Номер 9.12, страница 199 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 9.1. Треугольники и их виды. Глава 9. Треугольники и четырёхугольники - номер 9.12, страница 199.

9.12 Исследуем

1) Постройте на нелинованной бумаге равнобедренный треугольник ABC, у которого $AC$ — основание. Переведите его на кальку. Переверните кальку другой стороной вверх и опять совместите треугольники. Какой вывод можно сделать об углах при основании равнобедренного треугольника? Закончите предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании...»

Рис. 9.7

2) У равностороннего треугольника все углы равны. Попробуйте объяснить, почему это так.

1)

Для проведения исследования построим на бумаге равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. Углами при основании являются $\angle BAC$ и $\angle BCA$.

Далее, переведем (скопируем) этот треугольник на кальку. Получим точную копию треугольника.

Теперь перевернем кальку другой стороной вверх. Это действие аналогично зеркальному отражению треугольника. Попробуем совместить перевернутый треугольник на кальке с исходным треугольником на бумаге. Для этого наложим кальку так, чтобы вершина $A$ с кальки оказалась на месте вершины $C$ на бумаге, а вершина $C$ с кальки — на месте вершины $A$ на бумаге.

Поскольку в исходном треугольнике $AB = BC$, то при таком наложении сторона $AB$ исходного треугольника полностью совпадет со стороной, которая на кальке была стороной $BC$, а сторона $BC$ исходного треугольника совпадет со стороной, которая на кальке была стороной $AB$. Вершина $B$ на кальке также совпадет с вершиной $B$ на бумаге.

В результате треугольники полностью совпали. Это означает, что углы, которые наложились друг на друга, равны. Угол при вершине $A$ ($\angle BAC$) исходного треугольника совпал с углом при вершине $C$ ($\angle BCA$) с кальки. Следовательно, мы можем сделать вывод, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Закончим предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Ответ: Вывод, который можно сделать из эксперимента: углы при основании равнобедренного треугольника равны. Завершенное предложение: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

2)

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. Это означает, что $AB = BC = AC$.

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Мы можем рассмотреть его как равнобедренный, выбрав в качестве основания любую из его сторон.

1. Сначала рассмотрим сторону $AC$ как основание. Поскольку боковые стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), треугольник $ABC$ является равнобедренным. По свойству, доказанному в пункте 1, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$ (или $\angle A = \angle C$).

2. Теперь рассмотрим сторону $AB$ как основание. В этом случае боковыми сторонами будут $AC$ и $BC$. Так как они равны ($AC = BC$), треугольник $ABC$ снова является равнобедренным. Следовательно, углы при новом основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$ (или $\angle A = \angle B$).

Из первого пункта мы получили, что $\angle A = \angle C$. Из второго пункта мы получили, что $\angle A = \angle B$. Объединяя эти два равенства, мы приходим к выводу, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

Ответ: Все углы равностороннего треугольника равны, так как его можно рассматривать как равнобедренный относительно любой из его сторон. Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, то, выбирая поочередно каждую сторону в качестве основания, мы доказываем, что все три угла равны между собой.