Номер 9.17, страница 201 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 9.2. Прямоугольники. Глава 9. Треугольники и четырёхугольники - номер 9.17, страница 201.

9.17 Экспериментируем и наблюдаем

Начертите в тетради квадрат и проведите его диагональ. Что больше: диагональ квадрата или его сторона?

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?

Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата? Выполняется ли это свойство для прямоугольника?

Что больше: диагональ квадрата или его сторона?
Рассмотрим квадрат со стороной $a$. Его диагональ $d$ вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник. Стороны квадрата являются катетами этого треугольника, а диагональ — гипотенузой. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Отсюда находим длину диагонали:
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $d \approx 1.414a$. Так как $1.414 > 1$, диагональ $d$ всегда больше стороны $a$.
Ответ: диагональ квадрата больше его стороны.

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?
Все углы квадрата равны $90^\circ$. Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Диагональ является биссектрисой углов квадрата, поэтому она делит прямой угол на два равных угла.
$90^\circ \div 2 = 45^\circ$
Ответ: $45^\circ$.

Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?
Диагонали квадрата обладают свойством взаимной перпендикулярности. Это означает, что они пересекаются под прямым углом.
Ответ: $90^\circ$.

Выполняется ли это свойство для прямоугольника?
Нет, в общем случае для прямоугольника это свойство не выполняется. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, но они не перпендикулярны, за исключением того случая, когда прямоугольник является квадратом. Угол пересечения диагоналей прямоугольника (не квадрата) может быть любым, кроме $90^\circ$.
Ответ: нет, не выполняется.