Номер 7, страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 9. Треугольники и четырёхугольники. 9.4. Площадь прямоугольника. Вопросы - номер 7, страница 211.

Условие.

Начертите на листе в клетку окружность и найдите площадь ограниченного ею круга.

Указание. Примите площадь одного квадрата за 1 кв. ед.

Решение 6.

Для решения этой задачи сначала нужно начертить окружность на листе в клетку. Поскольку в задаче не указан радиус, мы можем выбрать его самостоятельно. Для удобства вычислений и подсчета клеток выберем радиус, равный 3 клеткам. Центр окружности разместим на пересечении линий сетки. Согласно указанию, площадь одной клетки (квадрата) равна 1 кв. ед., значит, сторона клетки равна 1 ед. Таким образом, радиус нашей окружности $R = 3$ ед.

Площадь круга, ограниченного этой окружностью, можно найти двумя способами: точным (с помощью формулы) и приближенным (с помощью подсчета клеток).

Решение с помощью формулы

Площадь круга вычисляется по формуле:

$S = \pi R^2$

где $S$ — площадь круга, $R$ — его радиус, а $\pi$ (пи) — математическая константа, приблизительно равная 3,14159.

Подставим в формулу значение нашего радиуса $R = 3$ ед.:

$S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$

Это точное значение площади. Для получения численного значения, используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$S \approx 9 \cdot 3,14 = 28,26$ кв. ед.

Ответ: Точная площадь круга равна $9\pi$ кв. ед., что приблизительно составляет 28,26 кв. ед.

Решение с помощью подсчета клеток

Этот метод дает приблизительное значение площади. Суть метода заключается в подсчете количества клеток, которые оказались внутри круга.

1. Сначала посчитаем количество целых клеток, которые полностью находятся внутри окружности. Обозначим это число как $N_{внутр}$. Для круга с радиусом 3, помещенного в центр координатной сетки, можно подсчитать, что таких клеток 16. Таким образом, $N_{внутр} = 16$.

2. Затем посчитаем количество клеток, которые окружность пересекает, то есть те, что частично находятся внутри, а частично снаружи. Обозначим это число как $N_{граничн}$. Для нашего круга таких клеток будет 20. Таким образом, $N_{граничн} = 20$.

Приближенную площадь круга можно вычислить по формуле Палисада:

$S_{прибл} = N_{внутр} + \frac{1}{2} N_{граничн}$

Подставим наши значения:

$S_{прибл} = 16 + \frac{1}{2} \cdot 20 = 16 + 10 = 26$ кв. ед.

Как мы видим, результат (26 кв. ед.) близок к точному значению (28,26 кв. ед.). Точность этого метода увеличивается с увеличением радиуса окружности.

Ответ: Приближенная площадь круга, найденная методом подсчета клеток, составляет 26 кв. ед.