Номер 9.17, страница 201 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 9. Треугольники и четырёхугольники. 9.2. Прямоугольники. Упражнения - номер 9.17, страница 201.

Условие.

9.17 Экспериментируем и наблюдаем

Начертите в тетради квадрат и проведите его диагональ. Что больше: диагональ квадрата или его сторона?

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?

Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата? Выполняется ли это свойство для прямоугольника?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Что больше: диагональ квадрата или его сторона?
Рассмотрим квадрат со стороной $a$. Его диагональ $d$ вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник. Стороны квадрата являются катетами этого треугольника, а диагональ — гипотенузой. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Отсюда находим длину диагонали:
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $d \approx 1.414a$. Так как $1.414 > 1$, диагональ $d$ всегда больше стороны $a$.
Ответ: диагональ квадрата больше его стороны.

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?
Все углы квадрата равны $90^\circ$. Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Диагональ является биссектрисой углов квадрата, поэтому она делит прямой угол на два равных угла.
$90^\circ \div 2 = 45^\circ$
Ответ: $45^\circ$.

Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?
Диагонали квадрата обладают свойством взаимной перпендикулярности. Это означает, что они пересекаются под прямым углом.
Ответ: $90^\circ$.

Выполняется ли это свойство для прямоугольника?
Нет, в общем случае для прямоугольника это свойство не выполняется. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, но они не перпендикулярны, за исключением того случая, когда прямоугольник является квадратом. Угол пересечения диагоналей прямоугольника (не квадрата) может быть любым, кроме $90^\circ$.
Ответ: нет, не выполняется.