Номер 9.49, страница 208 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 9. Треугольники и четырёхугольники. 9.3. Равенство фигур. Упражнения - номер 9.49, страница 208.

Условие.

9.49 Анализируем и ищем способ копирования

Треугольник, изображённый на рисунке 9.27, носит название «треугольник Серпинского» в честь создавшего его польского математика.

1) Рассмотрите его и ответьте на вопросы:

а) каков вид треугольников;

б) есть ли среди них равные (приведите пример);

в) во сколько раз сторона красного треугольника меньше стороны большого треугольника; сторона синего треугольника меньше стороны красного; сторона жёлтого меньше стороны синего?

2) Подсчитайте число всех треугольников на рисунке.

Подсказка. Равные треугольники считайте отдельно.

3) Расскажите алгоритм построения треугольника Серпинского.

Рис. 9.27

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Рассмотрите его и ответьте на вопросы:

а) каков вид треугольников;

Все сплошные (цветные) и полые (белые) треугольники, из которых состоит фигура, являются равносторонними. Это означает, что у каждого такого треугольника все три стороны равны и все три угла равны $60^\circ$.

Ответ: Все треугольники являются равносторонними.

б) есть ли среди них равные (приведите пример);

Да, на рисунке есть множество равных треугольников. Треугольники считаются равными, если их соответствующие стороны и углы равны.

• Все 9 жёлтых треугольников равны между собой.
• Все 3 синих треугольника равны между собой.
• Розовый треугольник равен синим треугольникам.

Пример: любые два жёлтых треугольника на рисунке равны.

Ответ: Да, есть. Например, все жёлтые треугольники равны между собой.

в) во сколько раз сторона красного (розового) треугольника меньше стороны большого треугольника; сторона синего треугольника меньше стороны красного; сторона жёлтого меньше стороны синего?

Проанализируем соотношение сторон треугольников разных размеров. Пусть сторона самого маленького (жёлтого) треугольника равна $x$.

• Из рисунка видно, что сторона синего треугольника состоит из двух сторон жёлтого, значит, её длина равна $2x$.
• Розовый треугольник по размеру равен синему, его сторона также равна $2x$.
• Сторона самого большого треугольника (внешней рамки) состоит из двух сторон синего (или розового) треугольника, значит, её длина равна $2 \times (2x) = 4x$.

Теперь ответим на вопросы:

• Отношение стороны большого треугольника к стороне розового: $\frac{4x}{2x} = 2$. Таким образом, сторона розового треугольника в 2 раза меньше стороны большого.
• Отношение стороны розового треугольника к стороне синего: $\frac{2x}{2x} = 1$. Их стороны равны.
• Отношение стороны синего треугольника к стороне жёлтого: $\frac{2x}{x} = 2$. Таким образом, сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего.

Ответ: Сторона розового треугольника в 2 раза меньше стороны большого треугольника. Стороны синего и розового треугольников равны. Сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего.

2) Подсчитайте число всех треугольников на рисунке.

Для подсчёта всех треугольников сгруппируем их по размеру и направлению вершины (вверх или вниз).

• Самые маленькие треугольники (размером с жёлтый):
  • Вершиной вверх (жёлтые): 9 штук.
  • Вершиной вниз (белые "отверстия" в синих и розовом треугольниках): 3 штуки.
• Средние треугольники (размером с синий/розовый):
  • Вершиной вверх (синие и розовый): 3 + 1 = 4 штуки.
  • Вершиной вниз (центральный белый "отверстие"): 1 штука.
• Самый большой треугольник (вся фигура):
  • Вершиной вверх: 1 штука (внешний контур).

Суммируем все найденные треугольники: $9 + 3 + 4 + 1 + 1 = 18$.

Ответ: Всего на рисунке 18 треугольников.

3) Расскажите алгоритм построения треугольника Серпинского.

Треугольник Серпинского — это фрактал, который строится по следующему рекурсивному алгоритму:

1. Шаг 1: Начать с одного сплошного равностороннего треугольника.
2. Шаг 2: Найти середины каждой из трёх сторон треугольника.
3. Шаг 3: Соединить эти три точки. Это разделит исходный треугольник на четыре меньших, равных между собой, равносторонних треугольника.
4. Шаг 4: Удалить (или закрасить фоновым цветом) центральный из этих четырёх треугольников (тот, который обращён вершиной вниз).
5. Шаг 5: Повторить шаги 2-4 для каждого из трёх оставшихся неубранных треугольников.

Этот процесс повторяется многократно (в теории — до бесконечности), создавая всё более детализированный узор. На рисунке показан результат после нескольких таких итераций.

Ответ: Алгоритм заключается в последовательном разделении равностороннего треугольника на четыре меньших и удалении центрального из них, повторяя этот процесс для всех оставшихся треугольников.