:
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $d \approx 1.414a$. Так как $1.414 > 1$, диагональ $d$ всегда больше стороны $a$.
Ответ: диагональ квадрата больше его стороны.

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?
Все углы квадрата равны $90^\circ$. Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Диагональ является биссектрисой углов квадрата, поэтому она делит прямой угол на два равных угла.
$90^\circ \div 2 = 45^\circ$
Ответ: $45^\circ$.

Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?
Диагонали квадрата обладают свойством взаимной перпендикулярности. Это означает, что они пересекаются под прямым углом.
Ответ: $90^\circ$.

Выполняется ли это свойство для прямоугольника?
Нет, в общем случае для прямоугольника это свойство не выполняется. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, но они не перпендикулярны, за исключением того случая, когда прямоугольник является квадратом. Угол пересечения диагоналей прямоугольника (не квадрата) может быть любым, кроме $90^\circ$.
Ответ: нет, не выполняется.

9.18 Какой длины надо взять кусок проволоки, чтобы согнуть из него:

а) квадрат со стороной 2 см;

б) прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см?

Можно ли из куска проволоки длиной 15 см согнуть квадрат со стороной 4 см?

а) Длина проволоки, необходимая для создания фигуры, равна ее периметру. Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина стороны. Для квадрата со стороной 2 см потребуется проволока длиной:
$4 \times 2 = 8$ см.
Ответ: 8 см.

б) Периметр прямоугольника ($P$) со сторонами ($a$ и $b$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Для прямоугольника со сторонами 12 см и 5 см потребуется проволока длиной:
$2 \times (12 + 5) = 2 \times 17 = 34$ см.
Ответ: 34 см.

Чтобы ответить на этот вопрос, сначала найдем, какая длина проволоки нужна для квадрата со стороной 4 см. Его периметр будет равен $P = 4 \times 4 = 16$ см. В наличии есть кусок проволоки длиной 15 см. Так как требуемая длина больше имеющейся ($16 \text{ см} > 15 \text{ см}$), то из этого куска проволоки согнуть такой квадрат невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

9.19 Произведите необходимые измерения и найдите периметр прямоугольника, изображённого на рисунке 9.9.

Для решения этой задачи необходимо сначала измерить стороны прямоугольника, а затем найти его периметр. Поскольку сам рисунок 9.9 в вопросе отсутствует, мы не можем провести реальные измерения. Вместо этого, мы покажем алгоритм решения на примере прямоугольника с гипотетическими размерами.

Произведите необходимые измерения

С помощью линейки измерьте большую сторону (длину $a$) и меньшую сторону (ширину $b$) прямоугольника. Допустим, в результате измерений мы получили:

Длина $a = 6$ см

Ширина $b = 4$ см

(Вам следует подставить в дальнейшие расчеты результаты ваших собственных измерений).

Найдите периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Так как у прямоугольника противоположные стороны равны, формула для вычисления периметра выглядит следующим образом:

$P = 2 \cdot (a + b)$

Подставим наши гипотетические значения длины и ширины в эту формулу:

$P = 2 \cdot (6 \text{ см} + 4 \text{ см})$

Сначала выполним действие в скобках:

$P = 2 \cdot 10 \text{ см}$

Теперь выполним умножение:

$P = 20 \text{ см}$

Таким образом, периметр нашего гипотетического прямоугольника составляет 20 см.

Ответ: 20 см.