Страница 199 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.6 Постройте треугольник $ABC$, у которого угол $A$ равен $135^{\circ}$, сторона $AB$ равна $3$ см, а сторона $BC$ – $7$ см. Какая из сторон этого треугольника является наибольшей?

Подсказка. Начните с построения заданного угла.

Постройте треугольник ABC

1. Начертите произвольный луч с началом в точке A.
2. С помощью транспортира постройте от этого луча угол с вершиной в точке A, равный $135°$.
3. На одном из лучей, образующих построенный угол, отложите отрезок $AB$ длиной 3 см.
4. Из точки B, как из центра, проведите циркулем дугу окружности радиусом 7 см.
5. Точку пересечения этой дуги со вторым лучом угла A обозначьте как C.
6. Соедините точки B и C отрезком. Искомый треугольник ABC построен.

Какая из сторон этого треугольника является наибольшей?

В геометрии существует теорема о соотношении сторон и углов треугольника, которая гласит: против большего угла лежит большая сторона. Чтобы определить наибольшую сторону, необходимо сравнить углы треугольника ABC.

Сумма углов любого треугольника равна $180°$. Таким образом, для треугольника ABC справедливо равенство:
$∠A + ∠B + ∠C = 180°$.

Согласно условию задачи, угол $∠A = 135°$.

Теперь мы можем найти сумму двух других углов треугольника:
$∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 135° = 45°$.

Поскольку $∠B$ и $∠C$ являются углами треугольника, их градусные меры должны быть положительными ($∠B > 0$ и $∠C > 0$). Из того, что их сумма составляет $45°$, следует, что каждый из них по отдельности меньше $45°$.

Сравнивая углы, получаем: $∠A = 135°$, $∠B < 45°$, $∠C < 45°$. Очевидно, что угол $A$ является наибольшим углом в данном треугольнике.

Сторона, лежащая напротив наибольшего угла ($∠A$), является наибольшей стороной. В треугольнике ABC напротив угла $A$ лежит сторона $BC$.

Ответ: Наибольшей стороной этого треугольника является сторона BC.

9.7. а) Проволоку длиной 15 см согнули так, что получился равносторонний треугольник. Чему равен периметр этого треугольника? Чему равна его сторона?

б) Взяли проволоку длиной 17 см и из неё сделали треугольник, две стороны которого равны 5 см и 6 см. Что вы можете сказать об этом треугольнике?

в) Выполните необходимые измерения и вычислите периметр каждого из треугольников, изображённых на рисунке 9.1 (см. с. 196).

а) Периметр треугольника равен длине проволоки, из которой он был сделан. Следовательно, периметр равен 15 см. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Чтобы найти длину одной стороны, нужно периметр разделить на количество сторон, то есть на 3.
$15 \text{ см} \div 3 = 5 \text{ см}$
Ответ: периметр треугольника равен 15 см, а его сторона равна 5 см.

б) Длина проволоки является периметром треугольника, то есть $P = 17$ см. Периметр — это сумма длин всех сторон. Нам известны две стороны: 5 см и 6 см. Чтобы найти третью сторону, нужно из периметра вычесть сумму длин двух известных сторон.
$17 \text{ см} - (5 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 17 \text{ см} - 11 \text{ см} = 6 \text{ см}$
Таким образом, стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 6 см. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
Ответ: третья сторона треугольника равна 6 см; этот треугольник является равнобедренным.

в) Для выполнения этого задания необходимо иметь изображение рисунка 9.1 со страницы 196, чтобы с помощью линейки измерить длины сторон каждого треугольника. После измерения сторон, периметр ($P$) каждого треугольника вычисляется как сумма длин его сторон по формуле $P = a + b + c$, где $a, b, c$ — длины сторон. Так как изображение отсутствует, выполнить задание невозможно.
Ответ: для решения этой задачи необходимо произвести измерения по рисунку 9.1 из учебника.

9.8 В равнобедренном треугольнике периметр равен 36 см.

1) Найдите:
а) длину боковой стороны, если основание равно 10 см;
б) основание, если боковая сторона равна 15 см.

2) Найдите две стороны треугольника, если третья сторона равна 14 см.

Подсказка. В задании 2 рассмотрите два возможных варианта.

Пусть $a$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а $c$ — длина его основания. Периметр $P$ равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:

$P = 2a + c$

По условию задачи, периметр $P = 36$ см.

1) а)

Дано, что основание $c = 10$ см. Найдем длину боковой стороны $a$.

Подставим известные значения в формулу периметра:

$36 = 2a + 10$

$2a = 36 - 10$

$2a = 26$

$a = \frac{26}{2} = 13$ см.

Длина боковой стороны равна 13 см.

Ответ: 13 см.

1) б)

Дано, что боковая сторона $a = 15$ см. Найдем длину основания $c$.

Подставим известные значения в формулу периметра:

$36 = 2 \cdot 15 + c$

$36 = 30 + c$

$c = 36 - 30 = 6$ см.

Длина основания равна 6 см.

Ответ: 6 см.

2)

Дано, что одна из сторон треугольника равна 14 см. В равнобедренном треугольнике эта сторона может быть либо основанием, либо боковой стороной. Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1: сторона длиной 14 см является основанием.

Пусть основание $c = 14$ см. Найдем боковые стороны $a$.

$36 = 2a + 14$

$2a = 36 - 14$

$2a = 22$

$a = \frac{22}{2} = 11$ см.

В этом случае две другие стороны равны 11 см и 11 см. Такой треугольник существует, так как выполняется неравенство треугольника ($11 + 11 > 14$).

Вариант 2: сторона длиной 14 см является боковой стороной.

Пусть боковая сторона $a = 14$ см. Тогда и вторая боковая сторона равна 14 см. Найдем основание $c$.

$36 = 2 \cdot 14 + c$

$36 = 28 + c$

$c = 36 - 28 = 8$ см.

В этом случае две другие стороны равны 14 см (вторая боковая) и 8 см (основание). Такой треугольник существует, так как выполняется неравенство треугольника ($14 + 8 > 14$).

Ответ: 11 см и 11 см; или 14 см и 8 см.

СТРОИМ ПО АЛГОРИТМУ (9.9–9.10)

9.9 Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный треугольник $ABC$ по следующему алгоритму:

• Начертите отрезок $AC$ – основание треугольника.

• Проведите циркулем две равные окружности с центрами в точках $A$ и $C$ так, чтобы окружности пересекались; одну из точек пересечения обозначьте буквой $B$.

• Проведите отрезки $AB$ и $BC$.

Для построения равнобедренного треугольника $ABC$ по заданному алгоритму необходимо последовательно выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку.

Начертите отрезок AC — основание треугольника.
На листе нелинованной бумаги с помощью линейки и карандаша проводим произвольный отрезок. Обозначаем его концы буквами A и C. Этот отрезок будет являться основанием будущего треугольника.

Проведите циркулем две равные окружности с центрами в точках А и С так, чтобы окружности пересекались; одну из точек пересечения обозначьте буквой В.
1. Устанавливаем острие циркуля в точку A.
2. Выбираем произвольный раствор циркуля (радиус $R$), который должен быть больше половины длины отрезка $AC$, чтобы окружности могли пересечься. Математически это условие записывается как $R > \frac{1}{2}AC$.
3. Проводим дугу окружности с центром в A и радиусом $R$.
4. Не меняя раствор циркуля (сохраняя радиус $R$), устанавливаем его острие в точку C.
5. Проводим вторую дугу окружности с центром в C и тем же радиусом $R$.
6. Дуги пересекутся в двух точках. Выбираем любую из них и обозначаем ее буквой B. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.

Проведите отрезки AB и BC.
С помощью линейки соединяем точку B с точкой A, получая отрезок $AB$. Затем соединяем точку B с точкой C, получая отрезок $BC$. В результате построен треугольник $ABC$.

Построенный по данному алгоритму треугольник $ABC$ является равнобедренным. Обоснуем это.
По определению, равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.
В нашем построении точка B принадлежит окружности с центром в A и радиусом $R$. Следовательно, длина отрезка $AB$ равна этому радиусу: $AB = R$.
Одновременно точка B принадлежит и окружности с центром в C и тем же радиусом $R$. Следовательно, длина отрезка $BC$ также равна этому радиусу: $BC = R$.
Так как $AB = R$ и $BC = R$, мы можем заключить, что $AB = BC$.
Поскольку в треугольнике $ABC$ две стороны ($AB$ и $BC$) равны, он является равнобедренным по определению. Отрезок $AC$ — его основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны.

Ответ: Построенный по алгоритму треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как его боковые стороны $AB$ и $BC$ по построению являются радиусами двух равных окружностей, проведенных из центров A и C. Следовательно, эти стороны равны между собой ($AB = BC$), что соответствует определению равнобедренного треугольника.

9.10 Постройте равнобедренный треугольник, у которого:

а) основание равно $5 \text{ см}$, а боковые стороны – $4 \text{ см}$;

б) основание равно $6 \text{ см}$, а боковые стороны – $3 \text{ см } 5 \text{ мм}$.

а) основание равно 5 см, а боковые стороны – 4 см;

Для построения равнобедренного треугольника с заданными сторонами необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку:

1. Сначала проверим, возможно ли существование такого треугольника, используя неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Для сторон 5 см, 4 см, 4 см:
   • $4 + 4 > 5 \implies 8 > 5$ (верно)
   • $4 + 5 > 4 \implies 9 > 4$ (верно)
   Условие выполняется, следовательно, треугольник построить можно.
2. С помощью линейки чертим отрезок, который будет основанием треугольника. Обозначим его концы как А и С. Длина отрезка АС должна быть равна 5 см.
3. Берем циркуль и с помощью линейки устанавливаем его раствор равным длине боковой стороны, то есть 4 см.
4. Помещаем иглу циркуля в точку А и проводим дугу окружности радиусом 4 см.
5. Не изменяя раствор циркуля, перемещаем его иглу в точку С и проводим вторую дугу радиусом 4 см так, чтобы она пересекла первую.
6. Точку пересечения двух дуг обозначаем как B. Эта точка будет третьей вершиной треугольника.
7. Соединяем точку B с точками А и С с помощью линейки.

В результате мы получаем треугольник АВС, который является искомым равнобедренным треугольником с основанием $АС = 5$ см и боковыми сторонами $АВ = ВС = 4$ см.

Ответ: Искомый треугольник построен.

б) основание равно 6 см, а боковые стороны – 3 см 5 мм.

Для построения этого треугольника выполним аналогичные действия. Прежде всего, приведем все размеры к одной единице измерения. Боковая сторона равна 3 см 5 мм, что составляет 3,5 см.

1. Проверим неравенство треугольника для сторон 6 см, 3,5 см и 3,5 см:
   • $3.5 + 3.5 > 6 \implies 7 > 6$ (верно)
   • $3.5 + 6 > 3.5 \implies 9.5 > 3.5$ (верно)
   Так как условие выполняется, построение возможно.
2. С помощью линейки чертим отрезок-основание DF длиной 6 см.
3. Устанавливаем раствор циркуля равным длине боковой стороны, то есть 3,5 см.
4. Ставим иглу циркуля в точку D и чертим дугу окружности радиусом 3,5 см.
5. Переносим иглу циркуля в точку F и чертим вторую дугу тем же радиусом (3,5 см) до пересечения с первой дугой.
6. Точку пересечения дуг обозначаем как E.
7. Соединяем отрезками вершину E с вершинами D и F при помощи линейки.

Полученный треугольник DEF является искомым равнобедренным треугольником с основанием $DF = 6$ см и боковыми сторонами $DE = EF = 3,5$ см.

Ответ: Искомый треугольник построен.

9.11 Ищем способ подсчёта

Сколько равносторонних треугольников изображено на рисунке 9.7?

Рис. 9.7

Чтобы найти общее количество равносторонних треугольников, необходимо систематически посчитать их все, сгруппировав по размеру. Примем за единицу ($1$) длину стороны самого маленького треугольника.

Треугольники со стороной 1
Сначала посчитаем самые маленькие треугольники. Их можно разделить на две группы в зависимости от ориентации:
1. Треугольники, направленные вершиной вверх (▲): в нижнем ряду их 3, в среднем – 2, в верхнем – 1. Сумма: $3 + 2 + 1 = 6$.
2. Треугольники, направленные вершиной вниз (▼): в среднем ряду их 2, а в ряду над ним – 1. Сумма: $2 + 1 = 3$.
Всего треугольников с длиной стороны 1: $6 + 3 = 9$.

Треугольники со стороной 2
Эти треугольники состоят из четырех маленьких. Все они направлены вершиной вверх (▲). Их всего 3: один расположен в верхней части фигуры, а два других опираются своими основаниями на нижнюю линию всей фигуры. Треугольников такого размера, направленных вершиной вниз, нет.
Всего треугольников с длиной стороны 2: $3$.

Треугольники со стороной 3
Это самый большой треугольник, который образует всю фигуру. Он всего один и направлен вершиной вверх (▲).
Всего треугольников с длиной стороны 3: $1$.

Итог
Теперь сложим количество треугольников всех размеров, чтобы получить окончательный ответ:
$9 \text{ (со стороной 1)} + 3 \text{ (со стороной 2)} + 1 \text{ (со стороной 3)} = 13$.

Ответ: 13.

9.12 Исследуем

1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный треугольник ABC, у которого $AC$ — основание. Переведите его на кальку. Переверните кальку другой стороной вверх и опять совместите треугольники. Какой вывод можно сделать об углах при основании равнобедренного треугольника? Закончите предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании...»

Рис. 9.7

2) У равностороннего треугольника все углы равны. Попробуйте объяснить, почему это так.

Для проведения исследования построим на бумаге равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. Углами при основании являются $\angle BAC$ и $\angle BCA$.

Далее, переведем (скопируем) этот треугольник на кальку. Получим точную копию треугольника.

Теперь перевернем кальку другой стороной вверх. Это действие аналогично зеркальному отражению треугольника. Попробуем совместить перевернутый треугольник на кальке с исходным треугольником на бумаге. Для этого наложим кальку так, чтобы вершина $A$ с кальки оказалась на месте вершины $C$ на бумаге, а вершина $C$ с кальки — на месте вершины $A$ на бумаге.

Поскольку в исходном треугольнике $AB = BC$, то при таком наложении сторона $AB$ исходного треугольника полностью совпадет со стороной, которая на кальке была стороной $BC$, а сторона $BC$ исходного треугольника совпадет со стороной, которая на кальке была стороной $AB$. Вершина $B$ на кальке также совпадет с вершиной $B$ на бумаге.

В результате треугольники полностью совпали. Это означает, что углы, которые наложились друг на друга, равны. Угол при вершине $A$ ($\angle BAC$) исходного треугольника совпал с углом при вершине $C$ ($\angle BCA$) с кальки. Следовательно, мы можем сделать вывод, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Закончим предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Ответ: Вывод, который можно сделать из эксперимента: углы при основании равнобедренного треугольника равны. Завершенное предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. Это означает, что $AB = BC = AC$.

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Мы можем рассмотреть его как равнобедренный, выбрав в качестве основания любую из его сторон.

1. Сначала рассмотрим сторону $AC$ как основание. Поскольку боковые стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), треугольник $ABC$ является равнобедренным. По свойству, доказанному в пункте 1, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$ (или $\angle A = \angle C$).

2. Теперь рассмотрим сторону $AB$ как основание. В этом случае боковыми сторонами будут $AC$ и $BC$. Так как они равны ($AC = BC$), треугольник $ABC$ снова является равнобедренным. Следовательно, углы при новом основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$ (или $\angle A = \angle B$).

Из первого пункта мы получили, что $\angle A = \angle C$. Из второго пункта мы получили, что $\angle A = \angle B$. Объединяя эти два равенства, мы приходим к выводу, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

Ответ: Все углы равностороннего треугольника равны, так как его можно рассматривать как равнобедренный относительно любой из его сторон. Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, то, выбирая поочередно каждую сторону в качестве основания, мы доказываем, что все три угла равны между собой.