Страница 238 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.84 Сторона квадрата равна 0,4 дм. Найдите сторону квадрата, площадь которого составляет 0,25 площади данного квадрата. Выразите ответ в сантиметрах.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов. Сначала мы найдем площадь данного квадрата, затем площадь нового квадрата и, наконец, его сторону. Поскольку ответ нужно дать в сантиметрах, целесообразно сразу перевести все единицы измерения в сантиметры.

1. Перевод единиц измерения.
Сторона данного квадрата равна 0,4 дм. Мы знаем, что в 1 дециметре содержится 10 сантиметров.
$a_1 = 0,4 \text{ дм} = 0,4 \times 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

2. Нахождение площади данного квадрата.
Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – его сторона.
$S_1 = (4 \text{ см})^2 = 16 \text{ см}^2$.

3. Нахождение площади нового квадрата.
По условию, площадь нового квадрата ($S_2$) составляет 0,25 от площади данного квадрата.
$S_2 = 0,25 \times S_1 = 0,25 \times 16 \text{ см}^2 = 4 \text{ см}^2$.

4. Нахождение стороны нового квадрата.
Сторона квадрата равна квадратному корню из его площади.
$a_2 = \sqrt{S_2} = \sqrt{4 \text{ см}^2} = 2 \text{ см}$.

Ответ: сторона искомого квадрата равна 2 см.

10.85 РАССУЖДАЕМ Вычислите рациональным способом:

а) $1,5 \cdot 2,2 \cdot 2;$

б) $6,54 \cdot 0,25 \cdot 4;$

в) $2 \cdot 3,8 \cdot 0,5;$

г) $2,5 \cdot 0,061 \cdot 4;$

д) $13,7 \cdot 0,2 \cdot 5;$

е) $0,25 \cdot 0,2 \cdot 4 \cdot 5.$

а) Чтобы вычислить $1,5 \cdot 2,2 \cdot 2$ рациональным способом, воспользуемся переместительным свойством умножения и сгруппируем множители так, чтобы получить целое число. Удобнее сначала умножить $1,5$ на $2$.
$1,5 \cdot 2,2 \cdot 2 = (1,5 \cdot 2) \cdot 2,2$
$1,5 \cdot 2 = 3$
Теперь умножим результат на оставшийся множитель:
$3 \cdot 2,2 = 6,6$
Таким образом, $1,5 \cdot 2,2 \cdot 2 = 6,6$.
Ответ: $6,6$

б) В выражении $6,54 \cdot 0,25 \cdot 4$ рационально сначала перемножить $0,25$ и $4$, так как их произведение равно $1$.
$6,54 \cdot 0,25 \cdot 4 = 6,54 \cdot (0,25 \cdot 4)$
$0,25 \cdot 4 = 1$
Теперь умножим $6,54$ на полученный результат:
$6,54 \cdot 1 = 6,54$
Следовательно, $6,54 \cdot 0,25 \cdot 4 = 6,54$.
Ответ: $6,54$

в) Для вычисления $2 \cdot 3,8 \cdot 0,5$ сгруппируем множители $2$ и $0,5$, так как их произведение равно $1$.
$2 \cdot 3,8 \cdot 0,5 = (2 \cdot 0,5) \cdot 3,8$
$2 \cdot 0,5 = 1$
Далее умножим $1$ на $3,8$:
$1 \cdot 3,8 = 3,8$
Значит, $2 \cdot 3,8 \cdot 0,5 = 3,8$.
Ответ: $3,8$

г) В примере $2,5 \cdot 0,061 \cdot 4$ удобнее сначала умножить $2,5$ на $4$.
$2,5 \cdot 0,061 \cdot 4 = (2,5 \cdot 4) \cdot 0,061$
$2,5 \cdot 4 = 10$
Теперь умножим $10$ на $0,061$:
$10 \cdot 0,061 = 0,61$
Таким образом, $2,5 \cdot 0,061 \cdot 4 = 0,61$.
Ответ: $0,61$

д) В выражении $13,7 \cdot 0,2 \cdot 5$ рационально перемножить $0,2$ и $5$.
$13,7 \cdot 0,2 \cdot 5 = 13,7 \cdot (0,2 \cdot 5)$
$0,2 \cdot 5 = 1$
Умножим $13,7$ на результат:
$13,7 \cdot 1 = 13,7$
Следовательно, $13,7 \cdot 0,2 \cdot 5 = 13,7$.
Ответ: $13,7$

е) В выражении $0,25 \cdot 0,2 \cdot 4 \cdot 5$ сгруппируем множители попарно для упрощения вычислений. Умножим $0,25$ на $4$ и $0,2$ на $5$.
$0,25 \cdot 0,2 \cdot 4 \cdot 5 = (0,25 \cdot 4) \cdot (0,2 \cdot 5)$
$0,25 \cdot 4 = 1$
$0,2 \cdot 5 = 1$
Теперь перемножим полученные результаты:
$1 \cdot 1 = 1$
Значит, $0,25 \cdot 0,2 \cdot 4 \cdot 5 = 1$.
Ответ: $1$

10.86 Решите задачу, составив выражение, соответствующее условию:

a) Орехи расфасовали в пакеты по 0,7 кг: грецкие – в 20 пакетов, арахис – в 15 пакетов, миндаль – в 10 пакетов. Сколько всего килограммов орехов расфасовали в пакеты? Выразите ответ в килограммах и граммах.

б) В санаторий привезли по 12 ящиков помидоров, огурцов и лука: помидоров в каждом ящике по 7,5 кг, огурцов – по 12,5 кг, а лука – по 5,5 кг. Сколько всего килограммов овощей привезли в санаторий?

а)

Для решения задачи нужно найти общее количество пакетов с орехами, а затем умножить это количество на массу одного пакета.

Сначала найдем общее количество пакетов:

$20$ (грецкие) $+ 15$ (арахис) $+ 10$ (миндаль) $= 45$ пакетов.

Теперь составим выражение для нахождения общей массы всех орехов. Умножим общее количество пакетов на массу одного пакета:

$(20 + 15 + 10) \cdot 0,7 = 45 \cdot 0,7 = 31,5$ кг.

Теперь выразим полученный ответ в килограммах и граммах. Мы знаем, что 1 кг = 1000 г. Целая часть нашего ответа – 31 кг. Дробная часть – 0,5 кг.

Переведем 0,5 кг в граммы:

$0,5 \cdot 1000 = 500$ г.

Таким образом, всего расфасовали 31 кг 500 г орехов.

Ответ: 31,5 кг, или 31 кг 500 г.

б)

Чтобы найти общую массу всех овощей, можно сначала найти, сколько весят овощи в одном наборе (один ящик помидоров, один ящик огурцов и один ящик лука), а затем умножить эту массу на количество таких наборов, то есть на 12, так как привезли по 12 ящиков каждого вида овощей.

Составим выражение. Сложим массу одного ящика каждого вида овощей и умножим сумму на 12:

$(7,5 + 12,5 + 5,5) \cdot 12$.

Выполним вычисления по действиям:

1) Найдем сумму масс в скобках:

$7,5 + 12,5 + 5,5 = 20 + 5,5 = 25,5$ кг.

2) Умножим полученный результат на 12:

$25,5 \cdot 12 = 306$ кг.

Ответ: 306 кг.

10.87 Выразите время в часах:

а) 2 ч 10 мин;

б) 3 ч 45 мин;

в) 1 ч 20 мин;

г) 4 ч 48 мин.

а) 2 ч 10 мин. Чтобы выразить это время в часах, переведем 10 минут в долю часа. Зная, что в 1 часе 60 минут, получаем, что 10 минут – это $\frac{10}{60}$ часа. После сокращения дроби на 10 получаем $\frac{1}{6}$ часа. Добавляем это к целым часам: $2 \text{ ч } + \frac{1}{6} \text{ ч} = 2\frac{1}{6}$ ч.

Ответ: $2\frac{1}{6}$ ч.

б) 3 ч 45 мин. Аналогично, переведем 45 минут в часы: $\frac{45}{60}$ ч. Эту дробь можно сократить. Наибольший общий делитель чисел 45 и 60 равен 15. Разделив числитель и знаменатель на 15, получаем: $\frac{45 \div 15}{60 \div 15} = \frac{3}{4}$ ч. Таким образом, 3 ч 45 мин равны $3 + \frac{3}{4} = 3\frac{3}{4}$ ч.

Ответ: $3\frac{3}{4}$ ч.

в) 1 ч 20 мин. Переведем 20 минут в часы: $\frac{20}{60}$ ч. Сокращаем дробь на 20 и получаем $\frac{1}{3}$ ч. В результате, 1 ч 20 мин – это $1 + \frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$ ч.

Ответ: $1\frac{1}{3}$ ч.

г) 4 ч 48 мин. Переводим 48 минут в часы: $\frac{48}{60}$ ч. Наибольший общий делитель для 48 и 60 – это 12. Сокращаем дробь: $\frac{48 \div 12}{60 \div 12} = \frac{4}{5}$ ч. Следовательно, 4 ч 48 мин равны $4 + \frac{4}{5} = 4\frac{4}{5}$ ч.

Ответ: $4\frac{4}{5}$ ч.

10.88 В первый день бригада отремонтировала 1,5 км дороги, а во второй – на 0,35 км меньше. Чему равна длина отремонтированного участка дороги?

Выразите ответ в километрах и метрах.

Для того чтобы найти общую длину отремонтированного участка дороги, необходимо выполнить несколько шагов: сначала вычислить длину участка, отремонтированного во второй день, затем сложить полученное значение с длиной участка, отремонтированного в первый день, и в конце представить результат в требуемых единицах измерения.

1. Вычисление длины участка, отремонтированного во второй день

В первый день бригада отремонтировала 1,5 км дороги. Во второй день было отремонтировано на 0,35 км меньше. Чтобы найти длину участка за второй день, выполним вычитание:

$1,5 - 0,35 = 1,15$ (км).

Таким образом, во второй день бригада отремонтировала 1,15 км дороги.

2. Нахождение общей длины отремонтированного участка

Чтобы найти общую длину, необходимо сложить длины участков, отремонтированных за оба дня:

$1,5 + 1,15 = 2,65$ (км).

Общая длина отремонтированного участка дороги за два дня составляет 2,65 км.

3. Преобразование ответа в километры и метры

Результат 2,65 км состоит из целой части (2 км) и десятичной части (0,65 км). Для выражения ответа в километрах и метрах необходимо перевести десятичную часть в метры. Учитывая, что в 1 километре 1000 метров, получаем:

$0,65 \text{ км} = 0,65 \times 1000 \text{ м} = 650 \text{ м}$.

Следовательно, общая длина отремонтированного участка составляет 2 километра и 650 метров.

Ответ: общая длина отремонтированного участка дороги равна 2,65 км, или 2 км 650 м.

10.89 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

На плане изображены две дороги, по которым можно пройти из дома в школу: мимо стадиона или мимо детского сада (рис. 10.3). Выполните необходимые измерения, выразите длины в сантиметрах и определите, какой путь короче.

Для решения этой задачи необходимо выполнить измерения длин отрезков на плане с помощью линейки, а затем сложить их, чтобы найти общую длину каждого пути и сравнить их.

Путь из дома в школу мимо стадиона

Этот путь состоит из двух отрезков: «Дом – Стадион» и «Стадион – Школа». Измерим их длины с помощью линейки:

• Длина отрезка «Дом – Стадион» составляет примерно 2,6 см.
• Длина отрезка «Стадион – Школа» составляет примерно 4,5 см.

Теперь сложим полученные длины, чтобы найти общую длину пути: $2,6 \text{ см} + 4,5 \text{ см} = 7,1 \text{ см}$
Ответ: 7,1 см.

Путь из дома в школу мимо детского сада

Этот путь состоит из двух отрезков: «Дом – Детский сад» и «Детский сад – Школа». Измерим их длины:

• Длина отрезка «Дом – Детский сад» составляет примерно 4,1 см.
• Длина отрезка «Детский сад – Школа» составляет примерно 2,8 см.

Сложим эти длины, чтобы найти общую длину пути: $4,1 \text{ см} + 2,8 \text{ см} = 6,9 \text{ см}$
Ответ: 6,9 см.

Определение, какой путь короче

Теперь сравним длины двух путей:

• Путь мимо стадиона: 7,1 см.
• Путь мимо детского сада: 6,9 см.

Сравниваем числа: $6,9 < 7,1$.
Следовательно, путь мимо детского сада короче, чем путь мимо стадиона.
Ответ: путь мимо детского сада короче.

10.90 СТРОИМ ПО АЛГОРИТМУ

Рис. 10.3

1) Если у вас имеется нелинованная бумага и линейка, но нет угольника или транспортира, то вы можете построить прямоугольник, используя свойства его диагоналей: диагонали прямоугольника равны и точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них.

• Начертим отрезок и отметим его середину (рис. 10.4, а).

• Проведём через отмеченную точку прямую и выделим на ней отрезок той же длины, что и первый, причём так, чтобы его середина совпала с серединой первого отрезка (рис. 10.4, б).

• Последовательно соединим концы отрезков (рис. 10.4, в). Полученный четырёхугольник — прямоугольник.

Рис. 10.4

2) Постройте прямоугольник описанным способом на листе нелинованной бумаги.

3) Постройте описанным способом прямоугольник, диагональ которого равна 5 см.

2) Постройте прямоугольник описанным способом на листе нелинованной бумаги.

Чтобы построить прямоугольник на нелинованной бумаге с помощью только линейки, следуем алгоритму, основанному на свойствах диагоналей прямоугольника:

1. Начертим произвольный отрезок $AC$. Это будет первая диагональ будущего прямоугольника.
2. С помощью линейки измерим длину отрезка $AC$ и найдем его середину, точку $O$. Для этого отложим от точки $A$ половину длины отрезка $AC$. Таким образом, мы получим, что $AO = OC$.
3. Через точку $O$ проведем другую прямую, не совпадающую с прямой $AC$.
4. На этой новой прямой отложим от точки $O$ в обе стороны отрезки $OB$ и $OD$ так, чтобы их длина была равна длине отрезка $AO$ ($OB = OD = AO$). В результате мы получим вторую диагональ $BD$, равную по длине диагонали $AC$, которая также делится точкой $O$ пополам.
5. Последовательно соединим концы отрезков: точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Получившийся четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником, поскольку его диагонали равны ($AC = BD$) и точкой пересечения делятся пополам.
Ответ: Построение выполнено согласно описанному в задаче алгоритму.

3) Постройте описанным способом прямоугольник, диагональ которого равна 5 см.

Для построения прямоугольника с заданной длиной диагонали в 5 см выполним следующие шаги:

1. С помощью линейки начертим отрезок $AC$ длиной 5 см.
2. Найдем и отметим его середину, точку $O$. Так как $AC = 5$ см, то точка $O$ будет находиться на расстоянии $5 / 2 = 2.5$ см от точек $A$ и $C$. То есть, $AO = OC = 2.5$ см.
3. Через точку $O$ проведем произвольную прямую, отличную от прямой $AC$.
4. На этой прямой от точки $O$ в противоположные стороны отложим отрезки $OB$ и $OD$, каждый длиной 2.5 см. Таким образом, мы получим вторую диагональ $BD$, длина которой будет равна $BO + OD = 2.5 + 2.5 = 5$ см, и точка $O$ будет ее серединой.
5. Последовательно соединим отрезками точки $A$ и $B$, $B$ и $C$, $C$ и $D$, $D$ и $A$.

В результате построен четырехугольник $ABCD$, который является прямоугольником, так как его диагонали $AC$ и $BD$ равны 5 см и точкой пересечения $O$ делятся пополам.
Ответ: Построен прямоугольник, диагонали которого равны 5 см, в соответствии с предложенным методом.