Номер 9.49, страница 208 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 9.3. Равенство фигур. Глава 9. Треугольники и четырёхугольники - номер 9.49, страница 208.

9.49 Анализируем и ищем способ копирования

Треугольник, изображённый на рисунке 9.27, носит название «треугольник Серпинского» в честь создавшего его польского математика.

1) Рассмотрите его и ответьте на вопросы:

а) каков вид треугольников;

б) есть ли среди них равные (приведите пример);

в) во сколько раз сторона красного треугольника меньше стороны большого треугольника; сторона синего треугольника меньше стороны красного; сторона жёлтого меньше стороны синего?

2) Подсчитайте число всех треугольников на рисунке.

Подсказка. Равные треугольники считайте отдельно.

3) Расскажите алгоритм построения треугольника Серпинского.

Рис. 9.27

1) Рассмотрите его и ответьте на вопросы:

а) каков вид треугольников;

Все сплошные (цветные) и полые (белые) треугольники, из которых состоит фигура, являются равносторонними. Это означает, что у каждого такого треугольника все три стороны равны и все три угла равны $60^\circ$.

Ответ: Все треугольники являются равносторонними.

б) есть ли среди них равные (приведите пример);

Да, на рисунке есть множество равных треугольников. Треугольники считаются равными, если их соответствующие стороны и углы равны.

• Все 9 жёлтых треугольников равны между собой.
• Все 3 синих треугольника равны между собой.
• Розовый треугольник равен синим треугольникам.

Пример: любые два жёлтых треугольника на рисунке равны.

Ответ: Да, есть. Например, все жёлтые треугольники равны между собой.

в) во сколько раз сторона красного (розового) треугольника меньше стороны большого треугольника; сторона синего треугольника меньше стороны красного; сторона жёлтого меньше стороны синего?

Проанализируем соотношение сторон треугольников разных размеров. Пусть сторона самого маленького (жёлтого) треугольника равна $x$.

• Из рисунка видно, что сторона синего треугольника состоит из двух сторон жёлтого, значит, её длина равна $2x$.
• Розовый треугольник по размеру равен синему, его сторона также равна $2x$.
• Сторона самого большого треугольника (внешней рамки) состоит из двух сторон синего (или розового) треугольника, значит, её длина равна $2 \times (2x) = 4x$.

Теперь ответим на вопросы:

• Отношение стороны большого треугольника к стороне розового: $\frac{4x}{2x} = 2$. Таким образом, сторона розового треугольника в 2 раза меньше стороны большого.
• Отношение стороны розового треугольника к стороне синего: $\frac{2x}{2x} = 1$. Их стороны равны.
• Отношение стороны синего треугольника к стороне жёлтого: $\frac{2x}{x} = 2$. Таким образом, сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего.

Ответ: Сторона розового треугольника в 2 раза меньше стороны большого треугольника. Стороны синего и розового треугольников равны. Сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего.

2) Подсчитайте число всех треугольников на рисунке.

Для подсчёта всех треугольников сгруппируем их по размеру и направлению вершины (вверх или вниз).

• Самые маленькие треугольники (размером с жёлтый):
  • Вершиной вверх (жёлтые): 9 штук.
  • Вершиной вниз (белые "отверстия" в синих и розовом треугольниках): 3 штуки.
• Средние треугольники (размером с синий/розовый):
  • Вершиной вверх (синие и розовый): 3 + 1 = 4 штуки.
  • Вершиной вниз (центральный белый "отверстие"): 1 штука.
• Самый большой треугольник (вся фигура):
  • Вершиной вверх: 1 штука (внешний контур).

Суммируем все найденные треугольники: $9 + 3 + 4 + 1 + 1 = 18$.

Ответ: Всего на рисунке 18 треугольников.

3) Расскажите алгоритм построения треугольника Серпинского.

Треугольник Серпинского — это фрактал, который строится по следующему рекурсивному алгоритму:

1. Шаг 1: Начать с одного сплошного равностороннего треугольника.
2. Шаг 2: Найти середины каждой из трёх сторон треугольника.
3. Шаг 3: Соединить эти три точки. Это разделит исходный треугольник на четыре меньших, равных между собой, равносторонних треугольника.
4. Шаг 4: Удалить (или закрасить фоновым цветом) центральный из этих четырёх треугольников (тот, который обращён вершиной вниз).
5. Шаг 5: Повторить шаги 2-4 для каждого из трёх оставшихся неубранных треугольников.

Этот процесс повторяется многократно (в теории — до бесконечности), создавая всё более детализированный узор. На рисунке показан результат после нескольких таких итераций.

Ответ: Алгоритм заключается в последовательном разделении равностороннего треугольника на четыре меньших и удалении центрального из них, повторяя этот процесс для всех оставшихся треугольников.