Номер 9.48, страница 208 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 9.3. Равенство фигур. Глава 9. Треугольники и четырёхугольники - номер 9.48, страница 208.

9.48 Перенесите фигуру, изображённую на рисунке 9.26, в тетрадь. Покажите, как эту фигуру можно разрезать одной прямой на две равные части. Сколько способов можно предложить?

Рис. 9.26

Для того чтобы разрезать фигуру одной прямой на две равные (то есть конгруэнтные) части, эта прямая должна быть осью симметрии фигуры или, в более общем случае, проходить через центр симметрии фигуры, если он существует. Данная фигура обладает центральной симметрией.

Покажите, как эту фигуру можно разрезать одной прямой на две равные части.

1. Сначала найдем центр симметрии фигуры. Для удобства введем систему координат, совмещенную с сеткой на рисунке. Пусть левый нижний угол сетки имеет координаты $(0, 0)$. Сетка имеет размер 6x6 клеток. Тогда вершины многоугольника, изображенного на рисунке, будут иметь следующие координаты: $(1, 5)$, $(5, 5)$, $(4, 3)$, $(5, 1)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$.

Центр симметрии этой фигуры — это точка, относительно которой фигура отображается сама на себя. Для данного многоугольника такой точкой является центр сетки $O(3, 3)$. Мы можем это проверить: для каждой вершины $(x, y)$ фигуры существует симметричная ей относительно точки $O(3, 3)$ вершина с координатами $(2 \cdot 3 - x, 2 \cdot 3 - y) = (6-x, 6-y)$. Например, для вершины $(1, 5)$ симметричной будет вершина $(6-1, 6-5) = (5, 1)$, и она также принадлежит фигуре. Аналогично для всех остальных вершин.

2. Любая прямая, проходящая через центр симметрии $O(3, 3)$, делит фигуру на две равные (конгруэнтные) части. Это является свойством всех центрально-симметричных фигур.

Самыми простыми примерами таких прямых являются оси симметрии фигуры:

• Вертикальная прямая, проходящая через центр. Ее уравнение $x=3$.
• Горизонтальная прямая, проходящая через центр. Ее уравнение $y=3$.

На рисунке ниже показана данная фигура, ее центр симметрии $O$ и два примера разрезающих прямых (вертикальная и горизонтальная).

На изображении синяя пунктирная линия представляет собой разрез по вертикали ($x=3$), а зеленая пунктирная линия — разрез по горизонтали ($y=3$). Обе прямые проходят через центр симметрии $O$ и делят фигуру на две равные части.

Ответ: Чтобы разрезать фигуру на две равные части, нужно провести любую прямую через ее центр симметрии, который находится в центре сетки $O(3, 3)$. Примерами таких прямых являются горизонтальная и вертикальная оси симметрии.

Сколько способов можно предложить?

Как было установлено, любая прямая, которая проходит через центр симметрии фигуры $O(3, 3)$, делит ее на две равные (конгруэнтные) части. Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество различных прямых.

Следовательно, существует бесконечное множество способов разрезать данную фигуру одной прямой на две равные части.

Ответ: Можно предложить бесконечно много способов.